Número intocable

Número que no se puede escribir como suma alícuota

En matemáticas , un número intocable es un entero positivo que no se puede expresar como la suma de todos los divisores propios de ningún entero positivo. Es decir, estos números no son la imagen de la función suma alícuota . Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (circa 1000 d. C.), quien observó que tanto el 2 como el 5 son intocables. ^[1]

Ejemplos

Si dibujamos una flecha que apunte desde cada entero positivo a la suma de todos sus divisores propios, no habrá ninguna flecha que apunte a números intocables como 2 y 5.

• El número 4 no es intocable, ya que es igual a la suma de los divisores propios de 9: 1 + 3 = 4.
• El número 5 es intocable, ya que no es la suma de los divisores propios de ningún entero positivo: 5 = 1 + 4 es la única forma de escribir 5 como la suma de enteros positivos distintos, incluido 1, pero si 4 divide un número, 2 también lo hace, por lo que 1 + 4 no puede ser la suma de todos los divisores propios de ningún número (ya que la lista de factores tendría que contener tanto 4 como 2).
• El número 6 no es intocable, ya que es igual a la suma de los divisores propios del propio 6: 1 + 2 + 3 = 6.

Los primeros números intocables son

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262 , 268 , 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (secuencia A005114 en la OEIS ).

Propiedades

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen otros números impares intocables aparte del 5?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se cree que el número 5 es el único número impar intocable, pero esto no ha sido probado. Se seguiría de una versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach , ya que la suma de los divisores propios de pq (con p , q primos distintos) es 1 + p + q . Por lo tanto, si un número n puede escribirse como una suma de dos primos distintos, entonces n + 1 no es un número intocable. Se espera que cada número par mayor que 6 sea una suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 7 es un número intocable, y , , , por lo que solo 5 puede ser un número impar intocable. ^[2] Por lo tanto, parece que además de 2 y 5, todos los números intocables son números compuestos (ya que excepto 2, todos los números pares son compuestos). Ningún número perfecto es intocable, ya que, como mínimo, puede expresarse como la suma de sus propios divisores propios . De la misma manera, ninguno de los números amigos o sociables es intocable. Asimismo, ninguno de los números de Mersenne es intocable, ya que M _n = 2 ⁿ − 1 es igual a la suma de los divisores propios de 2 ⁿ . ${\displaystyle 1=\sigma (2)-2}$ ${\displaystyle 3=\sigma (4)-4}$ ${\displaystyle 7=\sigma (8)-8}$

Ningún número intocable es uno más que un número primo , ya que si p es primo, entonces la suma de los divisores propios de p ² es  p  + 1. Además, ningún número intocable es tres más que un número primo, excepto 5, ya que si p es un primo impar entonces la suma de los divisores propios de 2 p es  p  + 3.

Infinitud

Hay una infinidad de números intocables, hecho que fue demostrado por Paul Erdős . ^[3] Según Chen y Zhao, su densidad natural es al menos d > 0,06. ^[4]

Véase también

• Secuencia de alícuotas
• No paciente
• No co-otiente
• Número extraño

Referencias

1. Sesiano, J. (1991), "Dos problemas de la teoría de números en tiempos islámicos", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 41 (3): 235–238, doi :10.1007/BF00348408, JSTOR  41133889, MR  1107382, S2CID  115235810
2. La versión más fuerte se obtiene añadiendo a la conjetura de Goldbach el requisito adicional de que los dos primos sean distintos (véase Adams-Watters, Frank y Weisstein, Eric W. "Untouchable Number". MathWorld .
3. P. Erdos, Über die Zahlen der Form und . Elementos de matemáticas. 28 (1973), 83-86 ${\displaystyle \sigma (n)-n}$ ${\displaystyle n-\phi (n)}$
4. Yong-Gao Chen y Qing-Qing Zhao, Números no alícuotas, Publ. Matemáticas. Debrecen 78:2 (2011), págs. 439-442.

• Richard K. Guy , Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; sección B10. 

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A070015 (Mínimo m tal que la suma de las partes alícuotas de m sea igual a n o 0 si no existe tal número)