Sólido neo-hookeano

Modelo de material hiperelástico

Un sólido neo-Hookeano ^{[1] [2]} es un modelo de material hiperelástico , similar a la ley de Hooke , que puede utilizarse para predecir el comportamiento no lineal de tensión-deformación de materiales sometidos a grandes deformaciones . El modelo fue propuesto por Ronald Rivlin en 1948 utilizando invariantes, aunque Mooney ya había descrito una versión en forma de estiramiento en 1940, y Wall había notado la equivalencia en esfuerzo cortante con el modelo de Hooke en 1942.

A diferencia de los materiales elásticos lineales , la curva de tensión-deformación de un material neo-Hookeano no es lineal . En cambio, la relación entre la tensión aplicada y la deformación es inicialmente lineal, pero en un punto determinado la curva de tensión-deformación se estabilizará. El modelo neo-Hookeano no tiene en cuenta la liberación disipativa de energía en forma de calor mientras se deforma el material, y se supone una elasticidad perfecta en todas las etapas de deformación. Además de usarse para modelar materiales físicos, la estabilidad y el comportamiento altamente no lineal bajo compresión han hecho que los materiales neo-Hookeanos sean una opción popular para los enfoques de medios ficticios como el método de contacto del tercer medio .

El modelo neo-Hookeano se basa en la termodinámica estadística de cadenas de polímeros reticulados y se puede utilizar para plásticos y sustancias similares al caucho . Los polímeros reticulados actuarán de manera neo-Hookeana porque inicialmente las cadenas de polímeros pueden moverse entre sí cuando se aplica una tensión. Sin embargo, en un punto determinado, las cadenas de polímeros se estirarán hasta el punto máximo que permitan los enlaces cruzados covalentes, y esto provocará un aumento drástico en el módulo elástico del material. El modelo de material neo-Hookeano no predice ese aumento en el módulo en grandes deformaciones y, por lo general, solo es preciso para deformaciones inferiores al 20 %. ^[3] El modelo también es inadecuado para estados de tensión biaxiales y ha sido reemplazado por el modelo Mooney-Rivlin .

La función de densidad de energía de deformación para un material neo-Hookeano incompresible en una descripción tridimensional es

${\displaystyle W=C_{1}(I_{1}-3)}$

donde es una constante material, y es el primer invariante ( traza ), del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho , es decir, ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}$

¿Dónde están los tramos principales ? ^[2] ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Para un material neo-Hookeano compresible , la función de densidad de energía de deformación está dada por

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-3-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$

donde es una constante del material y es el gradiente de deformación . Se puede demostrar que en 2D, la función de densidad de energía de deformación es ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-2-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}}$

Existen varias formulaciones alternativas para materiales neo-Hookeanos compresibles, por ejemplo

${\displaystyle W=C_{1}~({\bar {I}}_{1}-3)+\left({\frac {C_{1}}{6}}+{\frac {D_{1}}{4}}\right)\!\left(J^{2}+{\frac {1}{J^{2}}}-2\right)}$

donde es el primer invariante de la parte isocórica del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho . ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}I_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {C}}}=(\det {\boldsymbol {C}})^{-1/3}{\boldsymbol {C}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {C}}}$

Para mantener la coherencia con la elasticidad lineal,

${\displaystyle C_{1}={\frac {\mu }{2}}~;~~D_{1}={\frac {{\lambda }_{L}}{2}}}$

donde es el primer parámetro de Lamé y es el módulo de corte o el segundo parámetro de Lamé . ^[4] A veces se utilizan definiciones alternativas de y , en particular en software de análisis de elementos finitos comerciales como Abaqus . ^[5] ${\displaystyle {\lambda }_{L}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

Tensión de Cauchy en función de los tensores de deformación

Material neo-hookeano comprimible

Para un material neo-Hookeano Ogden compresible , la tensión de Cauchy está dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}\left(2C_{1}({\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {F}}^{-T})+2D_{1}(J-1)J{\boldsymbol {F}}^{-T}\right){\boldsymbol {F}}^{T}}$

donde es la primera tensión de Piola-Kirchhoff. Simplificando el lado derecho llegamos a ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$

que para deformaciones infinitesimales es igual a

${\displaystyle \approx 4C_{1}{\boldsymbol {\varepsilon }}+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

La comparación con la ley de Hooke muestra que y . ${\displaystyle C_{1}={\tfrac {\mu }{2}}}$ ${\displaystyle D_{1}={\tfrac {\lambda _{L}}{2}}}$

Para un material neo-Hookeano Rivlin compresible , la tensión de Cauchy está dada por

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})=-p~{\boldsymbol {I}}+{\frac {2C_{1}}{J^{2/3}}}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

¿Dónde está el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo, y ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})={\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}~;~~{\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}~.}$

Para deformaciones infinitesimales ( ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle J\approx 1+\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~{\boldsymbol {B}}\approx {\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

y la tensión de Cauchy se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\approx 4C_{1}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

La comparación con la ley de Hooke muestra que y . ${\displaystyle \mu =2C_{1}}$ ${\displaystyle \kappa =2D_{1}}$

Material neo-hookeano incompresible

Para un material neo-hookeano incompresible con ${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}}$

donde es una presión indeterminada. ${\displaystyle p}$

Estrés de Cauchy en términos de estiramientos principales

Material neo-hookeano comprimible

Para un material hiperelástico neo-Hookeano compresible , los componentes principales de la tensión de Cauchy están dados por

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)~;~~i=1,2,3}$

Por lo tanto, las diferencias entre las tensiones principales son

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})}$

Material neo-hookeano incompresible

En términos de los estiramientos principales , las diferencias de tensión de Cauchy para un material hiperelástico incompresible están dadas por

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

Para un material neo-hookeano incompresible ,

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}}$

Lo cual da

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}}$

Extensión uniaxial

Material neo-hookeano comprimible

La tensión verdadera en función del estiramiento uniaxial predicha por un material neo-Hookeano compresible para varios valores de . Las propiedades del material son representativas del caucho natural . ${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

Para un material compresible que experimenta una extensión uniaxial, los estiramientos principales son

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}=\lambda _{3}={\sqrt {\tfrac {J}{\lambda }}}~;~~I_{1}=\lambda ^{2}+{\tfrac {2J}{\lambda }}}$

Por lo tanto, las tensiones verdaderas (de Cauchy) para un material neo-Hookeano compresible están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)\\\sigma _{22}&=\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{3J^{5/3}}}\left({\tfrac {J}{\lambda }}-\lambda ^{2}\right)+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

Las diferencias de tensión se dan por

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

Si el material no tiene restricciones tenemos . Entonces ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

Igualando las dos expresiones para se obtiene una relación para en función de , es decir, ${\displaystyle \sigma _{11}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

o

${\displaystyle D_{1}J^{8/3}-D_{1}J^{5/3}+{\tfrac {C_{1}}{3\lambda }}J-{\tfrac {C_{1}\lambda ^{2}}{3}}=0}$

La ecuación anterior se puede resolver numéricamente utilizando un procedimiento iterativo de búsqueda de raíces de Newton-Raphson .

Material neo-hookeano incompresible

Comparación de resultados experimentales (puntos) y predicciones para la ley de Hooke (1), el sólido neo-Hookeano (2) y los modelos de sólido Mooney-Rivlin (3)

Bajo extensión uniaxial, y . Por lo tanto, ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

Suponiendo que no hay tracción en los lados, , podemos escribir ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)=2C_{1}\left({\frac {3\varepsilon _{11}+3\varepsilon _{11}^{2}+\varepsilon _{11}^{3}}{1+\varepsilon _{11}}}\right)}$

donde es la deformación de ingeniería . Esta ecuación se escribe a menudo en notación alternativa como ${\displaystyle \varepsilon _{11}=\lambda -1}$

${\displaystyle T_{11}=2C_{1}\left(\alpha ^{2}-{\cfrac {1}{\alpha }}\right)}$

La ecuación anterior corresponde a la tensión real (relación entre la fuerza de elongación y la sección transversal deformada). Para la tensión de ingeniería, la ecuación es:

${\displaystyle \sigma _{11}^{\mathrm {eng} }=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Para pequeñas deformaciones tendremos: ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle \sigma _{11}=6C_{1}\varepsilon =3\mu \varepsilon }$

Por lo tanto, el módulo de Young equivalente de un sólido neo-hookeano en extensión uniaxial es , lo cual está en concordancia con la elasticidad lineal ( con para la incompresibilidad). ${\displaystyle 3\mu }$ ${\displaystyle E=2\mu (1+\nu )}$ ${\displaystyle \nu =0.5}$

Extensión equibiaxial

Material neo-hookeano comprimible

La tensión verdadera en función del estiramiento biaxial predicha por un material neo-Hookeano compresible para varios valores de . Las propiedades del material son representativas del caucho natural . ${\displaystyle C_{1},D_{1}}$

En el caso de extensión equibiaxial

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda ~;~~\lambda _{3}={\tfrac {J}{\lambda ^{2}}}~;~~I_{1}=2\lambda ^{2}+{\tfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\\&=\sigma _{22}\\\sigma _{33}&=2C_{1}\left[{\cfrac {J^{1/3}}{\lambda ^{4}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

Las diferencias de estrés son

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

Si el material está en un estado de tensión plana entonces y tenemos ${\displaystyle \sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

También tenemos una relación entre y : ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle 2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

o,

${\displaystyle \left(2D_{1}-{\cfrac {C_{1}}{\lambda ^{4}}}\right)J^{2}+{\cfrac {3C_{1}}{\lambda ^{4}}}J^{4/3}-3D_{1}J-2C_{1}\lambda ^{2}=0}$

Esta ecuación se puede resolver utilizando el método de Newton. ${\displaystyle J}$

Material neo-hookeano incompresible

Para un material incompresible las diferencias entre las tensiones principales de Cauchy toman la forma ${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

En condiciones de tensión plana tenemos

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

Dilatación pura

Para el caso de dilatación pura

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ~:~~J=\lambda ^{3}~;~~I_{1}=3\lambda ^{2}}$

Por lo tanto, las tensiones principales de Cauchy para un material neo-Hookeano compresible están dadas por

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)+2D_{1}(\lambda ^{3}-1)}$

Si el material es incompresible entonces las tensiones principales pueden ser arbitrarias. ${\displaystyle \lambda ^{3}=1}$

Las figuras que aparecen a continuación muestran que se necesitan tensiones extremadamente altas para lograr grandes extensiones o compresiones triaxiales. De manera equivalente, estados de estiramiento triaxial relativamente pequeños pueden provocar que se desarrollen tensiones muy altas en un material similar al caucho. La magnitud de la tensión es bastante sensible al módulo volumétrico, pero no al módulo de corte.

Tijeras simples

Para el caso de cizallamiento simple el gradiente de deformación en términos de componentes con respecto a una base de referencia es de la forma ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

donde es la deformación cortante. Por lo tanto, el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo es ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Material neo-hookeano comprimible

En este caso . Por lo tanto, . Ahora, ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle \operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}(3+\gamma ^{2}){\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto, la tensión de Cauchy viene dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\tfrac {4C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

Material neo-hookeano incompresible

Utilizando la relación para la tensión de Cauchy para un material neo-Hookeano incompresible obtenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}2C_{1}(1+\gamma ^{2})-p&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &2C_{1}-p&0\\0&0&2C_{1}-p\end{bmatrix}}}$

De este modo, el sólido neo-Hookeano muestra una dependencia lineal de las tensiones de corte con respecto a la deformación de corte y una dependencia cuadrática de la diferencia de tensiones normales con respecto a la deformación de corte. Las expresiones para la tensión de Cauchy para un material neo-Hookeano compresible e incompresible en corte simple representan la misma cantidad y proporcionan un medio para determinar la presión desconocida . ${\displaystyle p}$

Referencias

1. Treloar, LRG (1943). "La elasticidad de una red de moléculas de cadena larga—II". Transactions of the Faraday Society . 39 : 241–246. doi :10.1039/TF9433900241.
2. Ogden, RW (26 de abril de 2013). Deformaciones elásticas no lineales. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31871-4.
3. Gent, AN, ed., 2001, Ingeniería con caucho , Carl Hanser Verlag, Munich.
4. Pence, TJ y Gou, K. (2015). Sobre versiones compresibles del material neo-hookeano incompresible. Matemáticas y mecánica de sólidos , 20(2), 157–182. [1]
5. Manual teórico de Abaqus (versión 6.8)

Véase también

• Material hiperelástico
• Función de densidad de energía de deformación
• Mooney-Rivlin sólido
• Teoría de la deformación finita
• Medidas de estrés