Álgebra superconforme

Álgebra que combina tanto la supersimetría como la simetría conforme

En física teórica , el álgebra superconforme es un álgebra de Lie graduada o superálgebra que combina el álgebra conforme y la supersimetría . En dos dimensiones, el álgebra superconforme es de dimensión infinita. En dimensiones superiores, las álgebras superconformes son de dimensión finita y generan el grupo superconforme (en dos dimensiones euclidianas, la superálgebra de Lie no genera ningún supergrupo de Lie ).

Álgebra superconforme en dimensión mayor que 2

El grupo conforme del espacio de dimensión - es y su álgebra de Lie es . El álgebra superconforme es una superálgebra de Lie que contiene el factor bosónico y cuyos generadores impares se transforman en representaciones de espinor de . Dada la clasificación de Kac de las superálgebras de Lie simples de dimensión finita, esto solo puede suceder para valores pequeños de y . Una lista (posiblemente incompleta) es ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$en 3+0D gracias a ; ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$en 2+1D gracias a ; ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$en 4+0D gracias a ; ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$en 3+1D gracias a ; ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$en 2+2D gracias a ; ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$
• Formas reales de en cinco dimensiones ${\displaystyle F(4)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$en 5+1D, gracias al hecho de que las representaciones espinorales y fundamentales de están mapeadas entre sí por automorfismos externos. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$

Álgebra superconforme en 3+1D

Según ^{[1] [2]} el álgebra superconforme con supersimetrías en 3+1 dimensiones está dada por los generadores bosónicos , , , , la R-simetría U(1) , la R-simetría SU(N) y los generadores fermiónicos , , y . Aquí, denotan índices de espacio-tiempo; índices de espinor de Weyl zurdos; índices de espinor de Weyl diestros; y los índices de simetría R interna. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ ${\displaystyle Q^{\alpha i}}$ ${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$ ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$ ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$ ${\displaystyle i,j,\dots }$

Los supercorchetes de Lie del álgebra conforme bosónica están dados por

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

donde η es la métrica de Minkowski ; mientras que las de los generadores fermiónicos son:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

Los generadores conformes bosónicos no llevan ninguna carga R, ya que conmutan con los generadores de simetría R:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

Pero los generadores fermiónicos sí llevan carga R:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

Bajo transformaciones conformes bosónicas, los generadores fermiónicos se transforman como:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

Álgebra superconforme en 2D

Existen dos álgebras posibles con supersimetría mínima en dos dimensiones: un álgebra de Neveu-Schwarz y un álgebra de Ramond. También es posible una supersimetría adicional, por ejemplo, el álgebra superconforme N = 2 .

Véase también

• Simetría conforme
• Álgebra de Super Virasoro
• Álgebra de supersimetría

Referencias

1. West, PC (2002). "Introducción a las teorías supersimétricas rígidas". Confinamiento, dualidad y aspectos no perturbativos de la QCD . NATO Science Series: B. Vol. 368. págs. 453–476. arXiv : hep-th/9805055 . doi :10.1007/0-306-47056-X_17. ISBN . 0-306-45826-8.S2CID119413468  .​
2. Gates, SJ; Grisaru, Marcus T.; Rocek, M. ; Siegel, W. (1983). "Superespacio, o mil y una lecciones de supersimetría". Frontiers in Physics . 58 : 1–548. arXiv : hep-th/0108200 . Código Bibliográfico :2001hep.th....8200G.