Codificación por cambio de fase

Tipo de codificación de datos

La manipulación por desplazamiento de fase ( PSK ) es un proceso de modulación digital que transmite datos cambiando (modulando) la fase de una onda portadora de frecuencia constante . La modulación se logra variando las entradas seno y coseno en un momento preciso. Es ampliamente utilizado para comunicaciones LAN inalámbricas , RFID y Bluetooth .

Cualquier esquema de modulación digital utiliza un número finito de señales distintas para representar datos digitales. PSK utiliza un número finito de fases, a cada una de las cuales se le asigna un patrón único de dígitos binarios . Normalmente, cada fase codifica un número igual de bits. Cada patrón de bits forma el símbolo representado por la fase particular. El demodulador , que está diseñado específicamente para el conjunto de símbolos utilizado por el modulador, determina la fase de la señal recibida y la asigna al símbolo que representa, recuperando así los datos originales. Esto requiere que el receptor pueda comparar la fase de la señal recibida con una señal de referencia; dicho sistema se denomina coherente (y se conoce como CPSK).

CPSK requiere un demodulador complicado, porque debe extraer la onda de referencia de la señal recibida y realizar un seguimiento de ella para comparar cada muestra. Alternativamente, el desplazamiento de fase de cada símbolo enviado se puede medir con respecto a la fase del símbolo enviado anterior. Debido a que los símbolos están codificados en la diferencia de fase entre muestras sucesivas, esto se denomina codificación por desplazamiento de fase diferencial (DPSK) . DPSK puede ser significativamente más sencillo de implementar que PSK ordinario, ya que es un esquema "no coherente", es decir, no es necesario que el demodulador realice un seguimiento de una onda de referencia. Una desventaja es que tiene más errores de demodulación.

Introducción

Hay tres clases principales de técnicas de modulación digital utilizadas para la transmisión de datos representados digitalmente :

• Modificación por desplazamiento de amplitud (ASK)
• Modificación por desplazamiento de frecuencia (FSK)
• Modificación por cambio de fase (PSK)

Todos transmiten datos cambiando algún aspecto de una señal base, la onda portadora (generalmente una sinusoide ), en respuesta a una señal de datos. En el caso de PSK, la fase cambia para representar la señal de datos. Hay dos formas fundamentales de utilizar la fase de una señal de esta manera:

• Al considerar que la fase misma transmite la información, en cuyo caso el demodulador debe tener una señal de referencia para comparar la fase de la señal recibida; o
• Considerando el cambio de fase como una transmisión de información: esquemas diferenciales, algunos de los cuales no necesitan un soporte de referencia (hasta cierto punto).

Un método conveniente para representar esquemas PSK es mediante un diagrama de constelación . Esto muestra los puntos en el plano complejo donde, en este contexto, los ejes real e imaginario se denominan ejes en fase y en cuadratura respectivamente debido a su separación de 90°. Una representación de este tipo sobre ejes perpendiculares se presta a una implementación sencilla. La amplitud de cada punto a lo largo del eje en fase se utiliza para modular una onda coseno (o sinusoidal) y la amplitud a lo largo del eje de cuadratura para modular una onda sinusoidal (o coseno). Por convención, en fase modula el coseno y en cuadratura modula el seno.

En PSK, los puntos de constelación elegidos generalmente se colocan con un espaciado angular uniforme alrededor de un círculo . Esto proporciona la máxima separación de fases entre puntos adyacentes y, por tanto, la mejor inmunidad a la corrupción. Están colocados en un círculo para que todos puedan transmitirse con la misma energía. De esta forma, los módulos de los números complejos que representan serán los mismos y por tanto también lo serán las amplitudes necesarias para las ondas coseno y seno. Dos ejemplos comunes son la "codificación por desplazamiento de fase binaria" (BPSK), que utiliza dos fases, y la "codificación por desplazamiento de fase en cuadratura" (QPSK), que utiliza cuatro fases, aunque se puede utilizar cualquier número de fases. Dado que los datos a transmitir suelen ser binarios, el esquema PSK suele diseñarse con el número de puntos de la constelación como una potencia de dos.

Modificación binaria por desplazamiento de fase (BPSK)

Ejemplo de diagrama de constelación para BPSK

BPSK (también llamado a veces PRK, manipulación por inversión de fase o 2PSK) es la forma más simple de manipulación por desplazamiento de fase (PSK). Utiliza dos fases separadas 180°, por lo que también puede denominarse 2-PSK. No importa especialmente dónde estén colocados exactamente los puntos de la constelación, y en esta figura se muestran en el eje real, en 0° y 180°. Por lo tanto, maneja el nivel de ruido o distorsión más alto antes de que el demodulador tome una decisión incorrecta. Eso lo convierte en el más robusto de todos los PSK. Sin embargo, sólo es capaz de modular a 1  bit/símbolo (como se ve en la figura) y, por lo tanto, no es adecuado para aplicaciones de alta velocidad de datos.

En presencia de un cambio de fase arbitrario introducido por el canal de comunicaciones , el demodulador (ver, por ejemplo, el bucle de Costas ) no puede decir qué punto de la constelación es cuál. Como resultado, los datos suelen codificarse diferencialmente antes de la modulación.

BPSK es funcionalmente equivalente a la modulación 2-QAM .

Implementación

La forma general de BPSK sigue la ecuación:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi (1-n)),\quad n=0,1.}$

Esto produce dos fases, 0 y π. En la forma específica, los datos binarios a menudo se transmiten con las siguientes señales: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$para binario "0"

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$para binario "1"

donde f es la frecuencia de la banda base.

Por lo tanto, el espacio de la señal puede representarse mediante la función de base única

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$

donde 1 está representado por y 0 está representado por . Esta asignación es arbitraria. ${\displaystyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$ ${\displaystyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$

El uso de esta función básica se muestra al final de la siguiente sección en un diagrama de temporización de la señal. La señal superior es una onda coseno modulada por BPSK que produciría el modulador BPSK. El flujo de bits que causa esta salida se muestra encima de la señal (las otras partes de esta figura son relevantes sólo para QPSK). Después de la modulación, la señal de la banda base se moverá a la banda de alta frecuencia multiplicando . ${\displaystyle \cos(2\pi f_{c}t)}$

Tasa de error de bit

La tasa de error de bits (BER) de BPSK bajo ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN) se puede calcular como: ^[1]

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$o ${\displaystyle P_{e}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Dado que sólo hay un bit por símbolo, esta es también la tasa de error de símbolo.

Modificación por desplazamiento de fase en cuadratura (QPSK)

Diagrama de constelación para QPSK con codificación Gray . Cada símbolo adyacente sólo difiere en un bit.

A veces esto se conoce como PSK cuadrifásico , 4-PSK o 4- QAM . (Aunque los conceptos básicos de QPSK y 4-QAM son diferentes, las ondas de radio moduladas resultantes son exactamente las mismas). QPSK utiliza cuatro puntos en el diagrama de constelación, equiespaciados alrededor de un círculo. Con cuatro fases, QPSK puede codificar dos bits por símbolo, como se muestra en el diagrama con codificación Gray para minimizar la tasa de error de bits (BER), que a veces se percibe erróneamente como el doble de la BER de BPSK.

El análisis matemático muestra que QPSK se puede utilizar para duplicar la velocidad de datos en comparación con un sistema BPSK manteniendo el mismo ancho de banda de la señal, o para mantener la velocidad de datos de BPSK pero reduciendo a la mitad el ancho de banda necesario. En este último caso, la BER de QPSK es exactamente la misma que la BER de BPSK, y creer lo contrario es una confusión común al considerar o describir QPSK. La portadora transmitida puede sufrir varios cambios de fase.

Dado que los canales de comunicación por radio son asignados por agencias como la Comisión Federal de Comunicaciones que otorgan un ancho de banda (máximo) prescrito, la ventaja de QPSK sobre BPSK se vuelve evidente: QPSK transmite el doble de velocidad de datos en un ancho de banda determinado en comparación con BPSK, con la misma BER. . La penalización de ingeniería que se paga es que los transmisores y receptores QPSK son más complicados que los de BPSK. Sin embargo, con la tecnología electrónica moderna , la penalización en costes es muy moderada.

Al igual que con BPSK, existen problemas de ambigüedad de fase en el extremo receptor y en la práctica a menudo se utiliza QPSK codificado diferencialmente.

Implementación

La implementación de QPSK es más general que la de BPSK y también indica la implementación de PSK de orden superior. Escribir los símbolos en el diagrama de la constelación en términos de las ondas seno y coseno utilizadas para transmitirlos:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}$

Esto produce las cuatro fases π/4, 3π/4, 5π/4 y 7π/4 según sea necesario.

Esto da como resultado un espacio de señal bidimensional con funciones de base unitaria.

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t\right)\\\phi _{2}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\end{aligned}}}$

La primera función de base se utiliza como componente en fase de la señal y la segunda como componente en cuadratura de la señal.

Por lo tanto, la constelación de señales consta de 4 puntos del espacio de señales.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}&\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Los factores de 1/2 indican que la potencia total se divide en partes iguales entre las dos portadoras.

La comparación de estas funciones básicas con las de BPSK muestra claramente cómo QPSK puede verse como dos señales BPSK independientes. Tenga en cuenta que los puntos de espacio de señal para BPSK no necesitan dividir la energía del símbolo (bit) entre las dos portadoras en el esquema que se muestra en el diagrama de constelación BPSK.

Los sistemas QPSK se pueden implementar de varias maneras. A continuación se muestra una ilustración de los componentes principales de la estructura del transmisor y del receptor.

Estructura conceptual del transmisor para QPSK. El flujo de datos binarios se divide en componentes en fase y en cuadratura. Luego, estas se modulan por separado en dos funciones de base ortogonales. En esta implementación, se utilizan dos sinusoides. Posteriormente, las dos señales se superponen y la señal resultante es la señal QPSK. Tenga en cuenta el uso de codificación polar sin retorno a cero . Estos codificadores se pueden colocar antes para fuentes de datos binarios, pero se colocaron después para ilustrar la diferencia conceptual entre las señales digitales y analógicas involucradas con la modulación digital.

Estructura receptora para QPSK. Los filtros compatibles se pueden reemplazar con correlacionadores. Cada dispositivo de detección utiliza un valor umbral de referencia para determinar si se detecta un 1 o un 0.

Probabilidad de error

Aunque QPSK puede verse como una modulación cuaternaria, es más fácil verlo como dos portadoras en cuadratura moduladas independientemente. Con esta interpretación, los bits pares (o impares) se utilizan para modular el componente en fase de la portadora, mientras que los bits impares (o pares) se utilizan para modular el componente de fase en cuadratura de la portadora. BPSK se utiliza en ambas portadoras y se pueden demodular de forma independiente.

Como resultado, la probabilidad de error de bit para QPSK es la misma que para BPSK:

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Sin embargo, para lograr la misma probabilidad de error de bit que BPSK, QPSK utiliza el doble de potencia (ya que dos bits se transmiten simultáneamente).

La tasa de error de símbolo viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=1-\left(1-P_{b}\right)^{2}\\&=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}.\end{aligned}}}$

Si la relación señal-ruido es alta (como es necesario para los sistemas QPSK prácticos), la probabilidad de error de símbolo puede aproximarse:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{s}}{2N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

La señal modulada se muestra a continuación para un segmento corto de un flujo de datos binario aleatorio. Las dos ondas portadoras son una onda coseno y una onda sinusoidal, como lo indica el análisis del espacio de señales anterior. Aquí, los bits impares se han asignado al componente en fase y los bits pares al componente en cuadratura (tomando el primer bit como el número 1). La señal total (la suma de los dos componentes) se muestra en la parte inferior. Los saltos de fase se pueden ver cuando el PSK cambia la fase en cada componente al comienzo de cada período de bit. La forma de onda superior por sí sola coincide con la descripción dada anteriormente para BPSK.

Diagrama de tiempos para QPSK. El flujo de datos binarios se muestra debajo del eje de tiempo. En la parte superior se muestran los dos componentes de la señal con sus asignaciones de bits y en la parte inferior la señal combinada total. Obsérvense los cambios abruptos de fase en algunos de los límites del período de bits.

Los datos binarios que transmite esta forma de onda son: 11000110 .

• Los bits impares, resaltados aquí, contribuyen al componente en fase: 1 1 0 0 0 1 1 0
• Los bits pares, resaltados aquí, contribuyen al componente de fase en cuadratura: 1 1 0 0 0 1 1 0

Variantes

QPSK compensado (OQPSK)

La señal no pasa por el origen porque sólo se cambia un bit del símbolo a la vez.

La modulación por desplazamiento de fase en cuadratura compensada ( OQPSK ) es una variante de la modulación por desplazamiento de fase que utiliza cuatro valores diferentes de la fase para transmitir. A veces se le llama manipulación por desplazamiento de fase en cuadratura escalonada ( SQPSK ).

Diferencia de fase entre QPSK y OQPSK

Tomar cuatro valores de fase (dos bits ) a la vez para construir un símbolo QPSK puede permitir que la fase de la señal salte hasta 180° a la vez. Cuando la señal se filtra de paso bajo (como es típico en un transmisor), estos cambios de fase dan como resultado grandes fluctuaciones de amplitud, una cualidad indeseable en los sistemas de comunicación. Al compensar la sincronización de los bits pares e impares en un período de bit, o medio período de símbolo, los componentes en fase y en cuadratura nunca cambiarán al mismo tiempo. En el diagrama de constelación que se muestra a la derecha, se puede ver que esto limitará el cambio de fase a no más de 90° a la vez. Esto produce fluctuaciones de amplitud mucho más bajas que la QPSK sin compensación y, en ocasiones, se prefiere en la práctica.

La imagen de la derecha muestra la diferencia en el comportamiento de la fase entre QPSK normal y OQPSK. Se puede observar que en el primer gráfico la fase puede cambiar 180° a la vez, mientras que en OQPSK los cambios nunca son mayores a 90°.

La señal modulada se muestra a continuación para un segmento corto de un flujo de datos binario aleatorio. Tenga en cuenta el desplazamiento del período de medio símbolo entre las dos ondas componentes. Los cambios de fase repentinos ocurren aproximadamente el doble que en OQPSK (dado que las señales ya no cambian juntas), pero son menos severos. En otras palabras, la magnitud de los saltos es menor en OQPSK en comparación con QPSK.

Diagrama de tiempos para QPSK compensado. El flujo de datos binarios se muestra debajo del eje de tiempo. Arriba se muestran los dos componentes de la señal con sus asignaciones de bits y abajo la señal combinada total. Tenga en cuenta el desplazamiento de medio período entre los dos componentes de la señal.

SOQPSK

El QPSK con desplazamiento moldeado sin licencia (SOQPSK) es interoperable con el QPSK patentado por Feher ( FQPSK ), en el sentido de que un detector QPSK con desplazamiento de integración y descarga produce la misma salida sin importar qué tipo de transmisor se utilice. ^[2]

Estas modulaciones dan forma cuidadosamente a las formas de onda I y Q de modo que cambian muy suavemente y la señal permanece en amplitud constante incluso durante las transiciones de señal. (En lugar de viajar instantáneamente de un símbolo a otro, o incluso linealmente, viaja suavemente alrededor del círculo de amplitud constante de un símbolo al siguiente). La modulación SOQPSK se puede representar como el híbrido de QPSK y MSK : SOQPSK tiene la misma señal. constelación como QPSK, sin embargo la fase de SOQPSK es siempre estacionaria. ^{[3] [4]}

La descripción estándar de SOQPSK-TG implica símbolos ternarios . ^[5] SOQPSK es uno de los esquemas de modulación más difundidos en aplicación a las comunicaciones por satélite LEO . ^[6]

π /4-QPSK

Diagrama de constelación dual para π/4-QPSK. Esto muestra las dos constelaciones separadas con codificación Gray idéntica pero giradas 45° entre sí.

Esta variante de QPSK utiliza dos constelaciones idénticas que giran 45° ( radianes, de ahí el nombre) entre sí. Por lo general, se utilizan símbolos pares o impares para seleccionar puntos de una de las constelaciones y los otros símbolos seleccionan puntos de la otra constelación. Esto también reduce los cambios de fase desde un máximo de 180°, pero sólo hasta un máximo de 135°, por lo que las fluctuaciones de amplitud de -QPSK están entre OQPSK y QPSK sin compensación. ${\displaystyle \pi /4}$ ${\displaystyle \pi /4}$

Una propiedad que posee este esquema de modulación es que si la señal modulada se representa en el dominio complejo, las transiciones entre símbolos nunca pasan por 0. En otras palabras, la señal no pasa por el origen. Esto reduce el rango dinámico de fluctuaciones en la señal que es deseable cuando se diseñan señales de comunicaciones.

Por otra parte, QPSK se presta a una fácil demodulación y se ha adoptado para su uso, por ejemplo, en sistemas de telefonía celular TDMA . ${\displaystyle \pi /4}$

La señal modulada se muestra a continuación para un segmento corto de un flujo de datos binario aleatorio. La construcción es la misma que la anterior para QPSK ordinaria. Los símbolos sucesivos se toman de las dos constelaciones que se muestran en el diagrama. Así, el primer símbolo (1 1) se toma de la constelación "azul" y el segundo símbolo (0 0) se toma de la constelación "verde". Tenga en cuenta que las magnitudes de las dos ondas componentes cambian a medida que cambian entre constelaciones, pero la magnitud de la señal total permanece constante ( envolvente constante ). Los cambios de fase se encuentran entre los de los dos diagramas de tiempos anteriores.

Diagrama de tiempos para π/4-QPSK. El flujo de datos binarios se muestra debajo del eje de tiempo. Arriba se muestran los dos componentes de la señal con sus asignaciones de bits y abajo la señal combinada total. Tenga en cuenta que los símbolos sucesivos se toman alternativamente de las dos constelaciones, comenzando por la "azul".

DPQPSK

Modificación por desplazamiento de fase en cuadratura de doble polarización (DPQPSK) o QPSK de doble polarización : implica la multiplexación de polarización de dos señales QPSK diferentes, mejorando así la eficiencia espectral en un factor de 2. Esta es una alternativa rentable al uso de 16-PSK. en lugar de QPSK para duplicar la eficiencia espectral.

PSK de orden superior

Diagrama de constelación para 8-PSK con codificación Gray

Se puede utilizar cualquier número de fases para construir una constelación PSK, pero 8-PSK suele ser la constelación PSK de mayor orden implementada. Con más de 8 fases, la tasa de error se vuelve demasiado alta y hay modulaciones mejores, aunque más complejas, disponibles, como la modulación de amplitud en cuadratura (QAM). Aunque se puede utilizar cualquier número de fases, el hecho de que la constelación normalmente deba tratar con datos binarios significa que el número de símbolos suele ser una potencia de 2 para permitir un número entero de bits por símbolo.

Tasa de error de bit

Para la M-PSK general no existe una expresión simple para la probabilidad de error de símbolo si . Desafortunadamente, sólo se puede obtener de ${\displaystyle M>4}$

${\displaystyle P_{s}=1-\int _{-\pi /M}^{\pi /M}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)d\theta _{r},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)&={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma _{s}\sin ^{2}\theta _{r}}\int _{0}^{\infty }Ve^{-{\frac {1}{2}}\left(V-2{\sqrt {\gamma _{s}}}\cos \theta _{r}\right)^{2}}\,dV,\\V&={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}},\\\theta _{r}&=\tan ^{-1}\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right),\\\gamma _{s}&={\frac {E_{s}}{N_{0}}}\end{aligned}}}$

y y son variables aleatorias gaussianas . ${\displaystyle r_{1}\sim N\left({\sqrt {E_{s}}},{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$ ${\displaystyle r_{2}\sim N\left(0,{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$

Curvas de tasa de error de bits para BPSK, QPSK, 8-PSK y 16-PSK, canal de ruido blanco gaussiano aditivo

Esto puede aproximarse para alto y alto mediante: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right).}$

La probabilidad de error de bits para -PSK sólo se puede determinar exactamente una vez que se conoce el mapeo de bits. Sin embargo, cuando se utiliza la codificación Gray , el error más probable de un símbolo al siguiente produce sólo un error de bit y ${\displaystyle M}$

${\displaystyle P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}.}$

(El uso de la codificación Gray nos permite aproximar la distancia de Lee de los errores como la distancia de Hamming de los errores en el flujo de bits decodificado, lo cual es más fácil de implementar en hardware).

El gráfico de la derecha compara las tasas de error de bits de BPSK, QPSK (que son iguales, como se indicó anteriormente), 8-PSK y 16-PSK. Se ve que las modulaciones de orden superior presentan tasas de error más altas; Sin embargo, a cambio, ofrecen una velocidad de datos sin procesar más alta.

Los límites de las tasas de error de varios esquemas de modulación digital se pueden calcular aplicando la unión ligada a la constelación de señales.

Eficiencia espectral

La eficiencia del ancho de banda (o espectral) de los esquemas de modulación M-PSK aumenta al aumentar el orden de modulación M (a diferencia de, por ejemplo, M-FSK ): ^[7]

${\displaystyle \rho ={\frac {\log _{2}M}{2}}\quad [({\text{bits}}/{\text{s}})/{\text{Hz}}]}$

La misma relación es válida para M-QAM . ^[8]

Modificación por cambio de fase diferencial (DPSK)

Codificación diferencial

La manipulación por desplazamiento de fase diferencial (DPSK) es una forma común de modulación de fase que transmite datos cambiando la fase de la onda portadora. Como se mencionó para BPSK y QPSK, existe una ambigüedad de fase si la constelación gira por algún efecto en el canal de comunicaciones por el que pasa la señal. Este problema se puede superar utilizando los datos para cambiar en lugar de establecer la fase.

Por ejemplo, en BPSK codificado diferencialmente se puede transmitir un "1" binario sumando 180° a la fase actual y un "0" binario sumando 0° a la fase actual.Otra variante de DPSK es la codificación por desplazamiento de fase diferencial simétrico, SDPSK, donde la codificación sería +90° para un "1" y −90° para un "0".

En QPSK codificado diferencialmente (DQPSK), los cambios de fase son 0°, 90°, 180°, −90° correspondientes a los datos "00", "01", "11", "10". Este tipo de codificación se puede demodular de la misma manera que para PSK no diferencial, pero se pueden ignorar las ambigüedades de fase. Así, cada símbolo recibido se demodula en uno de los puntos de la constelación y luego un comparador calcula la diferencia de fase entre esta señal recibida y la anterior. La diferencia codifica los datos como se describe anteriormente. La codificación por desplazamiento de fase en cuadratura diferencial simétrica (SDQPSK) es como DQPSK, pero la codificación es simétrica y utiliza valores de desplazamiento de fase de −135°, −45°, +45° y +135°. ${\displaystyle M}$

La señal modulada se muestra a continuación tanto para DBPSK como para DQPSK como se describe anteriormente. En la figura, se supone que la señal comienza con fase cero , por lo que hay un cambio de fase en ambas señales en . ${\displaystyle t=0}$

Diagrama de tiempos para DBPSK y DQPSK. El flujo de datos binarios está por encima de la señal DBPSK. Los bits individuales de la señal DBPSK se agrupan en pares para la señal DQPSK, que solo cambia cada T _s = 2 T _b .

El análisis muestra que la codificación diferencial aproximadamente duplica la tasa de error en comparación con el -PSK ordinario, pero esto puede superarse con sólo un pequeño aumento en . Además, este análisis (y los resultados gráficos a continuación) se basan en un sistema en el que la única corrupción es el ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN). Sin embargo, también habrá un canal físico entre el transmisor y el receptor en el sistema de comunicación. Este canal introducirá, en general, un cambio de fase desconocido en la señal PSK; en estos casos, los esquemas diferenciales pueden producir una tasa de error mejor que los esquemas ordinarios que se basan en información de fase precisa. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$

Una de las aplicaciones más populares de DPSK es el estándar Bluetooth donde se implementaron -DQPSK y 8-DPSK. ${\displaystyle \pi /4}$

Demodulación

Comparación de BER entre DBPSK, DQPSK y sus formas no diferenciales utilizando codificación Gray y operando en ruido blanco

Para una señal que ha sido codificada diferencialmente, existe un método alternativo obvio de demodulación. En lugar de demodular como de costumbre e ignorar la ambigüedad de la fase de la portadora, la fase entre dos símbolos recibidos sucesivos se compara y se utiliza para determinar cuáles deben haber sido los datos. Cuando se utiliza codificación diferencial de esta manera, el esquema se conoce como codificación por desplazamiento de fase diferencial (DPSK). Tenga en cuenta que esto es sutilmente diferente del PSK codificado diferencialmente ya que, tras la recepción, los símbolos recibidos no se decodifican uno por uno en los puntos de la constelación, sino que se comparan directamente entre sí.

Llame al símbolo recibido en el ^intervalo de tiempo y déjelo tener fase . Supongamos sin pérdida de generalidad que la fase de la onda portadora es cero. Denota el término ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN) como . Entonces ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle n_{k}}$

${\displaystyle r_{k}={\sqrt {E_{s}}}e^{j\phi _{k}}+n_{k}.}$

La variable de decisión para el símbolo ^ésimo y el símbolo ^ésimo es la diferencia de fase entre y . Es decir, si se proyecta sobre , la decisión se toma sobre la fase del número complejo resultante: ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle r_{k-1}}$ ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle r_{k-1}}$

${\displaystyle r_{k}r_{k-1}^{*}=E_{s}e^{j\left(\varphi _{k}-\varphi _{k-1}\right)}+{\sqrt {E_{s}}}e^{j\varphi _{k}}n_{k-1}^{*}+{\sqrt {E_{s}}}e^{-j\varphi _{k-1}}n_{k}+n_{k}n_{k-1}^{*}}$

donde el superíndice * denota conjugación compleja . En ausencia de ruido, la fase de este es el desfase entre las dos señales recibidas que puede utilizarse para determinar los datos transmitidos. ${\displaystyle \phi _{k}-\phi _{k-1}}$

La probabilidad de error para DPSK es difícil de calcular en general, pero en el caso de DBPSK es:

${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {E_{b}}{N_{0}}}},}$^[9]

que, cuando se evalúa numéricamente, es sólo ligeramente peor que el BPSK ordinario, particularmente en valores más altos. ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$

El uso de DPSK evita la necesidad de esquemas de recuperación de portadora posiblemente complejos para proporcionar una estimación de fase precisa y puede ser una alternativa atractiva al PSK ordinario.

En las comunicaciones ópticas , los datos se pueden modular sobre la fase de un láser de forma diferencial. La modulación es un láser que emite una onda continua y un modulador Mach-Zehnder que recibe datos eléctricos binarios. Para el caso de BPSK, el láser transmite el campo sin cambios para el '1' binario y con polaridad inversa para el '0'. El demodulador consta de un interferómetro de línea de retardo que retarda un bit, de modo que se pueden comparar dos bits a la vez. En el procesamiento posterior, se utiliza un fotodiodo para transformar el campo óptico en una corriente eléctrica, de modo que la información vuelve a su estado original.

Las tasas de error de bits de DBPSK y DQPSK se comparan con sus contrapartes no diferenciales en el gráfico de la derecha. La pérdida por usar DBPSK es bastante pequeña en comparación con la reducción de complejidad que a menudo se usa en sistemas de comunicaciones que de otro modo usarían BPSK. Sin embargo, para DQPSK, la pérdida de rendimiento en comparación con QPSK normal es mayor y el diseñador del sistema debe equilibrar esto con la reducción de complejidad.

Ejemplo: BPSK codificado diferencialmente

Diagrama del sistema de codificación/decodificación diferencial

En el intervalo de tiempo se llama al bit a modular , al bit codificado diferencialmente y a la señal modulada resultante . Supongamos que el diagrama de constelación posiciona los símbolos en ±1 (que es BPSK). El codificador diferencial produce: ${\displaystyle k^{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle m_{k}(t)}$

${\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus b_{k}}$

donde indica suma binaria o módulo 2 . ${\displaystyle \oplus {}}$

Comparación de BER entre BPSK y BPSK con codificación diferencial funcionando en ruido blanco

Entonces solo cambia de estado (de "0" binario a "1" binario o de "1" binario a "0" binario) si es un "1" binario. En caso contrario permanece en su estado anterior. Esta es la descripción de BPSK codificada diferencialmente dada anteriormente. ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$

La señal recibida se demodula para producir y luego el decodificador diferencial invierte el procedimiento de codificación y produce ${\displaystyle e_{k}=\pm 1}$

${\displaystyle b_{k}=e_{k}\oplus e_{k-1},}$

ya que la resta binaria es lo mismo que la suma binaria.

Por tanto, si y difieren y si son iguales. Por lo tanto, si ambos y están invertidos , aún se decodificarán correctamente. Por tanto, la ambigüedad de la fase de 180° no importa. ${\displaystyle b_{k}=1}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle e_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k}=0}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle e_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k}}$

Se pueden idear esquemas diferenciales para otras modulaciones PSK siguiendo líneas similares. Las formas de onda para DPSK son las mismas que para PSK con codificación diferencial dadas anteriormente, ya que el único cambio entre los dos esquemas se produce en el receptor.

La curva BER de este ejemplo se compara con la BPSK ordinaria de la derecha. Como se mencionó anteriormente, si bien la tasa de error se duplica aproximadamente, el aumento necesario para superarlo es pequeño. Sin embargo, el aumento necesario para superar la modulación diferencial en sistemas codificados es mayor: normalmente unos 3 dB. La degradación del rendimiento es el resultado de una transmisión no coherente; en este caso se refiere al hecho de que el seguimiento de la fase se ignora por completo. ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$ ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$

Definiciones

Para determinar matemáticamente las tasas de error, se necesitarán algunas definiciones:

• ${\displaystyle E_{b}}$, energía por bit
• ${\displaystyle E_{s}=nE_{b}}$, energía por símbolo con n bits
• ${\displaystyle T_{b}}$, duración del bit
• ${\displaystyle T_{s}}$, duración del símbolo
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N_{0}}$, densidad espectral de potencia de ruido ( W / Hz )
• ${\displaystyle P_{b}}$, probabilidad de error de bit
• ${\displaystyle P_{s}}$, probabilidad de error de símbolo

${\displaystyle Q(x)}$dará la probabilidad de que una sola muestra tomada de un proceso aleatorio con función de densidad de probabilidad gaussiana de media cero y varianza unitaria sea mayor o igual a . Es una forma escalada de la función de error gaussiana complementaria : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq 0}$.

Las tasas de error citadas aquí son las del ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN). Estas tasas de error son más bajas que las calculadas en canales con desvanecimiento , por lo que son un buen punto de referencia teórico con el que comparar.

Aplicaciones

Debido a la simplicidad de PSK, particularmente en comparación con la modulación de amplitud en cuadratura de su competidor , se usa ampliamente en las tecnologías existentes.

El estándar de LAN inalámbrica , IEEE 802.11b-1999 , ^{[10] [11]} utiliza una variedad de PSK diferentes según la velocidad de datos requerida. A la velocidad básica de 1 Mbit /s, utiliza DBPSK (BPSK diferencial). Para proporcionar la velocidad extendida de 2 Mbit/s, se utiliza DQPSK. Para alcanzar 5,5 Mbit/s y la velocidad máxima de 11 Mbit/s, se emplea QPSK, pero debe combinarse con codificación de código complementaria . El estándar de LAN inalámbrica de mayor velocidad, IEEE 802.11g-2003 , ^{[10] [12]} tiene ocho velocidades de datos: 6, 9, 12, 18, 24, 36, 48 y 54 Mbit/s. Los modos de 6 y 9 Mbit/s utilizan modulación OFDM donde cada subportadora está modulada BPSK. Los modos de 12 y 18 Mbit/s utilizan OFDM con QPSK. Los cuatro modos más rápidos utilizan OFDM con formas de modulación de amplitud en cuadratura .       

Debido a su simplicidad, BPSK es apropiado para transmisores pasivos de bajo costo y se utiliza en estándares RFID como ISO/IEC 14443, que se ha adoptado para pasaportes biométricos , tarjetas de crédito como ExpressPay de American Express y muchas otras aplicaciones. ^[13]

Bluetooth 2 utiliza -DQPSK en su velocidad más baja (2 Mbit/s) y 8-DPSK en su velocidad más alta (3 Mbit/s) cuando el enlace entre los dos dispositivos es suficientemente robusto. Bluetooth 1 modula con codificación de desplazamiento mínimo gaussiano , un esquema binario, por lo que cualquiera de las opciones de modulación en la versión 2 producirá una velocidad de datos más alta. Una tecnología similar, IEEE 802.15.4 (el estándar inalámbrico utilizado por Zigbee ) también se basa en PSK utilizando dos bandas de frecuencia: 868–915 MHz con BPSK y 2,4 GHz con OQPSK. ${\displaystyle \pi /4}$    

Tanto QPSK como 8PSK se utilizan ampliamente en la transmisión por satélite. QPSK todavía se utiliza ampliamente en la transmisión de canales satelitales SD y algunos canales HD. La programación de alta definición se entrega casi exclusivamente en 8PSK debido a las tasas de bits más altas del video HD y al alto costo del ancho de banda satelital. ^[14] El estándar DVB-S2 requiere soporte tanto para QPSK como para 8PSK. Los conjuntos de chips utilizados en los nuevos decodificadores satelitales, como la serie 7000 de Broadcom , admiten 8PSK y son compatibles con el estándar anterior. ^[15]

Históricamente, los módems síncronos de banda vocal como Bell 201, 208 y 209 y CCITT V.26, V.27, V.29, V.32 y V.34 usaban PSK. ^[dieciséis]

Información mutua con ruido blanco gaussiano aditivo

Información mutua de PSK a través del canal AWGN

La información mutua de PSK se puede evaluar en ruido gaussiano aditivo mediante la integración numérica de su definición. ^[17] Las curvas de información mutua se saturan al número de bits transportados por cada símbolo en el límite de la relación señal-ruido infinita . Por el contrario, en el límite de relaciones señal-ruido pequeñas, la información mutua se acerca a la capacidad del canal AWGN , que es la suprema entre todas las opciones posibles de distribuciones estadísticas de símbolos. ${\displaystyle E_{s}/N_{0}}$

En valores intermedios de relaciones señal-ruido, la información mutua (IM) se aproxima bien mediante: ^[17]

${\displaystyle {\textrm {MI}}\simeq \log _{2}\left({\sqrt {{\frac {4\pi }{e}}{\frac {E_{s}}{N_{0}}}}}\right).}$

La información mutua de PSK a través del canal AWGN es generalmente menor que la de los formatos de modulación QAM .

Ver también

• Modulación de portadora compensada binaria
• Codificación diferencial
• Modulación  : para obtener una descripción general de todos los esquemas de modulación
• Modulación de fase (PM): el equivalente analógico de PSK
• Modulación polar
• PSK31
• PSK63

Notas

1. Popa, H.; Mahmoud, S. (2004). Sistemas de Comunicaciones . Pearson-Prentice Hall. pag. 283.ISBN​ 0-13-121929-4.
2. Nelson, T.; Perrins, E.; Arroz, M. (2005). "Detectores comunes para modulaciones de Nivel 1" (Documento). Fundación Internacional de Telemetría. hdl :10150/604890.
   Nelson, T.; Perrins, E.; Arroz, M. (2005). "Detectores comunes para QPSK con desplazamiento conformado (SOQPSK) y QPSK patentado por Feher (FQPSK)". GLOBECOM '05. Conferencia Mundial de Telecomunicaciones IEEE, 2005 . págs. 5 págs. doi : 10.1109/GLOCOM.2005.1578470. ISBN 0-7803-9414-3. S2CID  11020777.
3. Colina, Terrance J. (2000). "Una variante no patentada de envolvente constante de QPSK con desplazamiento conformado (SOQPSK) para mejorar la contención espectral y la eficiencia de detección". Actas MILCOM 2000. Comunicaciones militares del siglo XXI. Arquitecturas y Tecnologías para la Superioridad de la Información . vol. 1. IEEE. págs. 347–352. doi :10.1109/MILCOM.2000.904973. ISBN 0-7803-6521-6.
4. Li, Lifang; Simón, MK (2004). "Rendimiento de la codificación por desplazamiento de fase en cuadratura desplazada codificada (OQPSK) y OQPSK con forma MIL-STD (SOQPSK) con decodificación iterativa" (PDF) . Prog. Red Interplanetaria. Representante . 42 : 156.
5. Sahin, C.; Perrins, E. (2011). "La capacidad de SOQPSK-TG". 2011-Conferencia de Comunicaciones Militares MILCOM 2011 . IEEE. págs. 555–560. doi :10.1109/MILCOM.2011.6127730. ISBN 978-1-4673-0081-0.
6. Saeed, N.; Elzanaty, A.; Almorád, H.; Dahrouj, H.; Al-Naffouri, TY; Alouini, MS (2020). "Comunicaciones Cubesat: avances recientes y desafíos de futuro". Encuestas y tutoriales de comunicaciones IEEE . 22 (3): 1839–62. arXiv : 1908.09501 . doi :10.1109/COMST.2020.2990499.
7. Haykin, S. (2001). Sistemas de comunicación . Wiley. pag. 368.ISBN​ 0-471-17869-1.
8. Análisis del presupuesto de enlaces: modulación digital, parte 3 (www.AtlantaRF.com)
9. Stüber, GL (agosto de 1988). "Receptores DPSK de secuencia directa de decisión suave". Transacciones IEEE sobre tecnología vehicular . 37 (3): 151-157. doi :10.1109/25.16541.
10. IEEE Std 802.11-1999: Especificaciones de control de acceso al medio (MAC) y capa física (PHY) de LAN inalámbrica: la especificación general IEEE 802.11. Archivado el 28 de agosto de 2007 en Wayback Machine .
11. IEEE Std 802.11b-1999 (R2003): la especificación IEEE 802.11b.
12. IEEE Std 802.11g-2003: la especificación IEEE 802.11g.
13. "Comprensión de los requisitos de ISO/IEC 14443 para tarjetas de identificación sin contacto de proximidad tipo B" (PDF) . Nota de aplicación . ATMEL. 2005. Rev. 2056B–RFID–11/05.
14. "Cómo funcionan los satélites de comunicaciones". Planeta Zorro . 2014.
15. "SoC decodificador de satélite de bajo costo: BCM7325". Broadcom. Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de septiembre de 2015 .
16. "Módems locales y remotos" (PDF) . Caja negra . Servicios de red de caja negra. Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2015 . Consultado el 20 de diciembre de 2015 .
17. Blahut, RE (1988). Principios y práctica de la teoría de la información . Addison Wesley. ISBN 0-201-10709-0.

Referencias

La notación y los resultados teóricos de este artículo se basan en material presentado en las siguientes fuentes:

• Proakis, John G. (1995). Comunicaciones digitales. McGraw-Hill. ISBN 0-07-113814-5.
• Sofá, León W. II (1997). Comunicaciones Digitales y Analógicas . Prentice Hall. ISBN 0-13-081223-4.
• Haykin, Simón (1988). Comunicaciones Digitales . Wiley. ISBN 0-471-62947-2.