Paquete normal estable

En la teoría de la cirugía , una rama de las matemáticas , el fibrado normal estable de una variedad diferenciable es un invariante que codifica los datos normales estables (dualmente, tangenciales). Existen análogos para las generalizaciones de variedades, en particular las variedades PL y las variedades topológicas . También existe un análogo en la teoría de homotopía para los espacios de Poincaré , la fibración esférica de Spivak , llamada así en honor a Michael Spivak . ^[1]

Construcción mediante incrustaciones

Dada una incrustación de una variedad en el espacio euclidiano (proporcionada por el teorema de Hassler Whitney ), esta tiene un fibrado normal . La incrustación no es única, pero para dimensiones altas del espacio euclidiano es única hasta la isotopía , por lo tanto, la (clase del) fibrado es única y se denomina fibrado normal estable .

Esta construcción funciona para cualquier espacio de Poincaré X : un complejo CW finito admite una incrustación estable y única (hasta la homotopía) en el espacio euclidiano , a través de la posición general , y esta incrustación produce una fibración esférica sobre X . Para espacios más restringidos (en particular, variedades PL y variedades topológicas), se obtienen datos más sólidos.

Detalles

Dos incrustaciones son isotópicas si son homotópicas a través de incrustaciones. Dada una variedad u otro espacio adecuado X, con dos incrustaciones en el espacio euclidiano, estas no serán en general isotópicas, o incluso no se mapearán en el mismo espacio ( no necesariamente serán iguales ). Sin embargo, se pueden incrustar en un espacio más grande dejando que las últimas coordenadas sean 0: ${\displaystyle i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N-m}$

${\displaystyle i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}}$.

Este proceso de unir copias triviales del espacio euclidiano se denomina estabilización. De este modo, se puede lograr que dos incrustaciones cualesquiera en el espacio euclidiano se correspondan con el mismo espacio euclidiano (tomando ), y, además, si es suficientemente grande, estas incrustaciones son isotópicas, lo que es un teorema. ${\displaystyle N=\max(m,n)}$ ${\displaystyle N}$

Por lo tanto, existe una clase isotópica estable única de incrustaciones: no se trata de una incrustación particular (ya que hay muchas incrustaciones), ni de una clase isotópica (ya que el espacio objetivo no es fijo: es simplemente "un espacio euclidiano suficientemente grande"), sino más bien de una clase isotópica estable de aplicaciones. El fibrado normal asociado con esta (clase estable de) incrustaciones es entonces el fibrado normal estable.

Se puede reemplazar esta clase de isotopía estable con una clase de isotopía real fijando el espacio objetivo, ya sea usando el espacio de Hilbert como el espacio objetivo, o (para una dimensión fija de la variedad ) usando un fijo suficientemente grande, ya que N depende solo de n , no de la variedad en cuestión. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

De manera más abstracta, en lugar de estabilizar la incrustación, se puede tomar cualquier incrustación y luego tomar una suma directa de fibrados vectoriales con un número suficiente de fibrados de líneas triviales; esto corresponde exactamente al fibrado normal de la incrustación estabilizada.

Construcción víaespacios de clasificación

Una n -variedad M tiene un fibrado tangente, que tiene una función clasificatoria (hasta la homotopía)

${\displaystyle \tau _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n).}$

La composición con la inclusión produce (la clase de homotopía de una función de clasificación de) el fibrado tangente estable. El fibrado normal de una incrustación ( grande) es un inverso para , tal que la suma de Whitney es trivial. La clase de homotopía del compuesto es independiente de la elección de la incrustación, lo que clasifica el fibrado normal estable . ${\displaystyle B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}}$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n+k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)}$ ${\displaystyle \tau _{M}}$ ${\displaystyle \tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)}$ ${\displaystyle \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}}$ ${\displaystyle \nu _{M}}$

Motivación

No existe una noción intrínseca de un vector normal a una variedad, a diferencia de los vectores tangentes o cotangentes –por ejemplo, el espacio normal depende de en qué dimensión se está insertando–, por lo que el fibrado normal estable proporciona en cambio una noción de un espacio normal estable: un espacio normal (y vectores normales) hasta sumandos triviales.

¿Por qué normal estable en lugar de tangente estable? Se utilizan datos normales estables en lugar de tangentes inestables porque las generalizaciones de variedades tienen estructuras naturales de tipo normal estable, que provienen de vecindades tubulares y generalizaciones, pero no de tangenciales inestables, ya que la estructura local no es uniforme.

Las fibraciones esféricas sobre un espacio X se clasifican por las clases de homotopía de las aplicaciones a un espacio de clasificación , con grupos de homotopía los grupos de homotopía estables de esferas ${\displaystyle X\to BG}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}}$.

El mapa olvidadizo se extiende a una secuencia de fibración ${\displaystyle B{\textrm {O}}\to BG}$

${\displaystyle B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})}$.

Un espacio de Poincaré X no tiene un fibrado tangente, pero sí tiene una fibración esférica estable bien definida , que para una variedad diferenciable es la fibración esférica asociada al fibrado normal estable; por lo tanto, una obstrucción primaria para que X tenga el tipo de homotopía de una variedad diferenciable es que la fibración esférica se eleva a un fibrado vectorial, es decir, la fibración esférica de Spivak debe elevarse a , lo que es equivalente a que la función sea homotópica nula. Por lo tanto, la obstrucción del fibrado a la existencia de una estructura de variedad (suave) es la clase . La obstrucción secundaria es la obstrucción de cirugía de Wall . ${\displaystyle X\to BG}$ ${\displaystyle X\to B{\textrm {O}}}$ ${\displaystyle X\to B(G/{\textrm {O}})}$ ${\displaystyle X\to B(G/{\textrm {O}})}$

Aplicaciones

El haz normal estable es fundamental en la teoría quirúrgica como obstrucción primaria:

• Para que un espacio de Poincaré X tenga el tipo de homotopía de una variedad suave, la función debe ser homotópica nula. ${\displaystyle X\to B(G/{\textrm {O}})}$
• Para que una equivalencia de homotopía entre dos variedades sea homotópica a un difeomorfismo, debe retrotraer el fibrado normal estable en N al fibrado normal estable en M. ${\displaystyle f\colon M\to N}$

De manera más general, sus generalizaciones sirven como reemplazos del fibrado tangente (inestable).

Referencias

1. Spivak, Michael (1967), "Espacios que satisfacen la dualidad de Poincaré", Topología , 6 (6): 77–101, doi :10.1016/0040-9383(67)90016-X, MR  0214071