Un número tetraédrico , o número piramidal triangular , es un número figurado que representa una pirámide con base triangular y tres lados, llamada tetraedro . El n- ésimo número tetraédrico, Ten , es la suma de los primeros n números triangulares , es decir,
Por lo tanto, los números tetraédricos se pueden encontrar en la cuarta posición, ya sea desde la izquierda o desde la derecha en el triángulo de Pascal .
Pruebas de fórmula
Esta prueba utiliza el hecho de que el n- ésimo número triangular está dado por
Los números tetraédricos y triangulares están relacionados a través de las fórmulas recursivas
La ecuación se convierte en
Sustituyendo en la ecuación
Por lo tanto, el número tetraédrico n° satisface la siguiente ecuación recursiva
Generalización
El patrón encontrado para los números triangulares y tetraédricos se puede generalizar, lo que conduce a la fórmula: [1]
Interpretación geométrica
Los números tetraédricos se pueden modelar apilando esferas. Por ejemplo, el quinto número tetraédrico ( Te 5 = 35 ) se puede modelar con 35 bolas de billar y el marco triangular estándar de bolas de billar que sostiene 15 bolas en su lugar. Luego se apilan 10 bolas más sobre ellas, luego otras 6, luego otras tres y una bola en la parte superior completa el tetraedro.
Cuando se utilizan tetraedros de orden n construidos a partir de diez esferas como unidad, se puede demostrar que un mosaico espacial con tales unidades puede lograr un empaquetamiento de esferas más denso siempre que n ≤ 4. [ 2] [ dudoso – discutir ]
Raíces tetraédricas y pruebas para números tetraédricos
Por analogía con la raíz cúbica de x , se puede definir la raíz tetraédrica (real) de x como el número n tal que Te n = x :
que se desprende de la fórmula de Cardano . De manera equivalente, si la raíz tetraédrica real n de x es un entero, x es el n- ésimo número tetraédrico.
El único número tetraédrico que también es un número piramidal cuadrado es 1 (Beukers, 1988), y el único número tetraédrico que también es un cubo perfecto es 1.
La paridad de los números tetraédricos sigue el patrón repetitivo impar-par-par-par.
Una observación de números tetraédricos:
Te 5 = Te 4 + Te 3 + Te 2 + Te 1
Los números que son a la vez triangulares y tetraédricos deben satisfacer la ecuación del coeficiente binomial :
Los únicos números que son a la vez tetraédricos y triangulares son (secuencia A027568 en la OEIS ):
Te 1 = T 1 = 1
Te 3 = T 4 = 10
Te 8 = T 15 = 120
Te 20 = T 55 = 1540
Te 34 = T 119 = 7140
Te n es la suma de todos los productos p × q donde ( p , q ) son pares ordenados y p + q = n + 1
Ten es el número de números de ( n + 2) bits que contienen dos series de 1 en su expansión binaria.
El número tetraédrico más grande de la forma para algunos números enteros es 8436 .
Cultura popular
Te 12 = 364 es el número total de regalos "que mi verdadero amor me envió" durante el transcurso de los 12 versos del villancico, " Los doce días de Navidad ". [3] El número total acumulado de regalos después de cada verso también es Ten para el verso n .
^ Baumann, Michael Heinrich (12 de diciembre de 2018). "La pirámide de champán k-dimensional" (PDF) . Mathematische Semesterberichte (en alemán). 66 : 89-100. doi :10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. S2CID 125426184.
^ "Tetrahedra". 21 de mayo de 2000. Archivado desde el original el 21 de mayo de 2000.
^ Brent (21 de diciembre de 2006). "Los doce días de Navidad y los números tetraédricos". Mathlesstraveled.com . Consultado el 28 de febrero de 2017 .