N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills

Teoría superconforme de Yang-Mills

La teoría  supersimétrica de Yang-Mills ( SYM ) N = 4 es una teoría de calibración lagrangiana invariante conforme relativista que describe las interacciones de los fermiones a través de intercambios de campos de calibración . En dimensiones de espacio-tiempo D = 4, N = 4 es el número máximo de supersimetrías o cargas de supersimetría. ^[1]

La teoría SYM es una teoría de juguete basada en la teoría de Yang-Mills ; no modela el mundo real, pero es útil porque puede actuar como un campo de pruebas para enfoques para abordar problemas en teorías más complejas. ^[2] Describe un universo que contiene campos de bosones y campos de fermiones que están relacionados por cuatro supersimetrías (esto significa que transformar los campos bosónicos y fermiónicos de cierta manera deja la teoría invariante). Es una de las más simples (en el sentido de que no tiene parámetros libres excepto el grupo de calibración ) y una de las pocas teorías de campos cuánticos finitos ultravioleta en 4 dimensiones. Puede considerarse como la teoría de campos más simétrica que no involucra la gravedad.

Al igual que todas las teorías de campos supersimétricos, la teoría SYM puede formularse de manera equivalente como una teoría de supercampos en un superespacio extendido en el que las variables espacio-temporales se aumentan con una serie de variables de Grassmann que, para el caso N = 4, consisten en 4 espinores de Dirac , lo que hace un total de 16 generadores anticonmutativos independientes para el anillo extendido de superfunciones. Las ecuaciones de campo son equivalentes a la condición geométrica de que la supercurvatura 2-forma se desvanece de manera idéntica en todas las líneas supernulas . ^{[3] [4]} Esto también se conoce como la correspondencia super-ambitwistor .

Una caracterización similar del superambitwistor se aplica a la teoría superYang-Mills de dimensión D = 10, N = 1, ^{[5] [6]} y los casos de dimensión inferior D = 6, N = 2 y D = 4, N = 4 pueden derivarse de esto a través de una reducción dimensional .

Significado denortey números de campos

En la teoría supersimétrica de Yang-Mills N, N denota el número de operaciones supersimétricas independientes que transforman el campo de calibración de espín -1 en campos fermiónicos de espín 1/2. ^[7] En una analogía con las simetrías bajo rotaciones, N sería el número de rotaciones independientes, N  = 1 en un plano, N  = 2 en el espacio 3D, etc... Es decir, en una teoría SYM N  = 4, el bosón de calibración puede ser "rotado" en N  = 4 socios fermiónicos supersimétricos diferentes. A su vez, cada fermión puede ser rotado en cuatro bosones diferentes: uno corresponde a la rotación de regreso al campo de calibración de espín 1, y los otros tres son campos de bosones de espín 0. Debido a que en el espacio 3D uno puede usar diferentes rotaciones para alcanzar un mismo punto (o aquí el mismo bosón de espín 0), cada bosón de espín 0 es supercompañero de dos fermiones de espín 1/2 diferentes, no solo uno. ^[7] Así que en total, uno tiene sólo 6 bosones de espín 0, no 16.

Por lo tanto, N  = 4 SYM tiene 1 + 4 + 6 = 11 campos, a saber: un campo vectorial (el bosón de calibre de espín 1), cuatro campos de espinor (los fermiones de espín 1/2) y seis campos escalares (los bosones de espín 0). N  = 4 es el número máximo de supersimetrías independientes: partiendo de un campo de espín 1 y usando más supersimetrías, p. ej., N  = 5, solo rota entre los 11 campos. Para tener N > 4 supersimetrías independientes, se necesita partir de un campo de calibre de espín mayor que 1, p. ej., un campo tensorial  de espín 2 como el del gravitón . Esta es la teoría de supergravedad N  = 8 .

Lagrangiano

El lagrangiano de la teoría es ^{[1] [8]}

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},}$

donde y son constantes de acoplamiento (específicamente es el acoplamiento de calibre y es el ángulo de instantón ), la intensidad de campo es con el campo de calibre y los índices i , j = 1, ..., 6 así como a , b = 1, ..., 4, y representa las constantes de estructura del grupo de calibre particular. Los son fermiones de Weyl izquierdos , son las matrices de Pauli , es la derivada covariante de calibre , son escalares reales, y representa las constantes de estructura del grupo de simetría R SU(4), que rota las cuatro supersimetrías. Como consecuencia de los teoremas de no renormalización , esta teoría de campo supersimétrica es de hecho una teoría de campo superconforme . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$ ${\displaystyle A_{\nu }^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle C_{i}^{ab}}$

Lagrangiano de diez dimensiones

El Lagrangiano anterior se puede encontrar comenzando con el Lagrangiano de diez dimensiones más simple.

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},}$

donde I y J ahora se ejecutan de 0 a 9 y son las matrices gamma de 32 por 32 , seguido de la adición del término con que es un término topológico . ${\displaystyle \Gamma ^{I}}$ ${\displaystyle (32=2^{10/2})}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$

Los componentes del campo de calibración para i  = 4 a 9 se convierten en escalares al eliminar las dimensiones adicionales. Esto también da una interpretación de la simetría R de SO(6) como rotaciones en las dimensiones compactas adicionales. ${\displaystyle A_{i}}$

Por compactificación en un T ⁶ , se conservan todas las supercargas , dando N  = 4 en la teoría de 4 dimensiones.

Una interpretación de la teoría de cuerdas de tipo IIB de la teoría es la teoría del volumen mundial de una pila de D3-branas .

S-dualidad

Las constantes de acoplamiento y naturalmente se emparejan en una única constante de acoplamiento. ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \tau :={\frac {\theta _{I}}{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

La teoría tiene simetrías que se desplazan en números enteros. La conjetura de la dualidad S dice que también hay una simetría que envía y desplaza el grupo a su grupo dual de Langlands . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$ ${\displaystyle G}$

Correspondencia AdS/CFT

Esta teoría también es importante ^[1] en el contexto del principio holográfico . Existe una dualidad entre la teoría de cuerdas de tipo IIB en el espacio AdS ₅ × S ^{5 (un producto del espacio AdS de 5 dimensiones con una} esfera de 5 dimensiones ) y N  = 4 super Yang-Mills en el límite de 4 dimensiones de AdS _5. Sin embargo, esta realización particular de la correspondencia AdS/CFT no es un modelo realista de la gravedad, ya que la gravedad en nuestro universo es de 4 dimensiones. A pesar de esto, la correspondencia AdS/CFT es la realización más exitosa del principio holográfico, una idea especulativa sobre la gravedad cuántica propuesta originalmente por Gerard 't Hooft , quien estaba ampliando el trabajo sobre la termodinámica de los agujeros negros, y fue mejorada y promovida en el contexto de la teoría de cuerdas por Leonard Susskind .

Integrabilidad

Hay evidencia de que la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 tiene una estructura integrable en el límite N grande planar (ver más abajo qué significa "planar" en el presente contexto). ^[9] A medida que el número de colores (también denotado N ) tiende al infinito, las amplitudes escalan como , de modo que solo sobrevive la contribución del género 0 (grafo planar) . Los diagramas de Feynman planares son grafos en los que ningún propagador se cruza con otro, en contraste con los grafos de Feynman no planares donde uno o más propagadores se cruzan con otro. ^[10] Un grafo no planar tiene un número menor de posibles bucles de calibración en comparación con un grafo planar similar. Por lo tanto, los grafos no planares se suprimen por factores en comparación con los planares que, por lo tanto, dominan en el límite N grande . En consecuencia, una teoría de Yang-Mills planar denota una teoría en el límite N grande , con N generalmente el número de colores . De manera similar, un límite planar es un límite en el cual las amplitudes de dispersión están dominadas por diagramas de Feynman a los que se les puede dar la estructura de gráficos planares. ^[11] En el límite N grande , el acoplamiento se desvanece y, por lo tanto, un formalismo perturbativo es adecuado para cálculos N grandes . Por lo tanto, los gráficos planares están asociados al dominio donde los cálculos perturbativos convergen bien. ${\displaystyle N^{2-2g}}$ ${\displaystyle 1/N^{2-2g}}$ ${\displaystyle g}$

Beisert et al. ^[12] ofrecen un artículo de revisión que demuestra cómo en esta situación los operadores locales pueden expresarse a través de ciertos estados en cadenas de espín (en particular la cadena de espín de Heisenberg ), pero basándose en una superálgebra de Lie más grande en lugar de para el espín ordinario. Estas cadenas de espín son integrables en el sentido de que pueden resolverse mediante el método de ansatz de Bethe . También construyen una acción del Yangiano asociado sobre amplitudes de dispersión . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Nima Arkani-Hamed et al. también han investigado este tema. Utilizando la teoría de twistores , encuentran una descripción (el formalismo del amplituedro ) en términos del Grassmanniano positivo . ^[13]

Relación con la teoría M de 11 dimensiones

N  = 4 super Yang–Mills se puede derivar de una teoría de 10 dimensiones más simple, y sin embargo la supergravedad y la teoría M existen en 11 dimensiones. La conexión es que si el grupo de calibración U( N ) de SYM se vuelve infinito, se vuelve equivalente a una teoría de 11 dimensiones conocida como teoría de matrices . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Véase también

• Supersimetría global 4D N = 1
• Teoría de campos superconformes 6D (2,0)
• Supersimetría extendida
• N = 1 teoría supersimétrica de Yang-Mills
• N = 8 supergravedad
• Teoría de Seiberg-Witten

Referencias

Citas

1. d'Hoker, Eric; Freedman, Daniel Z. (2004). "Teorías de calibre supersimétricas y la correspondencia Ads/CFT". Cuerdas, branas y dimensiones extra . págs. 3–159. arXiv : hep-th/0201253 . doi :10.1142/9789812702821_0001. ISBN 978-981-238-788-2. Número de identificación del sujeto  119501374.
2. Matt von Hippel (21 de mayo de 2013). "Obtener un doctorado estudiando una teoría que sabemos que es errónea". Ars Technica .
3. Witten, E. (1978). "Una interpretación de la teoría clásica de Yang-Mills". Phys. Lett . 77B (4–5): 394–398. Bibcode :1978PhLB...77..394W. doi :10.1016/0370-2693(78)90585-3.
4. Harnad, J.; Hurtubise, J.; Légaré, M.; Shnider, S. (1985). "Ecuaciones de restricción y ecuaciones de campo en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 3". Física nuclear . B256 : 609–620. Código Bibliográfico :1985NuPhB.256..609H. doi :10.1016/0550-3213(85)90410-9.
5. Witten, E. (1986). "Transformada tipo Twistor en diez dimensiones". Física nuclear . B266 (2): 245–264. Código Bibliográfico :1986NuPhB.266..245W. doi :10.1016/0550-3213(86)90090-8.
6. Harnad, J.; Shnider, S. (1986). "Restricciones y ecuaciones de campo para la teoría de diez dimensiones de Super Yang-Mills". Commun. Math. Phys . 106 (2): 183–199. Bibcode :1986CMaPh.106..183H. doi :10.1007/BF01454971. S2CID  122622189.
7. "N = 4: Partículas máximas para máxima diversión", del blog 4 gravitones (2013)
8. Luke Wassink (2009). «Teoría de N = 4 Super Yang–Mills» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2014-05-31 . Consultado el 2013-05-22 .
9. Ammon, Martin; Erdmenger, Johanna (2015). "Integrabilidad y amplitudes de dispersión". Dualidad calibre/gravedad . págs. 240–272. doi :10.1017/CBO9780511846373.008. ISBN . 9780511846373.
10. "Planar vs. No-planar: una historia colorida", del blog 4 gravitons (2013)
11. límite planar en nLab
12. Beisert, Niklas (enero de 2012). "Revisión de la integrabilidad de AdS/CFT: una descripción general". Letters in Mathematical Physics . 99 (1–3): 425. arXiv : 1012.4000 . Código Bibliográfico :2012LMaPh..99..425K. doi :10.1007/s11005-011-0516-7. S2CID  254796664.
13. Arkani-Hamed, Nima; Bourjaily, Jacob L.; Cachazo, Freddy; Goncharov, Alexander B.; Postnikov, Alexander; Trnka, Jaroslav (2012). "Amplitudes de dispersión y el Grassmanniano positivo". arXiv : 1212.5605 . doi :10.14288/1.0043020. S2CID  119599921. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )

Fuentes

• Kapustin, Anton; Witten, Edward (2007). "Dualidad electromagnética y el programa geométrico de Langlands". Comunicaciones en teoría de números y física . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Código Bibliográfico :2007CNTP....1....1K. doi :10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID  30505126.