Simetría conforme

Ampliación del grupo de Poincaré

En física matemática , la simetría conforme del espacio-tiempo se expresa mediante una extensión del grupo de Poincaré , conocida como grupo conforme ; en términos sencillos , se refiere al hecho de que estirar, comprimir o distorsionar de otro modo el espacio-tiempo preserva los ángulos entre líneas o curvas que existen dentro del espacio-tiempo. ^{[ cita requerida ]}

La simetría conforme abarca las transformaciones conformes especiales y las dilataciones . En tres dimensiones espaciales más una temporal, la simetría conforme tiene 15 grados de libertad : diez para el grupo de Poincaré, cuatro para las transformaciones conformes especiales y uno para una dilatación.

Harry Bateman y Ebenezer Cunningham fueron los primeros en estudiar la simetría conforme de las ecuaciones de Maxwell . Llamaron a una expresión genérica de la simetría conforme transformación de onda esférica . La relatividad general en dos dimensiones espacio-temporales también disfruta de simetría conforme. ^[1]

Generadores

El álgebra de Lie del grupo conforme tiene la siguiente representación : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

¿Dónde están los generadores de Lorentz , genera traslaciones , genera transformaciones de escala (también conocidas como dilataciones o dilataciones) y genera las transformaciones conformes especiales ? ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

Relaciones de conmutación

Las relaciones de conmutación son las siguientes: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$

Los demás conmutadores desaparecen. Aquí está el tensor métrico de Minkowski . ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Además, es un escalar y es un vector covariante bajo las transformaciones de Lorentz . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

Las transformaciones conformes especiales están dadas por ^[3]

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

donde es un parámetro que describe la transformación. Esta transformación conforme especial también se puede escribir como , donde ${\displaystyle a^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

lo que demuestra que consiste en una inversión, seguida de una traslación, seguida de una segunda inversión.

Una cuadrícula de coordenadas antes de una transformación conforme especial

La misma cuadrícula después de una transformación conforme especial

En el espacio-tiempo bidimensional , las transformaciones del grupo conforme son las transformaciones conformes . Hay infinitas transformaciones de este tipo.

En más de dos dimensiones, las transformaciones conformes euclidianas asignan círculos a círculos y hiperesferas a hiperesferas, considerándose una línea recta como un círculo degenerado y un hiperplano como un hipercírculo degenerado.

En más de dos dimensiones lorentzianas , las transformaciones conformes asignan rayos nulos a rayos nulos y conos de luz a conos de luz, siendo un hiperplano nulo un cono de luz degenerado.

Aplicaciones

Teoría de campos conforme

En las teorías de campos cuánticos relativistas, la posibilidad de simetrías está estrictamente restringida por el teorema de Coleman-Mandula bajo supuestos físicamente razonables. El mayor grupo de simetría global posible de una teoría de campos interactuantes no supersimétrica es un producto directo del grupo conforme con un grupo interno . ^[4] Estas teorías se conocen como teorías de campos conformes .

Transiciones de fase de segundo orden

Una aplicación particular es la de los fenómenos críticos en sistemas con interacciones locales. Las fluctuaciones ^{[ se necesita una aclaración ]} en dichos sistemas son conformemente invariantes en el punto crítico. Esto permite la clasificación de clases de universalidad de transiciones de fase en términos de teorías de campos conformes.

La invariancia conforme también está presente en la turbulencia bidimensional con un número de Reynolds alto . ^{[ cita requerida ]}

Física de altas energías

Muchas teorías estudiadas en física de alta energía admiten la simetría conforme debido a que esta suele estar implícita en la invariancia de escala local. Un ejemplo famoso es la teoría de Yang-Mills supersimétrica d=4, N=4 debido a su relevancia para la correspondencia AdS/CFT . Además, la hoja del mundo en la teoría de cuerdas se describe mediante una teoría de campos conforme bidimensional acoplada a la gravedad bidimensional.

Pruebas matemáticas de invariancia conforme en modelos reticulares

Los físicos han descubierto que muchos modelos reticulares se vuelven conformemente invariantes en el límite crítico. Sin embargo, las pruebas matemáticas de estos resultados aparecieron mucho más tarde y solo en algunos casos.

En 2010, el matemático Stanislav Smirnov recibió la medalla Fields "por la prueba de la invariancia conforme de la percolación y el modelo planar de Ising en física estadística". ^[5]

En 2020, el matemático Hugo Duminil-Copin y sus colaboradores demostraron que existe invariancia rotacional en el límite entre fases en muchos sistemas físicos. ^{[6] [7]}

Véase también

• Mapa conforme
• Grupo conforme
• Teorema de Coleman-Mandula
• Grupo de renormalización
• Invariancia de escala
• Álgebra superconforme
• Ecuación de Killing conforme

Referencias

1. "gravedad - ¿Qué hace que la relatividad general sea una variante conforme?". Physics Stack Exchange . Consultado el 1 de mayo de 2020 .
2. Di Francesco, Mathieu y Sénéchal 1997, p. 98.
3. Di Francesco, Mathieu y Sénéchal 1997, p. 97.
4. Juan Maldacena; Alexander Zhiboedov (2013). "Restricción de teorías de campos conformes con una simetría de espín superior". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 46 (21): 214011. arXiv : 1112.1016 . Bibcode :2013JPhA...46u4011M. doi :10.1088/1751-8113/46/21/214011. S2CID  56398780.
5. Rehmeyer, Julie (19 de agosto de 2010). «Stanislav Smirnov profile» (PDF) . Congreso Internacional de Matemáticos . Archivado desde el original (PDF) el 7 de marzo de 2012. Consultado el 19 de agosto de 2010 .
6. "Matemáticos prueban la simetría de las transiciones de fase". Wired . ISSN  1059-1028 . Consultado el 14 de julio de 2021 .
7. Duminil-Copin, Hugo; Kozlowski, Karol Kajetan; Krachun, Dmitry; Manolescu, Ioan; Oulamara, Mendes (21 de diciembre de 2020). "Invariancia rotacional en modelos de red plana críticos". arXiv : 2012.11672 [math.PR].

Fuentes

• Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pedro; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-94785-3.