Número tetraédrico

Número poliédrico que representa un tetraedro

Una pirámide con un lado de longitud 5 contiene 35 esferas. Cada capa representa uno de los primeros cinco números triangulares.

Un número tetraédrico , o número piramidal triangular , es un número figurado que representa una pirámide con base triangular y tres lados, llamada tetraedro . El n- ésimo número tetraédrico, Ten _, es la suma de los primeros n números triangulares , es decir,

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}$

Los números tetraédricos son:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (secuencia A000292 en la OEIS )

Fórmula

Derivación del número tetraédrico a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda .

  Números naturales

  Números triangulares

  Números tetraédricos

  Números de pentátopos

  Números 5-simplex

  Números 6-simplex

  Números 7-simplex

La fórmula para el n -ésimo número tetraédrico está representada por el 3er factorial ascendente de n dividido por el factorial de 3:

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}$

Los números tetraédricos también se pueden representar como coeficientes binomiales :

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Por lo tanto, los números tetraédricos se pueden encontrar en la cuarta posición, ya sea desde la izquierda o desde la derecha en el triángulo de Pascal .

Pruebas de fórmula

Esta prueba utiliza el hecho de que el n- ésimo número triangular está dado por

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Procede por inducción .

Caso base

${\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.}$

Paso inductivo

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}$

La fórmula también se puede demostrar mediante el algoritmo de Gosper .

Relación recursiva

Los números tetraédricos y triangulares están relacionados a través de las fórmulas recursivas

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}}$

La ecuación se convierte en ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}}$

Sustituyendo en la ecuación ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el número tetraédrico n° satisface la siguiente ecuación recursiva ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}}$

Generalización

El patrón encontrado para los números triangulares y tetraédricos se puede generalizar, lo que conduce a la fórmula: ^[1] ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}}$ $${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Interpretación geométrica

Los números tetraédricos se pueden modelar apilando esferas. Por ejemplo, el quinto número tetraédrico ( Te ₅ = 35 ) se puede modelar con 35 bolas de billar y el marco triangular estándar de bolas de billar que sostiene 15 bolas en su lugar. Luego se apilan 10 bolas más sobre ellas, luego otras 6, luego otras tres y una bola en la parte superior completa el tetraedro.

Cuando se utilizan tetraedros de orden n construidos a partir de diez _esferas como unidad, se puede demostrar que un mosaico espacial con tales unidades puede lograr un empaquetamiento de esferas más denso siempre que n ≤ 4. [ ^{2] [ dudoso – discutir ]}

Raíces tetraédricas y pruebas para números tetraédricos

Por analogía con la raíz cúbica de x , se puede definir la raíz tetraédrica (real) de x como el número n tal que Te _n = x : $${\displaystyle n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1}$$

que se desprende de la fórmula de Cardano . De manera equivalente, si la raíz tetraédrica real n de x es un entero, x es el n- ésimo número tetraédrico.

Propiedades

• Te _n + Te _{n −1} = 1 ² + 2 ² + 3 ² ... + n ² , los números piramidales cuadrados .

  Te _2n+1 = 1 ² + 3 ² ... + (2n+1) ² , suma de cuadrados impares.

  Te _2n = 2 ² + 4 ² ... + (2n) ²   , suma de cuadrados pares.

• AJ Meyl demostró en 1878 que sólo tres números tetraédricos son también cuadrados perfectos , a saber:

  Te ₁ = 1 ² = 1      

  Te ₂ = 2 ² = 4      

  Te ₄₈ = 140 ² = 19600 .

• Sir Frederick Pollock conjeturó que todo número entero positivo es la suma de como máximo 5 números tetraédricos: véase Conjetura de los números tetraédricos de Pollock .
• El único número tetraédrico que también es un número piramidal cuadrado es 1 (Beukers, 1988), y el único número tetraédrico que también es un cubo perfecto es 1.
• La suma infinita de los recíprocos de los números tetraédricos es3/2⁠ , que se puede derivar utilizando series telescópicas :

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

• La paridad de los números tetraédricos sigue el patrón repetitivo impar-par-par-par.
• Una observación de números tetraédricos:

  Te ₅ = Te ₄ + Te ₃ + Te ₂ + Te ₁

• Los números que son a la vez triangulares y tetraédricos deben satisfacer la ecuación del coeficiente binomial :

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

El tercer número tetraédrico es igual al cuarto número triangular, ya que el n- ésimo número k -símplex es igual al k -ésimo número n -símplex debido a la simetría del triángulo de Pascal y a que sus diagonales son números símplex; de manera similar, el quinto número tetraédrico (35) es igual al cuarto número pentátopo , y así sucesivamente.

Los únicos números que son a la vez tetraédricos y triangulares son (secuencia A027568 en la OEIS ):

Te ₁ = T ₁ = 1   

Te ₃ = T ₄ = 10  

Te ₈ = T ₁₅ =  120

Te ₂₀ = T ₅₅ = 1540

Te ₃₄ = T ₁₁₉ = 7140

• Te _n es la suma de todos los productos p × q donde ( p , q ) son pares ordenados y p + q = n + 1
• Ten _es el número de números de ( n + 2) bits que contienen dos series de 1 en su expansión binaria.
• El número tetraédrico más grande de la forma para algunos números enteros es 8436 . ${\displaystyle 2^{a}+3^{b}+1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Cultura popular

Número de regalos de cada tipo y cantidad recibida cada día y su relación con los números figurativos

Te ₁₂ = 364 es el número total de regalos "que mi verdadero amor me envió" durante el transcurso de los 12 versos del villancico, " Los doce días de Navidad ". ^{[3] El número total acumulado de regalos después de cada verso} _también es Ten para el verso n .

El número de posibles combinaciones de tres casas de KeyForge también es un número tetraédrico, Te _{n −2,} donde n es el número de casas.

Véase también

• Número triangular centrado

Referencias

1. Baumann, Michael Heinrich (12 de diciembre de 2018). "La pirámide de champán k-dimensional" (PDF) . Mathematische Semesterberichte (en alemán). 66 : 89-100. doi :10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN  1432-1815. S2CID  125426184.
2. "Tetrahedra". 21 de mayo de 2000. Archivado desde el original el 21 de mayo de 2000.
3. Brent (21 de diciembre de 2006). "Los doce días de Navidad y los números tetraédricos". Mathlesstraveled.com . Consultado el 28 de febrero de 2017 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número tetraédrico". MathWorld .
• Prueba geométrica de la fórmula del número tetraédrico por Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project .