Modelos de abejorros

Modelos que rompen espontáneamente la simetría de Lorentz

Los modelos de abejorro son teorías de campo efectivas que describen un campo vectorial con un valor esperado de vacío que rompe espontáneamente la simetría de Lorentz. ^{[1] [2] [3] [4]} Un modelo de abejorro es el caso más simple de una teoría con ruptura espontánea de la simetría de Lorentz . ^[5]

El desarrollo de los modelos de abejorro estuvo motivado principalmente por el descubrimiento de que los mecanismos de la teoría de cuerdas (y posteriormente otras teorías cuánticas de la gravedad) pueden llevar a que los campos con valores tensoriales adquieran valores esperados de vacío. ^[6] Los modelos de abejorro son diferentes de las teorías de calibre U (1) locales. Sin embargo, en algunos modelos de abejorro pueden aparecer modos sin masa que se comporten como fotones .

Introducción

Alan Kostelecký y Stuart Samuel demostraron en 1989 que los mecanismos que surgen en el contexto de la teoría de cuerdas pueden conducir a la ruptura espontánea de la simetría de Lorentz . ^{[6] [7]} Se definió un conjunto de modelos a nivel de la teoría de campos efectivos que contenían campos gravitacionales y un campo vectorial B _μ que tiene un valor esperado de vacío distinto de cero, <B _μ > = b _μ . Estos se han conocido como modelos de abejorro.

Por lo general, en estos modelos, la violación espontánea de Lorentz se produce por la presencia de un término potencial en la acción. El valor de vacío b _μ , junto con una métrica de fondo, proporciona una solución que minimiza el potencial de abejorro.

El valor de vacío b _μ actúa como un campo de fondo fijo que rompe espontáneamente la simetría de Lorentz. Es un ejemplo, para el caso de un vector, de un coeficiente de violación de Lorentz tal como se define en la Extensión del Modelo Estándar .

El nombre de modelo abejorro , acuñado por Kostelecký, ^[8] se basa en un insecto cuya capacidad para volar a veces ha sido cuestionada por razones teóricas , pero que, no obstante, es capaz de volar con éxito. ^[9]

Lagrangiano

Se pueden construir diferentes ejemplos de lagrangianos de abejorro. Sus expresiones incluyen términos cinéticos para los campos gravitatorio y de abejorro, un potencial V que induce la ruptura espontánea de Lorentz y términos de materia. Además, puede haber acoplamientos entre los campos gravitatorio, de abejorro y de materia. ^{[2] [3] [4] [8] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}

Un ejemplo, con términos convencionales de Einstein-Hilbert y de constante cosmológica para el sector de la gravedad es el lagrangiano:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{B}&={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+\sigma _{1}B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu }+\sigma _{2}B^{\mu }B_{\mu }R-{\frac {1}{4}}\tau _{1}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }\\&\quad +{\frac {1}{2}}\tau _{2}D_{\mu }B_{\nu }D^{\mu }B^{\nu }+{\frac {1}{2}}\tau _{3}D_{\mu }B^{\mu }D_{\nu }B^{\nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.\end{aligned}}}$

En esta expresión, es la derivada covariante, , y los términos están controlados por un conjunto de constantes, , , , , . El lagrangiano del sector de materia, , puede incluir acoplamientos a B _μ . ${\displaystyle D_{\mu }{\Big .}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{3}{\Big .}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {M}}}$

Se supone que el potencial en este ejemplo tiene un mínimo cuando ${\displaystyle V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})}$

${\displaystyle B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}=0.}$

Esta condición se satisface cuando el campo vectorial tiene un valor de vacío b _μ que obedece b _μ b ^μ = ±b ² . El valor de la constante ± b ² en el potencial determina si el vector de vacío es temporal , luminoso o espacial .

Un ejemplo comúnmente utilizado para el potencial es una función cuadrática suave,

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\kappa (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})^{2},}$

donde es una constante. Con esta elección, puede aparecer un modo masivo en la teoría para valores de B _μ que no minimicen el potencial V . ${\displaystyle \kappa {\Big .}}$

Otra opción común utiliza un campo multiplicador de Lagrange y se da como

${\displaystyle V=\lambda (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}).}$

En este caso, el modo masivo queda excluido, pero el campo multiplicador de Lagrange λ ocupa su lugar como un grado adicional de libertad en la teoría.

En el límite donde el término potencial V se elimina de la teoría, los modelos de abejorro se reducen a ejemplos de teorías de gravedad vector-tensorial. ^{[20] [21]}

El lagrangiano especial con , y es el tipo original de modelo examinado por Kostelecký y Samuel, ^[1] conocido como el modelo KS del abejorro. El lagrangiano en este caso tiene una forma de Maxwell para el término cinético del abejorro, y se da como ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$ ${\displaystyle \tau _{1}=1{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {KS}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.}$

Por esta razón, B _μ puede considerarse como un potencial vectorial generalizado y pueden incluirse interacciones con una corriente de materia. ${\displaystyle J^{\mu }{\Big .}}$

El lagrangiano especial con , , y , es similar al modelo KS, pero incluye acoplamientos gravitacionales no mínimos parametrizados por un acoplamiento . El lagrangiano en este caso es: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$ ${\displaystyle \tau _{1}=1{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}}$ ${\displaystyle \xi {\Big .}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda +\xi B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu })-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.}$

En todos los modelos de abejorro, el lagrangiano es invariante tanto bajo transformaciones de Lorentz locales como bajo difeomorfismos . Se puede utilizar un formalismo de Vierbein para introducir componentes locales para los campos métrico , de abejorro y de materia en cada punto del espacio-tiempo . La violación espontánea de Lorentz ocurre cuando el campo de abejorro tiene un valor de vacío distinto de cero en los marcos de Lorentz locales.

El formalismo de Vierbein es útil para expresar las estructuras de las teorías de abejorros. Por ejemplo, proporciona una forma natural de expresar el vínculo directo entre la ruptura espontánea de Lorentz y la ruptura de difeomorfismos. El valor de vacío del espacio-tiempo b _μ se obtiene cuando la solución de vacío para el formalismo de Vierbein actúa sobre el valor de vacío local para el campo vectorial. El resultado es un campo de fondo fijo en el marco del espacio-tiempo, que rompe espontáneamente los difeomorfismos de partículas .

Nambu–Goldstone y modos masivos

Los modelos de abejorro son útiles para explorar los efectos de la violación espontánea de Lorentz en las teorías gravitacionales. Estos efectos incluyen la existencia de modos de Nambu-Goldstone, modos masivos (Higgs) y la posibilidad de un mecanismo de Higgs. ^{[18] [19]} En los modelos de abejorro, la simetría de Lorentz y difeomorfismo se rompen espontáneamente, por lo que estos efectos deben considerarse en el contexto de ambos tipos de ruptura de simetría .

Los modos Nambu-Goldstone aparecen cuando una simetría continua se rompe espontáneamente. Los modos Nambu-Goldstone pueden considerarse como excitaciones generadas por las simetrías rotas que permanecen en el vacío degenerado de la teoría. Por el contrario, los modos masivos ( Higgs ) son excitaciones que no permanecen en el mínimo potencial. En este sentido, los modos masivos son ortogonales a las excitaciones Nambu-Goldstone.

En los modelos de abejorro, las excitaciones generadas por los difeomorfismos rotos están contenidas tanto en el campo vectorial B _μ como en la métrica g _μν . Se pueden hacer diferentes elecciones de calibre que efectivamente muevan los grados de libertad de Nambu-Goldstone entre estos campos. Para una amplia gama de modelos, incluido el abejorro KS con un valor constante de b _μ , los modos de difeomorfismo de Nambu-Goldstone no se propagan como modos físicos sin masa. En cambio, son modos auxiliares.

Las diferentes opciones de calibración también afectan la interpretación de los modos Nambu-Goldstone que surgen de la ruptura espontánea de Lorentz. En los modelos de abejorro más generales, la fijación de calibración para las transformaciones de Lorentz y los difeomorfismos se puede realizar de modo que todos los modos Nambu-Goldstone estén contenidos en el sector gravitacional, ya sea en el vierbein o, en algunos casos, solo en la métrica . Con estas opciones, los modelos de abejorro se tratan como teorías alternativas de la gravedad.

Para el modelo general con Lagrangiano , con valores irrestrictos de las constantes , , , , , los modos de Nambu–Goldstone incluyen tanto los modos sin masa que se propagan como los modos fantasma. Una línea de investigación es buscar valores restringidos de los parámetros que eliminen los fantasmas como modos de propagación. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{1}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{2}{\Big .}}$ ${\displaystyle \tau _{3}{\Big .}}$

En el modelo de abejorro KS, los únicos modos de propagación de Nambu-Goldstone son dos modos transversales sin masa, que tienen propiedades similares a las del fotón en un medidor axial. Los modos de propagación de gravedad describen los modos de gravitón habituales en la relatividad general.

Además de los modos Nambu-Goldstone, existe una excitación combinada en B _μ y g _μν que no se mantiene en el mínimo potencial. Es un modo masivo, similar a una excitación de Higgs en el modelo electrodébil .

En los modelos de abejorros de KS, la excitación en modo masivo actúa como una fuente de fondo de gravedad y como una fuente de fondo de densidad de carga. La estabilidad de la teoría se ve afectada por el comportamiento del modo masivo, que representa un grado adicional de libertad en comparación con la teoría de Einstein-Maxwell .

En el modelo KS, se puede demostrar que existen condiciones iniciales adecuadas que fijan el modo masivo en cero para siempre. Alternativamente, cuando la escala de masa del modo masivo se vuelve grande, sus efectos se suprimen en gran medida. En el límite de una escala de masa infinita para el modo masivo, se descubre que el modelo KS es equivalente a la teoría de Einstein-Maxwell en un calibre axial fijo. ^{[18] [19]}

Cabe señalar que otros modelos, además del abejorro, permiten que surjan partículas sin masa conocidas como modos Nambu-Goldstone. Por ejemplo, el modelo cardinal se basa en un tensor doble simétrico. Los modos resultantes de la ruptura espontánea de Lorentz en este modelo pueden equipararse con el gravitón. ^[22]

Fotones de violación espontánea de Lorentz

La idea de que el fotón podría surgir como modos Nambu-Goldstone en una teoría con violación espontánea de Lorentz surgió por primera vez en el contexto de la relatividad especial .

En 1951, Paul Dirac consideró una teoría vectorial con un potencial multiplicador de Lagrange como modelo alternativo que da lugar a la carga del electrón. ^[23] Más tarde se reconoció que se trataba de una teoría con ruptura espontánea de Lorentz .

Doce años después, en 1963, James Bjorken propuso un modelo en el que las excitaciones colectivas de un campo de fermiones podrían dar lugar a que emergieran fotones compuestos como modos Nambu-Goldstone. ^[24] Se afirmó que el comportamiento observable del fotón en este modelo original era equivalente a la electrodinámica .

Posteriormente, en 1968, Yoichiro Nambu introdujo un modelo vectorial que no implicaba un potencial de ruptura de simetría. ^[25] En cambio, se introdujo directamente la restricción de que el campo vectorial tiene una norma fija, y se demostró que la teoría resultante, que no contiene un modo masivo, era equivalente al electromagnetismo en un calibre fijo.

El modelo de abejorro KS, que incluye campos gravitacionales además del campo vectorial, extiende la idea de que los fotones surgen como modos Nambu-Goldstone de la relatividad especial a la relatividad general .

En el modelo KS, no hay simetría de calibre U (1) local. En cambio, hay modos Nambu-Goldstone sin masa y un modo masivo como resultado de la violación espontánea de Lorentz . En el límite de masa infinita, el fotón aparece como modos Nambu-Goldstone sin masa.

Mecanismo de Higgs

Debido a que la simetría de Lorentz es una simetría local en presencia de gravedad , surge la posibilidad de un mecanismo de Higgs cuando la simetría de Lorentz se rompe espontáneamente . En el mecanismo de Higgs de la teoría de calibración convencional , los modos de Nambu-Goldstone se reinterpretan como grados de libertad asociados con un campo de calibración masivo . Se dice que los modos de Nambu-Goldstone se comen , mientras que los bosones de calibración ganan masa.

^{Kostelecky y Samuel [1]} consideraron la posibilidad de que un mecanismo de Higgs gravitacional en los modelos de abejorro pudiera dotar al gravitón de masa. Sin embargo, demostraron que lo que parece ser un término de masa involucra el cuadrado de la conexión afín . Dado que la conexión es una función de las derivadas de la métrica, esto no puede ser un término de masa. Por lo tanto, no existe un mecanismo de Higgs convencional en los modelos de abejorro que resulte en un gravitón masivo . ${\displaystyle \Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }}$

Este resultado suponía que el espacio-tiempo es un espacio-tiempo de Riemann . Si en cambio se considera un espacio-tiempo de Riemann-Cartan , entonces se hace posible un mecanismo de Higgs . ^{[18] [19]} Sin embargo, en este caso, no es el gravitón el que adquiere masa, sino que es la conexión de espín la que se vuelve masiva a través de la ruptura espontánea de Lorentz .

En el espacio-tiempo de Riemann-Cartan , las derivadas covariantes que actúan sobre tensores locales implican la conexión de espín . Dado que este tipo de geometría incluye torsión , la conexión de espín proporciona un conjunto adicional de grados de libertad dinámicos que pueden propagarse.

Los modelos de abejorro en el espacio-tiempo de Riemann-Cartan conducen a términos de masa para la conexión de espín a través de la ruptura espontánea de la simetría local de Lorentz . Los modos de Nambu-Goldstone resultantes pueden reinterpretarse, como en un mecanismo de Higgs , como grados de libertad que hacen que la conexión de espín sea masiva. Sin embargo, encontrar términos cinéticos adecuados para la conexión de espín masiva resultante , libre de fantasmas y taquiones , sigue siendo un problema abierto.

Véase también

• Extensión del modelo estándar
• Geometría de Riemann-Cartan
• Pruebas de antimateria de violación de Lorentz
• Oscilaciones de neutrinos que violan el principio de Lorentz
• Electrodinámica que viola el principio de Lorentz

Referencias

1. Kostelecký, V. Alan; Samuel, S. (1989). "Fenomenología gravitacional en teorías de dimensiones superiores y cuerdas". Physical Review D . 40 (6): 1886–1903. Bibcode :1989PhRvD..40.1886K. doi :10.1103/PhysRevD.40.1886. hdl : 2022/18652 . PMID  10012017.
2. Kostelecký, V. Alan; Lehnert, Ralf (2001). "Estabilidad, causalidad y violación de Lorentz y CPT". Physical Review D . 63 (6): 065008. arXiv : hep-th/0012060 . Código Bibliográfico :2001PhRvD..63f5008K. doi :10.1103/PhysRevD.63.065008. S2CID  119074843.
3. Kostelecký, V. Alan (2004). "Gravedad, violación de Lorentz y el modelo estándar". Physical Review D . 69 (10): 105009. arXiv : hep-th/0312310 . Código Bibliográfico :2004PhRvD..69j5009K. doi :10.1103/PhysRevD.69.105009. S2CID  55185765.
4. Bailey, Quentin; Kostelecký, V. Alan (2006). "Señales de violación de Lorentz en gravedad post-newtoniana". Physical Review D . 74 (4): 045001. arXiv : gr-qc/0603030 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..74d5001B. doi :10.1103/PhysRevD.74.045001. S2CID  26268407.
5. Bluhm, R. (2008). "Modos de Nambu-Goldstone en teorías gravitacionales con ruptura espontánea de Lorentz". Revista Internacional de Física Moderna D . 16 (12b): 2357–2363. arXiv : hep-th/0607127 . Código Bibliográfico :2007IJMPD..16.2357B. doi :10.1142/S021827180701122X. S2CID  12186967.
6. Kostelecký, V. Alan; Samuel, Stuart (1989). "Ruptura espontánea de la simetría de Lorentz en la teoría de cuerdas". Physical Review D . 39 (2): 683–685. Bibcode :1989PhRvD..39..683K. doi :10.1103/PhysRevD.39.683. hdl : 2022/18649 . PMID  9959689.
7. Bluhm, R.; Lämmerzahl, Claus (2006). Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus (eds.). "Descripción general de la extensión del modelo estándar: implicaciones y fenomenología de la violación de Lorentz" . Apuntes de conferencias de física . vol. 702. Springer Berlín / Heidelberg. págs. 191-226. doi :10.1007/b11758914. ISBN 978-3-540-34522-0.
8. Bluhm, Robert; Gagne, Nolan; Potting, Robertus; Vrublevskis, Arturs (2008). "Restricciones y estabilidad en teorías vectoriales con violación espontánea de Lorentz". Physical Review D . 77 (12): 125007. arXiv : 0802.4071 . Código Bibliográfico :2008PhRvD..77l5007B. doi :10.1103/PhysRevD.77.125007.
9. Dickinson, Michael H.; Lehmann, Fritz-Olaf; Sane, Sanjay P. (1999). "Rotación de alas y base aerodinámica del vuelo de los insectos". Science . 284 (5422): 1954–1960. doi :10.1126/science.284.5422.1954. PMID  10373107.
10. Jacobson, Ted; Mattingly, David (2001). "Gravedad con un marco dinámico preferido". Physical Review D . 64 (2): 024028. arXiv : gr-qc/0007031 . Código Bibliográfico :2001PhRvD..64b4028J. doi :10.1103/PhysRevD.64.024028. S2CID  119372246.
11. Carroll, Sean; Lim, Eugene (2004). "Los campos vectoriales que violan el principio de Lorentz ralentizan el universo". Physical Review D . 70 (12): 123525. arXiv : hep-th/0407149 . Bibcode :2004PhRvD..70l3525C. doi :10.1103/PhysRevD.70.123525. S2CID  119065573.
12. Bertolami, O.; Páramos, J. (2005). "Soluciones de vacío de un modelo de gravedad con ruptura espontánea de simetría de Lorentz inducida por vectores". Physical Review D . 72 (4): 044001. arXiv : hep-th/0504215 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..72d4001B. doi :10.1103/PhysRevD.72.044001. S2CID  119091136.
13. Cheng, Hsin-Chia; Luty, Markus A; Mukohyama, Shinji; Thaler, Jesse (2006). "Ruptura espontánea de Lorentz a altas energías". Journal of High Energy Physics . 2006 (5): 076. arXiv : hep-th/0603010 . Código Bibliográfico :2006JHEP...05..076C. doi :10.1088/1126-6708/2006/05/076. S2CID  603052.
14. Chkareuli, JL; Froggatt, CD; Nielsen, HB (2009). "Obtención de la simetría de calibración y la violación espontánea de Lorentz". Física nuclear B . 821 (1–2): 65–73. arXiv : hep-th/0610186 . Código Bibliográfico :2009NuPhB.821...65C. doi :10.1016/j.nuclphysb.2009.06.011. S2CID  1897414.
15. Seifert, Michael (2009). "Modelos vectoriales de ruptura de simetría gravitacional de Lorentz". Physical Review D . 79 (12): 124012. arXiv : 0903.2279 . Bibcode :2009PhRvD..79l4012S. doi :10.1103/PhysRevD.79.124012. S2CID  119113124.
16. Seifert, Michael D. (2010). "Modelos generalizados de abejorros y electrodinámica que viola el estado de Lorentz". Physical Review D . 81 (6): 065010. arXiv : 0909.3118 . Bibcode :2010PhRvD..81f5010S. doi :10.1103/PhysRevD.81.065010. S2CID  119126100.
17. Altschul, B.; Kostelecký, V. Alan (2005). "Violación espontánea de Lorentz e interacciones no polinómicas". Physics Letters B . 628 (1–2): 106–112. arXiv : hep-th/0509068 . Código Bibliográfico :2005PhLB..628..106A. doi :10.1016/j.physletb.2005.09.018. S2CID  14973827.
18. Bluhm, Robert; Kostelecký, V. Alan (2005). "Violación espontánea de Lorentz, modos de Nambu-Goldstone y gravedad". Physical Review D . 71 (6): 065008. arXiv : hep-th/0412320 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..71f5008B. doi :10.1103/PhysRevD.71.065008. S2CID  119354909.
19. Bluhm, Robert; Fung, Shu-Hong; Kostelecký, V. Alan (2008). "Violación espontánea de Lorentz y difeomorfismo, modos masivos y gravedad". Physical Review D . 77 (6): 065020. arXiv : 0712.4119 . Código Bibliográfico :2008PhRvD..77f5020B. doi :10.1103/PhysRevD.77.065020. S2CID  119263833.
20. Will, Clifford M.; Nordtvedt, Kenneth Jr. (1972). "Leyes de conservación y marcos preferidos en la gravedad relativista. I. Teorías de marcos preferidos y un formalismo PPN extendido". The Astrophysical Journal . 177 : 757. Bibcode :1972ApJ...177..757W. doi : 10.1086/151754 .
21. Clifford M. Will (1993). Teoría y experimentación en física gravitacional. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-43973-2.
22. Kostelecký, V. Alan; Potting, Robertus (2009). "Gravedad a partir de una violación espontánea de Lorentz". Physical Review D . 79 (6): 065018. arXiv : 0901.0662 . Código Bibliográfico :2009PhRvD..79f5018K. doi :10.1103/PhysRevD.79.065018. S2CID  119229843.
23. Dirac, PAM (1951). "Una nueva teoría clásica de los electrones". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 209 (1098): 291–296. Bibcode :1951RSPSA.209..291D. doi :10.1098/rspa.1951.0204. S2CID  119918259.
24. Bjorken, JD (1963). "Un origen dinámico del campo electromagnético". Anales de Física . 24 : 174–187. Código Bibliográfico :1963AnPhy..24..174B. doi :10.1016/0003-4916(63)90069-1.
25. Y. Nambu (1968). "Electrodinámica cuántica en gauge no lineal". Progreso de la física teórica . E68 (Suppl. Extra): 190–195. Código Bibliográfico :1968PThPS.E68..190N. doi : 10.1143/PTPS.E68.190 .