Espacio muestral

Conjunto de todos los resultados o resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.

En teoría de la probabilidad , el espacio muestral (también llamado espacio de descripción muestral , ^[1] espacio de posibilidades , ^[2] o espacio de resultados ^[3] ) de un experimento o ensayo aleatorio es el conjunto de todos los resultados o resultados posibles de ese experimento. ^[4] Un espacio muestral generalmente se denota mediante notación de conjuntos , y los posibles resultados ordenados, o puntos muestrales, ^[5] se enumeran como elementos del conjunto. Es común referirse a un espacio muestral mediante las etiquetas S , Ω o U (para " conjunto universal "). Los elementos de un espacio muestral pueden ser números, palabras, letras o símbolos. También pueden ser finitos , contablemente infinitos o incontablemente infinitos . ^[6]

Un subconjunto del espacio muestral es un evento , denotado por . Si el resultado de un experimento se incluye en , entonces el evento ha ocurrido. ^[7] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una sola moneda, el espacio muestral es el conjunto , donde el resultado significa que la moneda es cara y el resultado significa que la moneda es cruz. ^[8] Los eventos posibles son , , y . Para lanzar dos monedas, el espacio muestral es , donde el resultado es si ambas monedas son cara, si la primera moneda es cara y la segunda es cruz, si la primera moneda es cruz y la segunda es cara, y si ambas monedas son cruz . ^[9] El evento de que al menos una de las monedas salga cara viene dado por . ${\displaystyle \{H,T\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E=\{\}}$ ${\displaystyle E=\{H\}}$ ${\displaystyle E=\{T\}}$ ${\displaystyle E=\{H,T\}}$ ${\displaystyle \{HH,HT,TH,TT\}}$ ${\displaystyle HH}$ ${\displaystyle HT}$ ${\displaystyle TH}$ ${\displaystyle TT}$ ${\displaystyle E=\{HH,HT,TH\}}$

Para lanzar un solo dado de seis caras una vez, donde el resultado de interés es el número de pepitas boca arriba, el espacio muestral es . ^[10] ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$

Un espacio muestral bien definido y no vacío es uno de los tres componentes de un modelo probabilístico (un espacio de probabilidad ). Los otros dos elementos básicos son un conjunto bien definido de eventos posibles (un espacio de eventos), que típicamente es el conjunto potencia de si es discreto o un álgebra σ de si es continuo, y una probabilidad asignada a cada evento (un espacio de eventos). función de medida de probabilidad ). ^[11] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Una representación visual de un espacio muestral finito y eventos. El óvalo rojo es el evento de que un número es impar y el óvalo azul es el evento de que un número es primo.

Un espacio muestral se puede representar visualmente mediante un rectángulo, y los resultados del espacio muestral se indican mediante puntos dentro del rectángulo. Los eventos pueden estar representados por óvalos, donde los puntos encerrados dentro del óvalo conforman el evento. ^[12]

Condiciones de un espacio muestral.

Un conjunto con resultados (es decir , ) debe cumplir algunas condiciones para ser un espacio muestral: ^[13] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle \Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}}$

• Los resultados deben ser mutuamente excluyentes , es decir, si ocurre, no ocurrirá ningún otro . ^[6] ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j}$
• Los resultados deben ser colectivamente exhaustivos , es decir, en cada experimento (o ensayo aleatorio) siempre se producirá algún resultado . ^[6] ${\displaystyle s_{i}\in \Omega }$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$
• El espacio muestral ( ) debe tener la granularidad adecuada dependiendo de lo que le interese al experimentador. Se debe eliminar la información irrelevante del espacio muestral y se debe elegir la abstracción correcta. ${\displaystyle \Omega }$

Por ejemplo, en la prueba de lanzar una moneda, un espacio muestral posible es , donde es el resultado donde la moneda cae cara y es cruz. Otro posible espacio muestral podría ser . Aquí, denota un día lluvioso y es un día en el que no llueve. Para la mayoría de los experimentos, sería una mejor opción que , ya que al experimentador probablemente no le importe cómo el clima afecta el lanzamiento de la moneda. ${\displaystyle \Omega _{1}=\{H,T\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle NR}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$

Múltiples espacios muestrales

Para muchos experimentos, puede haber más de un espacio muestral plausible disponible, dependiendo del resultado que sea de interés para el experimentador. Por ejemplo, al sacar una carta de una baraja estándar de cincuenta y dos naipes , una posibilidad para el espacio muestral podrían ser los distintos rangos (del As al Rey), mientras que otra podrían ser los palos (tréboles, diamantes, corazones o picas). ). ^{[4] [14]} Sin embargo, una descripción más completa de los resultados podría especificar tanto la denominación como el palo, y se puede construir un espacio muestral que describa cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios muestrales mencionados anteriormente (este espacio contienen cincuenta y dos resultados igualmente probables). Aún son posibles otros espacios muestrales, como el lado derecho hacia arriba o al revés, si algunas cartas se han volteado al barajar.

Resultados igualmente probables

Lanzar una moneda conduce a un espacio muestral compuesto por dos resultados que son casi igualmente probables.

¿Arriba o abajo? Dar la vuelta a una tachuela conduce a un espacio muestral compuesto por dos resultados que no son igualmente probables.

Algunos tratamientos de probabilidad suponen que los diversos resultados de un experimento siempre se definen de manera que sean igualmente probables. ^[15] Para cualquier espacio muestral con resultados igualmente probables, a cada resultado se le asigna la probabilidad . ^[16] Sin embargo, hay experimentos que no se describen fácilmente mediante un espacio muestral de resultados igualmente probables; por ejemplo, si uno lanzara una tachuela muchas veces y observara si aterriza con la punta hacia arriba o hacia abajo, no hay simetría física para sugerir que los dos resultados deberían ser igualmente probables. ^[17] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

Aunque la mayoría de los fenómenos aleatorios no tienen resultados igualmente probables, puede resultar útil definir un espacio muestral de tal manera que los resultados sean al menos aproximadamente igualmente probables, ya que esta condición simplifica significativamente el cálculo de probabilidades de eventos dentro del espacio muestral. Si cada resultado individual ocurre con la misma probabilidad, entonces la probabilidad de cualquier evento es simplemente: ^{[18] : 346–347}

${\displaystyle \mathrm {P} ({\text{event}})={\frac {\text{number of outcomes in event}}{\text{number of outcomes in sample space}}}}$

Por ejemplo, si se lanzan dos dados de seis caras para generar dos números enteros uniformemente distribuidos , cada uno en el rango de 1 a 6, inclusive, los 36 posibles pares ordenados de resultados constituyen un espacio muestral de eventos igualmente probables. En este caso, se aplica la fórmula anterior, como calcular la probabilidad de una suma particular de las dos tiradas en un resultado. La probabilidad del evento de que la suma sea cinco es , ya que cuatro de los treinta y seis pares de resultados igualmente probables suman cinco. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle (D_{1},D_{2})}$ ${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$

Si el espacio muestral fuera todas las sumas posibles obtenidas al lanzar dos dados de seis caras, la fórmula anterior aún se puede aplicar porque las tiradas de dados son justas, pero el número de resultados en un evento determinado variará. Una suma de dos puede ocurrir con el resultado , por lo que la probabilidad es . Para una suma de siete, los resultados del evento son , por lo que la probabilidad es . ^[19] ${\displaystyle \{(1,1)\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$ ${\displaystyle \{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}}$ ${\displaystyle {\frac {6}{36}}}$

muestra aleatoria simple

En estadística , se hacen inferencias sobre las características de una población estudiando una muestra de los individuos de esa población. Para llegar a una muestra que presente una estimación insesgada de las verdaderas características de la población, los estadísticos a menudo buscan estudiar una muestra aleatoria simple , es decir, una muestra en la que todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de estar incluidos. ^{[18] : 274–275} El resultado de esto es que cada combinación posible de individuos que podrían ser elegidos para la muestra tiene la misma probabilidad de ser la muestra seleccionada (es decir, el espacio de muestras aleatorias simples de un tamaño determinado). de una población determinada se compone de resultados igualmente probables). ^[20]

Espacios muestrales infinitamente grandes

En un enfoque elemental de la probabilidad , cualquier subconjunto del espacio muestral suele denominarse evento . ^[9] Sin embargo, esto da lugar a problemas cuando el espacio muestral es continuo, por lo que es necesaria una definición más precisa de un evento. Según esta definición, sólo se consideran eventos los subconjuntos mensurables del espacio muestral, que constituyen un álgebra σ sobre el espacio muestral mismo.

Un ejemplo de un espacio muestral infinitamente grande es medir la vida útil de una bombilla. El espacio muestral correspondiente sería [0, ∞) . ^[9]

Ver también

• Espacio de parámetros
• Espacio de probabilidad
• Espacio (matemáticas)
• Conjunto (matemáticas)
• Evento (teoría de la probabilidad)
• σ-álgebra

Referencias

1. Rígido, Henry; Bosques, John W. (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3ª ed.). Pearson. pag. 7.ISBN​ 9788177583564.
2. Forbes, Catalina; Evans, Merran; Hastings, Nicolás; Pavo real, Brian (2011). Distribuciones estadísticas (4ª ed.). Wiley. pag. 3.ISBN​ 9780470390634.
3. Hogg, Robert; Tannis, Elliot; Zimmerman, Dale (24 de diciembre de 2013). Probabilidad e Inferencia Estadística . Pearson Education, Inc. pág. 10.ISBN​ 978-0321923271. La colección de todos los resultados posibles... se llama espacio de resultados.
4. Albert, Jim (21 de enero de 1998). "Enumerar todos los resultados posibles (el espacio muestral)". Universidad Estatal de Bowling Green . Consultado el 25 de junio de 2013 .
5. Pronto, TT (2004). Fundamentos de probabilidad y estadística para ingenieros. Chichester: Wiley. ISBN 0-470-86815-5. OCLC  55135988.
6. "UOR_2.1". web.mit.edu . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
7. Ross, Sheldon (2010). Un primer curso de probabilidad (PDF) (8ª ed.). Pearson Prentice Hall . pag. 23.ISBN​ 978-0136033134.
8. Dekking, FM (Frederik Michel), 1946- (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender por qué y cómo . Saltador. ISBN 1-85233-896-2. OCLC  783259968.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
9. "Espacio muestral, eventos y probabilidad" (PDF) . Matemáticas en Illinois .
10. Larsen, RJ; Marx, ML (2001). Introducción a la estadística matemática y sus aplicaciones (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . pag. 22.ISBN​ 9780139223037.
11. LaValle, Steven M. (2006). Algoritmos de planificación (PDF) . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 442.
12. "Espacios de muestra, eventos y sus probabilidades". saylordotorg.github.io . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
13. Tsitsiklis, John (primavera de 2018). "Espacios de muestra". Instituto de Tecnología de Massachusetts . Consultado el 9 de julio de 2018 .
14. Jones, James (1996). "Estadísticas: Introducción a la probabilidad - Espacios muestrales". Colegio Comunitario de Richland . Consultado el 30 de noviembre de 2013 .
15. Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición para profesores (edición clásica). Prentice Hall . pag. 633.ISBN​ 0-13-165711-9.
16. "Resultados igualmente probables" (PDF) . Universidad de Notre Dame .
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18. Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005.
19. "Probabilidad: tirar dos dados". www.math.hawaii.edu . Consultado el 17 de diciembre de 2021 .
20. "Muestras aleatorias simples". web.ma.utexas.edu . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .

enlaces externos

• Medios relacionados con el espacio muestral en Wikimedia Commons