Álgebra superconforme N = 2

Generalización supersimétrica 2D al álgebra conforme

En física matemática , el  álgebra superconforme 2D N = 2 es una superálgebra de Lie de dimensión infinita , relacionada con la supersimetría , que se da en la teoría de cuerdas y en la teoría de campos conforme bidimensional . Tiene aplicaciones importantes en la simetría especular . Fue introducida por M. Ademollo, L. Brink y A. D'Adda et al. (1976) como un álgebra de calibración de la cuerda fermiónica U(1).

Definición

Hay dos formas ligeramente diferentes de describir el álgebra superconforme N  = 2, llamadas álgebra de Ramond N  = 2 y  álgebra de Neveu–Schwarz N = 2, que son isomorfas (ver más abajo) pero difieren en la elección de la base estándar. El  álgebra superconforme N = 2 es la superálgebra de Lie con base de elementos pares c , L _n , J _n , para n un entero, y elementos impares G⁺
_r, Sol^-
_r, donde (para la base de Ramond) o (para la base de Neveu–Schwarz) se define por las siguientes relaciones: ^[1] ${\displaystyle r\in {\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle r\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$

c está en el centro

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=\left(m-n\right)L_{m+n}+{c \over 12}\left(m^{3}-m\right)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},\,J_{n}]=-nJ_{m+n}}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={c \over 3}m\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_{r+s}+{1 \over 2}\left(r-s\right)J_{r+s}+{c \over 6}\left(r^{2}-{1 \over 4}\right)\delta _{r+s,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}^{\pm }]=\left({m \over 2}-r\right)G_{r+m}^{\pm }}$

${\displaystyle [J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }}$

Si en estas relaciones, esto produce el  álgebra de Ramond N = 2 ; mientras que si son semienteros, da el álgebra de Neveu–Schwarz N  = 2 . Los operadores generan una subálgebra de Lie isomorfa al álgebra de Virasoro . Junto con los operadores , generan una superálgebra de Lie isomorfa a la superálgebra de Virasoro , dando el álgebra de Ramond si son enteros y el álgebra de Neveu–Schwarz en caso contrario. Cuando se representa como operadores en un espacio de producto interno complejo , se toma para actuar como multiplicación por un escalar real, denotado por la misma letra y llamado carga central , y la estructura adjunta es la siguiente: ${\displaystyle r,s\in {\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle r,s\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle G_{r}=G_{r}^{+}+G_{r}^{-}}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {L_{n}^{*}=L_{-n},\,\,J_{m}^{*}=J_{-m},\,\,(G_{r}^{\pm })^{*}=G_{-r}^{\mp },\,\,c^{*}=c}}$

Propiedades

• Las  álgebras de Ramond y Neveu–Schwarz N = 2 son isomorfas por el isomorfismo de desplazamiento espectral de Schwimmer y Seiberg (1987): con inversa: ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha (L_{n})=L_{n}+{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha (J_{n})=J_{n}+{c \over 6}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha (G_{r}^{\pm })=G_{r\pm {1 \over 2}}^{\pm }}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(L_{n})=L_{n}-{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(J_{n})=J_{n}-{c \over 6}\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \alpha ^{-1}(G_{r}^{\pm })=G_{r\mp {1 \over 2}}^{\pm }}$$
• En el  álgebra de Ramond N = 2, los operadores de modo cero , , y las constantes forman una superálgebra de Lie de cinco dimensiones. Satisfacen las mismas relaciones que los operadores fundamentales en la geometría de Kähler , con correspondientes al laplaciano, el operador de grado y los operadores y . ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$
• Las potencias enteras pares del desplazamiento espectral dan automorfismos de las álgebras superconformes N  = 2, llamados automorfismos de desplazamiento espectral. Otro automorfismo , de periodo dos, viene dado por En términos de operadores de Kähler, corresponde a conjugar la estructura compleja. Puesto que , los automorfismos y generan un grupo de automorfismos del álgebra superconforme N  = 2 isomorfo al grupo diedro infinito . ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle \beta (L_{m})=L_{m},}$$ $${\displaystyle \beta (J_{m})=-J_{m}-{c \over 3}\delta _{m,0},}$$ $${\displaystyle \beta (G_{r}^{\pm })=G_{r}^{\mp }}$$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\rtimes {\mathbb {Z} }_{2}}$
• Los operadores torcidos fueron introducidos por Eguchi y Yang (1990) y satisfacen: de modo que estos operadores satisfacen la relación de Virasoro con carga central 0. La constante todavía aparece en las relaciones para y las relaciones modificadas. ${\textstyle {\mathcal {L}}_{n}=L_{n}+{1 \over 2}(n+1)J_{n}}$ $${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{m},{\mathcal {L}}_{n}]=(m-n){\mathcal {L}}_{m+n}}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle J_{m}}$ $${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}+{c \over 6}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}}$$ $${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=2{\mathcal {L}}_{r+s}-2sJ_{r+s}+{c \over 3}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}}$$

Construcciones

Construcción de campo libre

Green, Schwarz y Witten (1988a, 1988b) dan una construcción utilizando dos campos bosónicos reales conmutativos , ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

${\displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}}$

y un campo fermiónico complejo ${\displaystyle (e_{r})}$

${\displaystyle \{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}$

${\displaystyle L_{n}}$se define como la suma de los operadores de Virasoro naturalmente asociados con cada uno de los tres sistemas

${\displaystyle L_{n}=\sum _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\sum _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\sum _{r}\left(r+{n \over 2}\right):e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

donde se ha utilizado el ordenamiento normal para bosones y fermiones.

El operador actual está definido por la construcción estándar a partir de fermiones. ${\displaystyle J_{n}}$

${\displaystyle J_{n}=\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

y los dos operadores supersimétricos por ${\displaystyle G_{r}^{\pm }}$

${\displaystyle G_{r}^{+}=\sum (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m},\,\,\,\,G_{r}^{-}=\sum (a_{r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}}$

Esto produce un  álgebra de Neveu-Schwarz  N = 2 con c  = 3.

Construcción de clases laterales supersimétricas SU(2)

Di Vecchia et al. (1986) dieron una construcción de coset de las  álgebras superconformes N = 2, generalizando las construcciones de coset de Goddard, Kent y Olive (1986) para las representaciones de series discretas del álgebra de Virasoro y superVirasoro. Dada una representación del álgebra afín de Kac–Moody de SU(2) en el nivel con base que satisface ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle E_{n},F_{n},H_{n}}$

${\displaystyle [H_{m},H_{n}]=2m\ell \delta _{n+m,0},}$

${\displaystyle [E_{m},F_{n}]=H_{m+n}+m\ell \delta _{m+n,0},}$

${\displaystyle [H_{m},E_{n}]=2E_{m+n},}$

${\displaystyle [H_{m},F_{n}]=-2F_{m+n},}$

Los generadores supersimétricos se definen por

${\displaystyle G_{r}^{+}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum E_{-m}\cdot e_{m+r},\,\,\,G_{r}^{-}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum F_{r+m}\cdot e_{m}^{*}.}$

Esto produce el álgebra superconforme N=2 con

${\displaystyle c=3\ell /(\ell +2).}$

El álgebra conmuta con los operadores bosónicos

${\displaystyle X_{n}=H_{n}-2\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:.}$

El espacio de estados físicos consta de vectores propios de aniquilados simultáneamente por los operadores 's para positivo y supercarga. ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q=G_{1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}}$(Negro-Neveu)

${\displaystyle Q=G_{0}^{+}+G_{0}^{-}.}$(Ramón)

El operador de supercarga conmuta con la acción del grupo de Weyl afín y los estados físicos se encuentran en una sola órbita de este grupo, hecho que implica la fórmula del carácter de Weyl-Kac . ^[2]

Construcción de clases laterales supersimétricas Kazama–Suzuki

Kazama y Suzuki (1989) generalizaron la construcción de la clase lateral SU(2) a cualquier par formado por un grupo de Lie compacto simple y un subgrupo cerrado de rango máximo, es decir, que contenga un toro máximo de , con la condición adicional de que la dimensión del centro de sea distinta de cero. En este caso, el espacio simétrico hermítico compacto es una variedad de Kähler, por ejemplo cuando . Los estados físicos se encuentran en una única órbita del grupo de Weyl afín, lo que implica nuevamente la fórmula de carácter de Weyl–Kac para el álgebra afín de Kac–Moody de . ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H=T}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Álgebra de Virasoro
• Álgebra de Super Virasoro
• Construcción de coset
• Teoría de cuerdas tipo IIB

Notas

1. Green, Schwarz y Witten 1988a, págs. 240-241
2. Wassermann 2010

Referencias

• Ademollo, M.; Borde, L.; D'Adda, A.; D'Auria, R.; Napolitano, E.; Sciuto, S.; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara, S.; Gliozzi, F.; Musto, R.; Pettorino, R. (1976), "Cuerdas supersimétricas y confinamiento de color", Physics Letters B , 62 (1): 105–110, Bibcode :1976PhLB...62..105A, doi :10.1016/0370-2693(76) 90061-7
• Boucher, W.; Friedan, D ; Kent, A. (1986), "Fórmulas determinantes y unitaridad para las  álgebras superconformes N = 2 en dos dimensiones o resultados exactos sobre compactificación de cuerdas", Phys. Lett. B , 172 (3–4): 316–322, Bibcode :1986PhLB..172..316B, doi :10.1016/0370-2693(86)90260-1
• Di Vecchia, P.; Petersen, JL; Yu, M.; Zheng, HB (1986), "Construcción explícita de representaciones unitarias del  álgebra superconforme N = 2", Phys. Lett. B , 174 (3): 280–284, Bibcode :1986PhLB..174..280D, doi :10.1016/0370-2693(86)91099-3
• Eguchi, Tohru; Yang, Sung-Kil (1990), " Modelos superconformes N  = 2 como teorías de campos topológicos", Mod. Phys. Lett. A , 5 (21): 1693–1701, Bibcode :1990MPLA....5.1693E, doi :10.1142/S0217732390001943
• Goddard, P .; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Representaciones unitarias de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro", Comm. Math. Phys. , 103 (1): 105–119, Bibcode :1986CMaPh.103..105G, doi :10.1007/bf01464283, S2CID  91181508
• Green, Michael B. ; Schwarz, John H. ; Witten, Edward (1988a), Teoría de supercuerdas, Volumen 1: Introducción , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
• Green, Michael B. ; Schwarz, John H. ; Witten, Edward (1988b), Teoría de supercuerdas, volumen 2: amplitudes de bucle, anomalías y fenomenología , Cambridge University Press, Bibcode :1987cup..bookR....G, ISBN 0-521-35753-5
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "Nuevas  teorías de campos superconformes N = 2 y compactificación de supercuerdas", Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Bibcode :1989NuPhB.321..232K, doi :10.1016/0550-3213(89)90250-2
• Schwimmer, A.; Seiberg, N. (1987), "Comentarios sobre las álgebras superconformes N  = 2, 3, 4 en dos dimensiones", Phys. Lett. B , 184 (2–3): 191–196, Bibcode :1987PhLB..184..191S, doi :10.1016/0370-2693(87)90566-1
• Voisin, Claire (1999), Simetría especular , Textos y monografías de SMF/AMS, vol. 1, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1947-X
• Wassermann, AJ (2010) [1998]. "Apuntes de clase sobre álgebras de Kac-Moody y Virasoro". arXiv : 1004.1287 .
• West, Peter C. (1990), Introducción a la supersimetría y la supergravedad (2.ª ed.), World Scientific, págs. 337–8, ISBN 981-02-0099-4