Orden normal

Tipos de ordenamiento de operadores en la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , un producto de campos cuánticos, o equivalentemente sus operadores de creación y aniquilación , se suele decir que tiene un orden normal (también llamado orden Wick ) cuando todos los operadores de creación están a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en el producto. El proceso de poner un producto en orden normal se llama ordenamiento normal (también llamado ordenamiento Wick ). Los términos orden antinormal y ordenamiento antinormal se definen de forma análoga, donde los operadores de aniquilación se colocan a la izquierda de los operadores de creación.

El ordenamiento normal de un producto de campos cuánticos o de operadores de creación y aniquilación también se puede definir de muchas otras maneras. La definición más apropiada depende de los valores esperados necesarios para un cálculo determinado. La mayor parte de este artículo utiliza la definición más común de ordenamiento normal, como se indicó anteriormente, que es apropiada cuando se toman valores esperados utilizando el estado de vacío de los operadores de creación y aniquilación .

El proceso de ordenamiento normal es particularmente importante para un hamiltoniano mecánico cuántico . Al cuantificar un hamiltoniano clásico , existe cierta libertad a la hora de elegir el orden de los operadores, y estas elecciones conducen a diferencias en la energía del estado fundamental . Por eso, el proceso también se puede utilizar para eliminar la energía de vacío infinita de un campo cuántico.

Notación

Si denota un producto arbitrario de operadores de creación y/o aniquilación (o equivalentemente, campos cuánticos), entonces la forma ordenada normal de se denota por . ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$

Una notación alternativa es . ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}$

Tenga en cuenta que el orden normal es un concepto que solo tiene sentido para productos de operadores. Intentar aplicar el orden normal a una suma de operadores no es útil, ya que el orden normal no es una operación lineal.

Bosones

Los bosones son partículas que satisfacen la estadística de Bose-Einstein . Ahora examinaremos el orden normal de los productos de los operadores de creación y aniquilación bosónicos.

Bosones individuales

Si partimos de un solo tipo de bosón hay dos operadores de interés:

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$:el operador de creación del bosón.
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$:el operador de aniquilación del bosón.

Estos satisfacen la relación del conmutador.

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

donde denota el conmutador . Podemos reescribir el último como: ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$ ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}$

Ejemplos

1. Primero consideraremos el caso más simple. Este es el orden normal de : ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

La expresión no se ha cambiado porque ya está en orden normal: el operador de creación ya está a la izquierda del operador de aniquilación . ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}}$ ${\displaystyle ({\hat {b}}^{\dagger })}$ ${\displaystyle ({\hat {b}})}$

2. Un ejemplo más interesante es el orden normal de : ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

Aquí la operación de ordenamiento normal ha reordenado los términos colocándolos a la izquierda de . ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$

Estos dos resultados se pueden combinar con la relación de conmutación obedecida por y para obtener ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.}$

o

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}$

Esta ecuación se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .

3. Un ejemplo con múltiples operadores es:

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}$

4. Un ejemplo sencillo muestra que el ordenamiento normal no se puede extender por linealidad desde los monomios a todos los operadores de manera autoconsistente. Supongamos que podemos aplicar las relaciones de conmutación para obtener:

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}.}$

Entonces, por linealidad,

${\displaystyle {:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:},}$

una contradicción.

La implicación es que el ordenamiento normal no es una función lineal sobre los operadores, sino sobre el álgebra libre generada por los operadores, es decir, los operadores no satisfacen las relaciones de conmutación canónicas mientras están dentro del ordenamiento normal (o cualquier otro operador de ordenamiento como el ordenamiento temporal , etc.).

Bosones múltiples

Si ahora consideramos diferentes bosones hay operadores: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$:el operador de creación del bosón. ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$:el operador de aniquilación del bosón. ${\displaystyle i^{th}}$

Aquí . ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

Estos satisfacen las relaciones de conmutación:

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

donde y denota el delta de Kronecker . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Estos pueden reescribirse como:

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}$

Ejemplos

1. Para dos bosones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

2. Para tres bosones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

Nótese que, dado que (por las relaciones de conmutación) el orden en que escribimos los operadores de aniquilación no importa. ${\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

Funciones del operador bosónico

El ordenamiento normal de las funciones del operador bosónico , con el operador de número de ocupación , se puede lograr utilizando potencias factoriales (descendentes) y series de Newton en lugar de series de Taylor : Es fácil demostrar ^[1] que las potencias factoriales son iguales a las potencias ordenadas normalmente (brutas) y, por lo tanto, están ordenadas normalmente por construcción, ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{k}}$

${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}$

de tal manera que la expansión en serie de Newton

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}$

de una función operadora , con -ésima diferencia hacia delante en , siempre está ordenada normalmente. Aquí, la ecuación de valor propio relaciona y . ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle n}$

En consecuencia, la serie de Taylor ordenada normalmente de una función arbitraria es igual a la serie de Newton de una función asociada , cumpliendo ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}$

Si los coeficientes de la serie de Taylor de , con continuo , coinciden con los coeficientes de la serie de Newton de , con entero , ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}$

con derivada parcial -ésima en . Las funciones y están relacionadas a través de la llamada transformada de orden normal según ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}}$

que puede expresarse en términos de la transformada de Mellin , véase ^[1] para más detalles. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Fermiones

Los fermiones son partículas que satisfacen la estadística de Fermi-Dirac . Ahora examinaremos el orden normal de los productos de los operadores de creación y aniquilación fermiónicos.

Fermiones individuales

Para un solo fermión hay dos operadores de interés:

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$:el operador de creación del fermión.
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$:el operador de aniquilación del fermión.

Estos satisfacen las relaciones anticonmutadoras

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

donde denota el anticonmutador . Estos pueden reescribirse como ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$

${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}$

Para definir el orden normal de un producto de operadores de creación y aniquilación fermiónicos debemos tener en cuenta el número de intercambios entre operadores vecinos. Obtenemos un signo menos para cada uno de esos intercambios.

Ejemplos

1. Empecemos de nuevo con los casos más sencillos:

${\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

Esta expresión ya está en orden normal, por lo que no se modifica nada. En el caso inverso, introducimos un signo menos porque tenemos que cambiar el orden de dos operadores:

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

Estos se pueden combinar, junto con las relaciones de anticonmutación, para mostrar

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:}$

o

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}$

Esta ecuación, que tiene la misma forma que el caso bosónico anterior, se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .

2. El orden normal de los casos más complicados da como resultado cero porque habrá al menos un operador de creación o aniquilación que aparecerá dos veces. Por ejemplo:

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

Fermiones múltiples

Para diferentes fermiones existen operadores: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$:el operador de creación del fermión. ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$:el operador de aniquilación del fermión. ${\displaystyle i^{th}}$

Aquí . ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

Estas satisfacen las relaciones de anticonmutación:

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

donde y denota el delta de Kronecker . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Estos pueden reescribirse como:

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}$

Al calcular el orden normal de los productos de los operadores fermiónicos, debemos tener en cuenta el número de intercambios de operadores vecinos necesarios para reorganizar la expresión. Es como si pretendiéramos que los operadores de creación y aniquilación se anticonmutan y luego reordenáramos la expresión para asegurarnos de que los operadores de creación estén a la izquierda y los operadores de aniquilación a la derecha, teniendo en cuenta en todo momento las relaciones de anticonmutación.

Ejemplos

1. Para dos fermiones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Aquí la expresión ya está normalmente ordenada por lo que nada cambia.

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Aquí introducimos un signo menos porque hemos intercambiado el orden de dos operadores.

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Tenga en cuenta que el orden en que escribimos los operadores aquí, a diferencia del caso bosónico, sí importa .

2. Para tres fermiones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

Nótese que (por las relaciones de anticonmutación) el orden en el que escribimos los operadores sí importa en este caso. ${\displaystyle {\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

De manera similar tenemos

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}$

Usos en la teoría cuántica de campos

El valor esperado de vacío de un producto ordenado normal de operadores de creación y aniquilación es cero. Esto se debe a que, al denotar el estado de vacío por , los operadores de creación y aniquilación satisfacen ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0}$

(aquí y son operadores de creación y aniquilación (ya sean bosónicos o fermiónicos)). ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

Sea un producto no vacío de operadores de creación y aniquilación. Aunque esto puede satisfacer ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,}$

tenemos

${\displaystyle \langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.}$

Los operadores ordenados normales son particularmente útiles al definir un hamiltoniano mecánico cuántico . Si el hamiltoniano de una teoría está en orden normal, entonces la energía del estado fundamental será cero: . ${\displaystyle \langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0}$

Campos libres

Con dos campos libres φ y χ,

${\displaystyle :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }$

donde es nuevamente el estado de vacío. Cada uno de los dos términos del lado derecho normalmente explota en el límite cuando y se acerca a x, pero la diferencia entre ellos tiene un límite bien definido. Esto nos permite definir :φ(x)χ(x):. ${\displaystyle |0\rangle }$

Teorema de Wick

El teorema de Wick establece la relación entre el producto ordenado en el tiempo de los campos y una suma de productos ordenados normales. Esto puede expresarse para pares como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}$

donde la suma se aplica a todas las distintas formas en que se pueden emparejar campos. El resultado para impares parece el mismo excepto por la última línea que dice ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}$

Este teorema proporciona un método simple para calcular valores esperados de vacío de productos de operadores ordenados en el tiempo y fue la motivación detrás de la introducción del ordenamiento normal.

Definiciones alternativas

La definición más general de ordenamiento normal implica dividir todos los campos cuánticos en dos partes (por ejemplo, véase Evans y Steer 1996) . En un producto de campos, los campos se dividen en dos partes y las partes se mueven de modo que siempre estén a la izquierda de todas las partes. En el caso habitual considerado en el resto del artículo, el contiene solo operadores de creación, mientras que el contiene solo operadores de aniquilación. Como se trata de una identidad matemática, uno puede dividir los campos de cualquier manera que se desee. Sin embargo, para que este sea un procedimiento útil, se exige que el producto ordenado normal de cualquier combinación de campos tenga un valor de expectativa cero. ${\displaystyle \phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$

${\displaystyle \langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0}$

También es importante para los cálculos prácticos que todos los conmutadores (anticonmutadores para campos fermiónicos) de todos y sean todos números c. Estas dos propiedades significan que podemos aplicar el teorema de Wick de la manera habitual, convirtiendo los valores esperados de productos de campos ordenados en el tiempo en productos de pares de números c, las contracciones. En este contexto generalizado, la contracción se define como la diferencia entre el producto ordenado en el tiempo y el producto ordenado normal de un par de campos. ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

El ejemplo más simple se encuentra en el contexto de la teoría cuántica de campos térmicos (Evans y Steer 1996). En este caso, los valores esperados de interés son conjuntos estadísticos, trazas sobre todos los estados ponderados por . Por ejemplo, para un único oscilador armónico cuántico bosónico tenemos que el valor esperado térmico del operador numérico es simplemente la distribución de Bose-Einstein ${\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}})}$

${\displaystyle \langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}}$

Así, aquí el operador numérico está ordenado de manera normal en el sentido habitual que se utiliza en el resto del artículo, pero sus valores de expectativa térmica no son cero. Aplicar el teorema de Wick y realizar el cálculo con el ordenamiento normal habitual en este contexto térmico es posible, pero computacionalmente impráctico. La solución es definir un ordenamiento diferente, de modo que y sean combinaciones lineales de los operadores de aniquilación y creación originales. Las combinaciones se eligen para garantizar que los valores de expectativa térmica de los productos ordenados de manera normal sean siempre cero, de modo que la división elegida dependerá de la temperatura. ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

Referencias

1. König, Jürgen; Hucht, Alfred (13 de enero de 2021). "Expansión de funciones de operador bosónico en serie de Newton". SciPost Physics . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Bibcode :2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN  2542-4653. S2CID  221293056.

• F. Mandl, G. Shaw, Teoría cuántica de campos, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, La teoría cuántica de campos (volumen I) Cambridge University Press (1995)
• TS Evans, DA Steer, Teorema de Wick a temperatura finita, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268