Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds

Enfoque de modelado de turbulencia

Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds ( ecuaciones RANS ) son ecuaciones de movimiento ^{[a] promediadas en el tiempo para} el flujo de fluidos . La idea detrás de las ecuaciones es la descomposición de Reynolds , mediante la cual una cantidad instantánea se descompone en sus cantidades fluctuantes y promediadas en el tiempo, una idea propuesta por primera vez por Osborne Reynolds . ^[1] Las ecuaciones RANS se utilizan principalmente para describir flujos turbulentos . Estas ecuaciones se pueden utilizar con aproximaciones basadas en el conocimiento de las propiedades de la turbulencia del flujo para dar soluciones aproximadas promediadas en el tiempo a las ecuaciones de Navier-Stokes . Para un flujo estacionario de un fluido newtoniano incompresible , estas ecuaciones se pueden escribir en notación de Einstein en coordenadas cartesianas como:

$${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

El lado izquierdo de esta ecuación representa el cambio en el momento medio de un elemento fluido debido a la inestabilidad en el flujo medio y la convección por el flujo medio. Este cambio se equilibra con la fuerza corporal media, la tensión isotrópica debida al campo de presión medio, las tensiones viscosas y la tensión aparente debida al campo de velocidad fluctuante, generalmente denominada tensión de Reynolds . Este término de tensión de Reynolds no lineal requiere un modelado adicional para cerrar la ecuación RANS y ha llevado a la creación de muchos modelos de turbulencia diferentes . El operador de tiempo promedio es un operador de Reynolds . ${\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {.}}}$

Derivación de ecuaciones RANS

La herramienta básica necesaria para derivar las ecuaciones RANS a partir de las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes es la descomposición de Reynolds . La descomposición de Reynolds se refiere a la separación de la variable de flujo (como la velocidad ) en el componente medio (promediado en el tiempo) ( ) y el componente fluctuante ( ). Como el operador medio es un operador de Reynolds , tiene un conjunto de propiedades. Una de estas propiedades es que la media de la cantidad fluctuante es igual a cero . De este modo, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\overline {u}}}$ ${\displaystyle u^{\prime }}$ ${\displaystyle ({\bar {u'}}=0)}$

$${\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u'({\boldsymbol {x}},t),}$$

^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u'}$

Las propiedades de los operadores de Reynolds son útiles en la derivación de las ecuaciones RANS. Usando estas propiedades, las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes, expresadas en notación tensorial, son (para un fluido newtoniano incompresible):

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$$

${\displaystyle f_{i}}$

A continuación, cada cantidad instantánea se puede dividir en componentes fluctuantes y promediados en el tiempo, y la ecuación resultante promediada en el tiempo, ^[b] para producir:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$$

La ecuación del momento también se puede escribir como ^[c]

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.}$$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}$$

donde, es la tasa media de tensor de deformación. ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

Finalmente, dado que la integración en el tiempo elimina la dependencia temporal de los términos resultantes, se debe eliminar la derivada temporal, quedando:

$${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

Ecuaciones de tensión de Reynolds

La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds viene dada por: ^[3]

$${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$$

energía cinética de turbulencia ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Aplicaciones (modelado RANS)

• Se determinó que un modelo para probar el rendimiento, cuando se combina con la red de vórtice (VLM) o el método del elemento límite (BEM), RANS resultó útil para modelar el flujo de agua entre dos hélices de rotación opuesta, donde se aplican VLM o BEM a la hélices y RANS se utiliza para el estado entre hélices de flujo dinámico. ^[4]
• Las ecuaciones RANS se han utilizado ampliamente como modelo para determinar las características del flujo y evaluar el confort del viento en entornos urbanos. Este enfoque computacional se puede ejecutar mediante cálculos directos que involucran la solución de las ecuaciones RANS, o mediante un método indirecto que involucra el entrenamiento de algoritmos de aprendizaje automático utilizando las ecuaciones RANS como base. El enfoque directo es más preciso que el indirecto, pero requiere experiencia en métodos numéricos y dinámica de fluidos computacional (CFD), así como recursos computacionales sustanciales para manejar la complejidad de las ecuaciones. ^[5]

Notas

1. El promedio de tiempo real ( ) de una variable ( ) se define por ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle x}$
   $${\displaystyle {\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.}$$
   Para que sea un término bien definido, el límite ( ) debe ser independiente de la condición inicial en . En el caso de un sistema dinámico caótico , como se cree que son las ecuaciones en condiciones turbulentas, esto significa que el sistema sólo puede tener un atractor extraño , un resultado que aún no se ha demostrado para las ecuaciones de Navier-Stokes. Sin embargo, suponiendo que exista el límite (lo que ocurre con cualquier sistema acotado, como ciertamente lo son las velocidades de los fluidos), existe algo tal que la integración desde a sea arbitrariamente cercana al promedio. Esto significa que, dados datos transitorios durante un tiempo suficientemente largo, el promedio puede calcularse numéricamente con un pequeño error. Sin embargo, no existe una forma analítica de obtener un límite superior . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
2. Al dividir cada cantidad instantánea en sus componentes promediados y fluctuantes se obtiene,
   $${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0}$$
   $${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$
   Al promediar en el tiempo estas ecuaciones se obtiene,
   $${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0}$$
   $${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}.}$$
   Tenga en cuenta que los términos no lineales (como ) se pueden simplificar a ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$
   $${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u}}_{j}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$$
3. Esto se desprende de la ecuación de conservación de masa que da,
   $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0}$$

Ver también

• promediando favre

Referencias

1. Reynolds, Osborne (1895). "Sobre la teoría dinámica de fluidos viscosos incompresibles y la determinación del criterio". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres A. 186 : 123–164. Código Bib : 1895RSPTA.186..123R. doi : 10.1098/rsta.1895.0004 . JSTOR  90643.
2. Tennekes, H.; Lumley, JL (1992). Un primer curso de turbulencias (14. ed. impresa). Cambridge, Massachusetts [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-20019-6.
3. PY Chou (1945). "Sobre las correlaciones de velocidad y las soluciones de las ecuaciones de fluctuación turbulenta". Cuarto de galón. Aplica. Matemáticas . 3 : 38–54. doi : 10.1090/qam/11999 .
4. Su, Yiran; Kinnas, Spyros A.; Jukola, Hannu (junio de 2017). "Aplicación de un método interactivo BEM/RANS a hélices contrarrotativas" (PDF) . www.marinepropulsors.com . Espoo , Finlandia: Simposio Internacional sobre Propulsión Marina. (Su: Grupo de Ingeniería Oceánica, Departamento de Ingeniería Civil, Arquitectónica y Ambiental de la Universidad de Texas en Austin ; Jukola: Steerprop Ltd. PO Box 217, FI-26101 Rauma, Finlandia ). pag. 1 . Consultado el 2 de julio de 2021 , a través de Google Scholar .{{cite web}}: CS1 maint: date and year (link)
5. BenMoshe, Nir; Fattal, Eyal; Leitl, Bernd; Arav, Yehuda (junio de 2023). "Uso del aprendizaje automático para predecir el flujo del viento en zonas urbanas". Atmósfera . 14 (6): 990. doi : 10.3390/atmos14060990 .