Notación del generador de conjuntos

Uso de llaves para especificar conjuntos

${\displaystyle \{n\mid \exists k\in \mathbb {Z} ,n=2k\}}$

El conjunto de todos los números enteros pares ,
expresado en notación de generador de conjuntos.

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones a la lógica , las matemáticas y la informática , la notación constructora de conjuntos es una notación matemática para describir un conjunto indicando las propiedades que deben satisfacer sus miembros. ^[1]

Definir conjuntos por propiedades también se conoce como comprensión de conjuntos , abstracción de conjuntos o como definir la intención de un conjunto .

Conjuntos definidos por un predicado

La notación de constructor de conjuntos se puede utilizar para describir un conjunto definido por un predicado , es decir, una fórmula lógica que se evalúa como verdadera para un elemento del conjunto y como falsa en caso contrario. ^[2] En esta forma, la notación de constructor de conjuntos tiene tres partes: una variable, un separador de dos puntos o barra vertical y un predicado. Por lo tanto, hay una variable a la izquierda del separador y una regla a la derecha de este. Estas tres partes están contenidas entre llaves:

${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$

o

${\displaystyle \{x:\Phi (x)\}.}$

La barra vertical (o dos puntos) es un separador que puede leerse como " tal que ", "para el cual" o "con la propiedad que". Se dice que la fórmula Φ( x ) es la regla o el predicado . Todos los valores de x para los que se cumple el predicado (es verdadero) pertenecen al conjunto que se está definiendo. Todos los valores de x para los que no se cumple el predicado no pertenecen al conjunto. Por lo tanto, es el conjunto de todos los valores de x que satisfacen la fórmula Φ . ^[3] Puede ser el conjunto vacío , si ningún valor de x satisface la fórmula. ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$

Especificando el dominio

Un dominio E puede aparecer a la izquierda de la barra vertical: ^[4]

${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\},}$

o añadiéndolo al predicado:

${\displaystyle \{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}.}$

El símbolo ∈ aquí denota pertenencia a un conjunto , mientras que el símbolo denota el operador lógico "y", conocido como conjunción lógica . Esta notación representa el conjunto de todos los valores de x que pertenecen a un conjunto dado E para el cual el predicado es verdadero (ver "Axioma de existencia de conjuntos" más abajo). Si es una conjunción , entonces a veces se escribe , utilizando una coma en lugar del símbolo . ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}$ ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}}$ ${\displaystyle \land }$

En general, no es una buena idea considerar conjuntos sin definir un dominio de discurso , ya que esto representaría el subconjunto de todas las cosas posibles que pueden existir para las cuales el predicado es verdadero. Esto puede conducir fácilmente a contradicciones y paradojas. Por ejemplo, la paradoja de Russell muestra que la expresión, aunque aparentemente bien formada como expresión constructora de conjuntos, no puede definir un conjunto sin producir una contradicción. ^[5] ${\displaystyle \{x~|~x\not \in x\},}$

En los casos en que el conjunto E se desprende claramente del contexto, es posible que no se especifique explícitamente. En la literatura, es habitual que un autor indique el dominio con antelación y luego no lo especifique en la notación generadora de conjuntos. Por ejemplo, un autor puede decir algo como: "A menos que se indique lo contrario, las variables deben considerarse números naturales", aunque en contextos menos formales en los que se puede suponer el dominio, a menudo no es necesaria una mención escrita.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran conjuntos particulares definidos mediante la notación de generador de conjuntos a través de predicados. En cada caso, el dominio se especifica en el lado izquierdo de la barra vertical, mientras que la regla se especifica en el lado derecho.

• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}}$es el conjunto de todos los números reales estrictamente positivos , que pueden escribirse en notación de intervalo como . ${\displaystyle (0,\infty )}$
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\}}$es el conjunto . Este conjunto también se puede definir como ; vea los predicados equivalentes que dan como resultado conjuntos iguales a continuación. ${\displaystyle \{-1,1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}}$
• Para cada entero m , podemos definir . A modo de ejemplo, y . ${\displaystyle G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}}$ ${\displaystyle G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}}$ ${\displaystyle G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}}$
• ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}}$ es el conjunto de pares de números reales tales que y es mayor que 0 y menor que f ( x ) , para una función dada f . Aquí el producto cartesiano denota el conjunto de pares ordenados de números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}}$es el conjunto de todos los números naturales pares . El signo representa "y", lo que se conoce como conjunción lógica . El signo ∃ representa "existe", lo que se conoce como cuantificación existencial . Así, por ejemplo, se lee como "existe una x tal que P ( x ) ". ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (\exists x)P(x)}$
• ${\displaystyle \{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}}$es una variante de notación para el mismo conjunto de números naturales pares. No es necesario especificar que n es un número natural, ya que así lo implica la fórmula de la derecha.
• ${\displaystyle \{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}}$es el conjunto de números racionales ; es decir, números reales que pueden escribirse como el cociente de dos números enteros .

Expresiones más complejas en el lado izquierdo de la notación

Una extensión de la notación de generador de conjuntos reemplaza la variable única x con una expresión . Por lo tanto, en lugar de , podemos tener que debería leerse ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$ ${\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\},}$

${\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists x(y=f(x)\wedge \Phi (x))\}}$.

Por ejemplo:

• ${\displaystyle \{2n\mid n\in \mathbb {N} \}}$, donde es el conjunto de todos los números naturales, es el conjunto de todos los números naturales pares. ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle \{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}}$, donde es el conjunto de todos los números enteros, es el conjunto de todos los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}$es el conjunto de números enteros impares.
• ${\displaystyle \{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}}$ crea un conjunto de pares, donde cada par pone un entero en correspondencia con un entero impar.

Cuando las funciones inversas se pueden enunciar explícitamente, la expresión de la izquierda se puede eliminar mediante una simple sustitución. Consideremos el conjunto de ejemplo . Realice la sustitución , es decir , luego reemplace t en la notación del generador de conjuntos para encontrar ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle u=2t+1}$ ${\displaystyle t=(u-1)/2}$

${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.}$

Los predicados equivalentes producen conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Los conjuntos definidos por la notación de construcción de conjuntos son iguales si y solo si sus reglas de construcción de conjuntos, incluidos los especificadores de dominio, son equivalentes.

${\displaystyle \{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}}$

Si y sólo si

${\displaystyle (\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]}$.

Por lo tanto, para demostrar la igualdad de dos conjuntos definidos mediante la notación constructora de conjuntos, basta demostrar la equivalencia de sus predicados, incluidos los calificadores de dominio.

Por ejemplo,

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}}$

porque los dos predicados de la regla son lógicamente equivalentes:

${\displaystyle (x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).}$

Esta equivalencia se cumple porque, para cualquier número real x , tenemos si y solo si x es un número racional con . En particular, ambos conjuntos son iguales al conjunto . ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle |x|=1}$ ${\displaystyle \{-1,1\}}$

Axioma de existencia de conjuntos

En muchas teorías de conjuntos formales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la notación de constructor de conjuntos no forma parte de la sintaxis formal de la teoría. En su lugar, existe un esquema de axioma de existencia de conjuntos , que establece que si E es un conjunto y Φ( x ) es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces existe un conjunto Y cuyos miembros son exactamente los elementos de E que satisfacen Φ :

${\displaystyle (\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].}$

El conjunto Y obtenido a partir de este axioma es exactamente el conjunto descrito en la notación del constructor de conjuntos como . ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}$

En lenguajes de programación

Una notación similar disponible en varios lenguajes de programación (especialmente Python y Haskell ) es la comprensión de lista , que combina operaciones de mapa y filtro en una o más listas .

En Python, las llaves del generador de conjuntos se reemplazan por corchetes, paréntesis o llaves, lo que da como resultado objetos de lista, generador y conjunto, respectivamente. Python utiliza una sintaxis basada en el inglés. Haskell reemplaza las llaves del generador de conjuntos por corchetes y utiliza símbolos, incluida la barra vertical estándar del generador de conjuntos.

Lo mismo se puede lograr en Scala usando Comprensiones de Secuencia, donde la palabra clave "for" devuelve una lista de las variables obtenidas usando la palabra clave "yield". ^[6]

Considere estos ejemplos de notación de creación de conjuntos en algunos lenguajes de programación:

La notación de construcción de conjuntos y la notación de comprensión de listas son ambas instancias de una notación más general conocida como comprensión de mónadas , que permite operaciones de tipo mapa/filtro sobre cualquier mónada con un elemento cero .

Véase también

• Glosario de teoría de conjuntos

Notas

1. Rosen, Kenneth (2007). Matemática discreta y sus aplicaciones (6.ª ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill. pp. 111–112. ISBN 978-0-07-288008-3.
2. Michael J Cullinan, 2012, Una transición a las matemáticas con pruebas , Jones y Bartlett, págs. 44 y siguientes.
3. Weisstein, Eric W. "Set". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
4. "Notación de constructor de conjuntos". mathsisfun.com . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
5. Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (9 de octubre de 2016) [1995]. «Russell's Paradox». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
6. "Comprensión de secuencias". Scala . Consultado el 6 de agosto de 2017 .