Número de pentátopo

Número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal

Derivación de números pentátopos a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda .

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En teoría de números , un número pentátopo es un número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal que comienza con la fila de 5 términos 1 4 6 4 1 , ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Se llama así porque representa la cantidad de esferas unitarias tridimensionales que se pueden empaquetar en un pentátopo (un tetraedro tetradimensional ) de longitudes laterales crecientes.

Los primeros números de este tipo son:

1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210 , 330 , 495 , 715 , 1001 , 1365 (secuencia A000332 en la OEIS )

Un pentatopo con una longitud de lado de 5 contiene 70 3-esferas . Cada capa representa uno de los primeros cinco números tetraédricos . Por ejemplo, la capa inferior (verde) tiene 35 esferas en total.

Los números pentátopos pertenecen a la clase de números figurados , que pueden representarse como patrones geométricos regulares y discretos. ^[1]

Fórmula

La fórmula para el n -ésimo número pentátopo está representada por el cuarto factorial ascendente de n dividido por el factorial de 4:

${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}.}$

Los números pentátopos también se pueden representar como coeficientes binomiales :

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

que es el número de cuádruples distintos que se pueden seleccionar entre n + 3 objetos, y se lee en voz alta como " n más tres elige cuatro".

Propiedades

Dos de cada tres números pentátopos son también números pentagonales . Para ser precisos, el (3 k − 2) ésimo número pentátopo es siempre el ésimo número pentagonal y el (3 k − 1) ésimo número pentátopo es siempre el ésimo número pentagonal. El (3 k ) ésimo número pentátopo es el número pentagonal generalizado que se obtiene tomando el índice negativo en la fórmula para números pentagonales. (Estas expresiones siempre dan números enteros ). ^[2] ${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}-k}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}+k}{2}}\right)}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3k^{2}+k}{2}}}$

La suma infinita de los recíprocos de todos los números pentátopos es4/3⁠ . ^[3] Esto se puede derivar utilizando series telescópicas .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4!}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {4}{3}}.}$

Los números de pentátopos se pueden representar como la suma de los primeros n números tetraédricos : ^[2]

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Te} _{k},}$

y también están relacionados con los propios números tetraédricos:

${\displaystyle P_{n}={\tfrac {1}{4}}(n+3)\mathrm {Te} _{n}.}$

Ningún número primo es predecesor de un número pentátopo (solo se necesita verificar -1 y 4 = 2 ⁾ , y el semiprimo más grande que es predecesor de un número pentátopo es 1819.

De manera similar, los únicos primos que preceden a un número 6-símplex son 83 y 461.

Prueba de números pentátopos

Podemos derivar esta prueba de la fórmula para el n -ésimo número pentátopo.

Dado un entero positivo x , para comprobar si es un número pentátopo podemos calcular la raíz positiva utilizando el método de Ferrari :

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {5+4{\sqrt {24x+1}}}}-3}{2}}.}$

El número x es pentátopo si y solo si n es un número natural . En ese caso x es el n- ésimo número pentátopo.

Función generadora

La función generadora de números pentátopos es ^[4]

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}$

Aplicaciones

En bioquímica , los números de pentátopo representan el número de posibles disposiciones de n subunidades polipeptídicas diferentes en una proteína tetramérica (tetraédrica).

Referencias

1. Deza, Elena ; Deza, M. (2012), "3.1 Números pentátopos y sus análogos multidimensionales", Figurate Numbers , World Scientific, p. 162, ISBN 9789814355483
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000332". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
3. Rockett, Andrew M. (1981), "Sumas de las inversas de los coeficientes binomiales" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 19 (5): 433–437. Teorema 2, pág. 435.
4. "Sitio de Wolfram MathWorld".