Modelos de abejorros

Modelos que rompen espontáneamente la simetría de Lorentz

Los modelos de abejorro son teorías de campo efectivas que describen un campo vectorial con un valor esperado de vacío que rompe espontáneamente la simetría de Lorentz. ^{[1] [2] [3] [4]} Un modelo de abejorro es el caso más simple de una teoría con ruptura espontánea de la simetría de Lorentz . ^[5]

El desarrollo de modelos de abejorros estuvo motivado principalmente por el descubrimiento de que los mecanismos de la teoría de cuerdas (y posteriormente de otras teorías cuánticas de la gravedad) pueden conducir a que campos con valores tensoriales adquieran valores esperados de vacío. ^[6] Los modelos de Bumblebee son diferentes de las teorías locales de calibre U (1). Sin embargo, en algunos modelos de abejorros pueden aparecer modos sin masa que se comportan como fotones .

Introducción

Alan Kostelecký y Stuart Samuel demostraron en 1989 que los mecanismos que surgen en el contexto de la teoría de cuerdas pueden conducir a una ruptura espontánea de la simetría de Lorentz . ^{[6] [7]} Se definió un conjunto de modelos a nivel de teoría de campos efectivos que contenían campos gravitacionales y un campo vectorial B _μ que tiene un valor esperado de vacío distinto de cero, <B _μ > = b _μ . Estos se conocen como modelos de abejorros.

Normalmente, en estos modelos, la violación espontánea de Lorentz es causada por la presencia de un término potencial en la acción. El valor de vacío b _μ , junto con una métrica de fondo, proporciona una solución que minimiza el potencial de los abejorros.

El valor del vacío b _μ actúa como un campo de fondo fijo que rompe espontáneamente la simetría de Lorentz. Es un ejemplo, para el caso de un vector, de un coeficiente de violación de Lorentz como se define en la Extensión del modelo estándar .

El nombre modelo abejorro , acuñado por Kostelecký, ^[8] se basa en un insecto cuya capacidad para volar a veces ha sido cuestionada por razones teóricas , pero que, sin embargo, es capaz de volar con éxito. ^[9]

lagrangiano

Se pueden construir diferentes ejemplos de abejorros lagrangianos. Sus expresiones incluyen términos cinéticos para los campos gravitacional y de abejorro, un potencial V que induce la ruptura espontánea de Lorentz y términos de materia. Además, puede haber acoplamientos entre los campos gravitacional, de abejorro y de materia. ^{[2] [3] [4] [8] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}

Un ejemplo, con términos convencionales de Einstein-Hilbert y constantes cosmológicas para el sector de gravedad es el lagrangiano:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{B}&={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+\sigma _{1}B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu }+\sigma _{2}B^{\mu }B_{\mu }R-{\frac {1}{4}}\tau _{1}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }\\&\quad +{\frac {1}{2}}\tau _{2}D_{\mu }B_{\nu }D^{\mu }B^{\nu }+{\frac {1}{2}}\tau _{3}D_{\mu }B^{\mu }D_{\nu }B^{\nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.\end{aligned}}}$

En esta expresión, es la derivada covariante, y los términos están controlados por un conjunto de constantes, , , , , . El lagrangiano del sector materia , puede incluir acoplamientos a B _μ . ${\displaystyle D_{\mu }{\Big .}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{3}{\Big .}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {M}}}$

Se supone que el potencial en este ejemplo tiene un mínimo cuando ${\displaystyle V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})}$

${\displaystyle B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}=0.}$

Esta condición se cumple cuando el campo vectorial tiene un valor de vacío b _μ que obedece a b _μ b ^μ = ±b ² . El valor de la constante ± b ² en el potencial determina si el vector de vacío es temporal , luminoso o espacial .

Un ejemplo comúnmente utilizado para el potencial es una función cuadrática suave,

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\kappa (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})^{2},}$

donde es una constante. Con esta elección, puede aparecer un modo masivo en la teoría para valores de B _μ que no minimizan el potencial V . ${\displaystyle \kappa {\Big .}}$

Otra opción común utiliza un campo multiplicador de Lagrange y se expresa como

${\displaystyle V=\lambda (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}).}$

En este caso, el modo masivo queda congelado. Sin embargo, el campo multiplicador de Lagrange λ ocupa su lugar como un grado de libertad adicional en la teoría.

En el límite donde el término potencial V se elimina de la teoría, los modelos de abejorros se reducen a ejemplos de teorías de la gravedad de tensor vectorial. ^{[20] [21]}

El Lagrangiano especial con , y es el tipo original de modelo examinado por Kostelecký y Samuel, ^[1] conocido como modelo de abejorro KS. El lagrangiano en este caso tiene una forma de Maxwell para el término cinético del abejorro y se expresa como ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$ ${\displaystyle \tau _{1}=1{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {KS}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.}$

Por esta razón, B _μ puede considerarse como un potencial vectorial generalizado y pueden incluirse interacciones con una corriente de materia. ${\displaystyle J^{\mu }{\Big .}}$

El lagrangiano especial con , y , es similar al modelo KS, pero incluye acoplamientos gravitacionales no mínimos parametrizados por un acoplamiento . El lagrangiano en este caso es: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$ ${\displaystyle \tau _{1}=1{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}}$ ${\displaystyle \xi {\Big .}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda +\xi B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu })-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.}$

En todos los modelos de abejorros, el lagrangiano es invariante tanto bajo transformaciones locales de Lorentz como ante difeomorfismos . Se puede utilizar un formalismo de Vierbein para introducir componentes locales para los campos métrico , de abejorro y de materia en cada punto del espacio-tiempo . La violación espontánea de Lorentz ocurre cuando el campo de abejorros tiene un valor de vacío distinto de cero en los marcos de Lorentz locales.

El formalismo vierbein es útil para expresar las estructuras de las teorías del abejorro. Por ejemplo, proporciona una forma natural de expresar el vínculo directo entre la ruptura espontánea de Lorentz y la ruptura del difeomorfismo. El valor de vacío del espacio-tiempo b _μ se obtiene cuando la solución de vacío para el vierbein actúa sobre el valor de vacío local para el campo vectorial. El resultado es un campo de fondo fijo en el marco espacio-temporal, que rompe espontáneamente los difeomorfismos de las partículas .

Nambu-Goldstone y modos masivos

Los modelos de abejorros son útiles para explorar los efectos de la violación espontánea de Lorentz en las teorías gravitacionales. Estos efectos incluyen la existencia de modos Nambu-Goldstone, modos masivos (Higgs) y la posibilidad de un mecanismo de Higgs. ^{[18] [19]} En los modelos de abejorros, la simetría de Lorentz y el difeomorfismo se rompen espontáneamente, por lo que estos efectos deben considerarse en el contexto de ambos tipos de ruptura de simetría .

Los modos Nambu-Goldstone aparecen cuando una simetría continua se rompe espontáneamente. Los modos Nambu-Goldstone pueden considerarse como excitaciones generadas por simetrías rotas que permanecen en el vacío degenerado de la teoría. Por el contrario, los modos masivos ( Higgs ) son excitaciones que no permanecen en el mínimo potencial. En este sentido, los modos masivos son ortogonales a las excitaciones de Nambu-Goldstone.

En los modelos de abejorros, las excitaciones generadas por los difeomorfismos rotos están contenidas tanto en el campo vectorial B _μ como en la métrica g _μν . Se pueden realizar diferentes opciones de calibre que muevan efectivamente los grados de libertad de Nambu-Goldstone entre estos campos. Para una amplia gama de modelos, incluido el abejorro KS con un valor constante de b _μ , los modos de difeomorfismo Nambu-Goldstone no se propagan como modos físicos sin masa. Más bien, son modos auxiliares.

Las diferentes opciones de calibre también afectan la interpretación de los modos Nambu-Goldstone que surgen de la ruptura espontánea de Lorentz. En los modelos de abejorros más generales, la fijación de calibre para las transformaciones de Lorentz y los difeomorfismos se puede hacer de modo que todos los modos Nambu-Goldstone estén contenidos en el sector gravitacional, ya sea en el vierbein o, en algunos casos, solo en la métrica . Con estas opciones, los modelos de abejorros se tratan como teorías alternativas de la gravedad.

Para el modelo general con Lagrangiano , con valores ilimitados de las constantes , , , , los modos Nambu-Goldstone incluyen modos sin masa de propagación y modos fantasma. Una línea de investigación es buscar valores restringidos de los parámetros que eliminen los fantasmas como modos de propagación. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{3}{\Big .}}$

En el modelo de abejorro KS, los únicos modos Nambu-Goldstone que se propagan son dos modos transversales sin masa, que tienen propiedades similares a las del fotón en un calibre axial. Los modos de propagación de la gravedad describen los modos gravitones habituales en la relatividad general.

Además de los modos Nambu-Goldstone, existe una excitación combinada en B _μ y g _μν que no permanece en el mínimo potencial. Es un modo masivo, similar a una excitación de Higgs en el modelo electrodébil .

En los modelos de abejorros de KS, la excitación en modo masivo actúa como una fuente de gravedad de fondo y como una fuente de densidad de carga de fondo. La estabilidad de la teoría se ve afectada por el comportamiento del modo masivo, lo que representa un grado de libertad adicional en comparación con la teoría de Einstein-Maxwell .

En el modelo KS, se puede demostrar que existen condiciones iniciales adecuadas que establecen el modo masivo en cero para siempre. Alternativamente, cuando la escala masiva del modo masivo se vuelve grande, sus efectos se suprimen en gran medida. En el límite de una escala de masa infinita para el modo masivo, se encuentra que el modelo KS es equivalente a la teoría de Einstein-Maxwell en un calibre axial fijo. ^{[18] [19]}

Tenga en cuenta que otros modelos además del abejorro permiten que surjan partículas conocidas sin masa como modos Nambu-Goldstone. Por ejemplo, el modelo cardinal se basa en un dos tensor simétrico. Los modos resultantes de la ruptura espontánea de Lorentz en este modelo pueden equipararse con el gravitón. ^[22]

Fotones de violación espontánea de Lorentz

La idea de que el fotón podría surgir como modos Nambu-Goldstone en una teoría con violación espontánea de Lorentz surgió por primera vez en el contexto de la relatividad especial .

En 1951, Paul Dirac consideró una teoría vectorial con un potencial multiplicador de Lagrange como modelo alternativo que daba origen a la carga del electrón. ^[23] Más tarde se reconoció que se trataba de una teoría con ruptura espontánea de Lorentz .

Doce años más tarde, en 1963, James Bjorken propuso un modelo en el que las excitaciones colectivas de un campo de fermiones podrían dar lugar a fotones compuestos que emergieran como modos Nambu-Goldstone. ^[24] Se afirmó que el comportamiento observable del fotón en este modelo original era equivalente a la electrodinámica .

Posteriormente, en 1968, Yoichiro Nambu introdujo un modelo vectorial que no implicaba un potencial de ruptura de simetría. ^[25] En cambio, la restricción de que el campo vectorial tenga una norma fija se introdujo directamente, y se demostró que la teoría resultante, que no contiene un modo masivo, es equivalente al electromagnetismo en un calibre fijo.

El modelo de abejorro de KS, que incluye campos gravitacionales además del campo vectorial, extiende la idea de que los fotones surgen como modos Nambu-Goldstone de la relatividad especial a la relatividad general .

En el modelo KS, no existe simetría de calibre U local (1). En cambio, existen tanto modos Nambu-Goldstone sin masa como un modo masivo como resultado de una violación espontánea de Lorentz . En el límite de la masa infinita, el fotón aparece en modos Nambu-Goldstone sin masa.

Mecanismo de Higgs

Debido a que la simetría de Lorentz es una simetría local en presencia de gravedad , la posibilidad de un mecanismo de Higgs surge cuando la simetría de Lorentz se rompe espontáneamente . En el mecanismo de Higgs de la teoría de calibre convencional , los modos Nambu-Goldstone se reinterpretan como grados de libertad asociados con un campo de calibre masivo . Se dice que los modos Nambu-Goldstone se comen , mientras que los bosones de calibre ganan masa.

Kostelecky y Samuel consideraron la posibilidad de que un mecanismo gravitacional de Higgs en modelos de abejorros pudiera dotar de masa al gravitón . ^[1] Sin embargo, demostraron que lo que parece ser un término de masa involucra el cuadrado de la conexión afín . Dado que la conexión es función de las derivadas de la métrica, ésta no puede ser un término de masa. Por tanto, no existe ningún mecanismo de Higgs convencional en los modelos de abejorros que dé lugar a un gravitón masivo . ${\displaystyle \Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }}$

Este resultado supuso que el espaciotiempo es un espaciotiempo de Riemann . Si, en cambio, se considera un espaciotiempo de Riemann-Cartan , entonces es posible un mecanismo de Higgs . ^{[18] [19]} Sin embargo, en este caso, no es el gravitón el que adquiere masa. En cambio, es la conexión de espín la que se vuelve masiva a través de la ruptura espontánea de Lorentz .

En el espaciotiempo de Riemann-Cartan , las derivadas covariantes que actúan sobre los tensores locales implican la conexión de espín . Dado que este tipo de geometría incluye torsión , la conexión de espín proporciona un conjunto adicional de grados de libertad dinámicos que pueden propagarse.

"Los modelos de abejorros en el espacio-tiempo de Riemann-Cartan conducen a términos de masa para la conexión de espín mediante la ruptura espontánea de la simetría local de Lorentz" . Los modos Nambu-Goldstone resultantes pueden reinterpretarse, como en un mecanismo de Higgs , como grados de libertad que hacen que la conexión de espín sea masiva. Sin embargo, encontrar términos cinéticos adecuados para la conexión de espín masiva resultante , libre de fantasmas y taquiones , sigue siendo un problema abierto.

Ver también

• Extensión del modelo estándar
• Geometría de Riemann-Cartan
• Pruebas de antimateria de violación de Lorentz
• Oscilaciones de neutrinos que violan Lorentz
• Electrodinámica que viola Lorentz

Referencias

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