Modelo Drude

Modelo de conducción eléctrica

Los electrones del modelo Drude (mostrados aquí en azul) rebotan constantemente entre iones cristalinos estacionarios y más pesados ​​(mostrados en rojo). ^{[ cita requerida ]}

El modelo de conducción eléctrica de Drude fue propuesto en 1900 ^{[1] [2]} por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de electrones en materiales (especialmente metales). Básicamente, la ley de Ohm estaba bien establecida y establecía que la corriente J y el voltaje V que impulsan la corriente están relacionados con la resistencia R del material. La inversa de la resistencia se conoce como conductancia. Cuando consideramos un metal de longitud unitaria y área de sección transversal unitaria, la conductancia se conoce como conductividad, que es la inversa de la resistividad . El modelo de Drude intenta explicar la resistividad de un conductor en términos de la dispersión de electrones (los portadores de electricidad) por los iones relativamente inmóviles en el metal que actúan como obstrucciones al flujo de electrones.

El modelo, que es una aplicación de la teoría cinética , supone que el comportamiento microscópico de los electrones en un sólido puede tratarse de manera clásica y se comporta de manera muy similar a una máquina de pinball , con un mar de electrones en constante vibración que rebotan y vuelven a rebotar en iones positivos más pesados ​​y relativamente inmóviles.

En términos modernos, esto se refleja en el modelo de electrones de valencia , donde el mar de electrones está compuesto únicamente de electrones de valencia ^[3] y no del conjunto completo de electrones disponibles en el sólido, y los centros de dispersión son las capas internas de electrones fuertemente unidos al núcleo. Los centros de dispersión tenían una carga positiva equivalente al número de valencia de los átomos ^{[Ashcroft y Mermin 1]} . Esta similitud, sumada a algunos errores de cálculo en el artículo de Drude, terminó proporcionando una teoría cualitativa razonable de los sólidos capaz de hacer buenas predicciones en ciertos casos y dar resultados completamente erróneos en otros. Siempre que la gente intentó dar más sustancia y detalles a la naturaleza de los centros de dispersión, a la mecánica de la dispersión y al significado de la longitud de la dispersión, todos estos intentos terminaron en fracasos ^{[Ashcroft y Mermin 2] .}

Las longitudes de dispersión calculadas en el modelo de Drude son del orden de 10 a 100 distancias interatómicas y, además, no es posible dar a estas distancias explicaciones microscópicas adecuadas.

La dispersión de Drude no es dispersión electrón-electrón, que es sólo un fenómeno secundario en la teoría moderna, ni dispersión nuclear, dado que los electrones pueden ser absorbidos por los núcleos como máximo. El modelo permanece un poco mudo en lo que respecta a los mecanismos microscópicos; en términos modernos, esto es lo que ahora se llama el "mecanismo de dispersión primaria", donde el fenómeno subyacente puede ser diferente en cada caso. ^{[Ashcroft y Mermin 3]}

El modelo proporciona mejores predicciones para los metales, especialmente en lo que respecta a la conductividad, ^{[Ashcroft & Mermin 4]} y a veces se lo denomina teoría de los metales de Drude. Esto se debe a que los metales tienen esencialmente una mejor aproximación al modelo de electrones libres , es decir, los metales no tienen estructuras de bandas complejas , los electrones se comportan esencialmente como partículas libres y donde, en el caso de los metales, el número efectivo de electrones deslocalizados es esencialmente el mismo que el número de valencia. ^{[Ashcroft & Mermin 5]}

Los dos resultados más significativos del modelo de Drude son una ecuación electrónica de movimiento y una relación lineal entre la densidad de corriente J y el campo eléctrico E , $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .}$$

Aquí t es el tiempo, ⟨ p ⟩ es el momento medio por electrón y q, n, m y τ son respectivamente la carga electrónica, la densidad numérica, la masa y el tiempo libre medio entre colisiones iónicas. La última expresión es particularmente importante porque explica en términos semicuantitativos por qué la ley de Ohm , una de las relaciones más ubicuas en todo el electromagnetismo, debería cumplirse. ^{[Ashcroft & Mermin 6] [4] [5]}

Los pasos hacia una teoría más moderna de los sólidos se dieron mediante los siguientes:

• El modelo sólido de Einstein y el modelo de Debye , que sugieren que el comportamiento cuántico de intercambio de energía en unidades integrales o cuantos era un componente esencial en la teoría completa, especialmente con respecto a los calores específicos , donde la teoría de Drude falló.
• En algunos casos, concretamente en el efecto Hall, la teoría hacía predicciones correctas si en lugar de utilizar una carga negativa para los electrones se utilizaba una positiva. Esto se interpreta ahora como huecos (es decir, cuasipartículas que se comportan como portadores de carga positiva), pero en la época de Drude no estaba muy claro por qué era así. ^{[Ashcroft y Mermin 7]}

Drude utilizó las estadísticas de Maxwell-Boltzmann para el gas de electrones y para derivar el modelo, que era el único disponible en ese momento. Al reemplazar las estadísticas con las estadísticas correctas de Fermi-Dirac , Sommerfeld mejoró significativamente las predicciones del modelo, aunque seguía teniendo una teoría semiclásica que no podía predecir todos los resultados de la teoría cuántica moderna de los sólidos. ^{[Ashcroft & Mermin 8]}

Historia

El físico alemán Paul Drude propuso su modelo en 1900, cuando no estaba claro si existían átomos ni qué átomos eran a escala microscópica. ^[6] En su artículo original, Drude cometió un error al estimar que el número de Lorenz de la ley de Wiedemann-Franz era el doble de lo que debería haber sido clásicamente, lo que lo hacía parecer acorde con el valor experimental del calor específico. Este número es aproximadamente 100 veces menor que la predicción clásica, pero este factor se anula con la velocidad electrónica media, que es aproximadamente 100 veces mayor que el cálculo de Drude. ^{[Ashcroft & Mermin 9]}

La primera prueba directa de los átomos a través del cálculo del número de Avogadro a partir de un modelo microscópico se debe a Albert Einstein , el primer modelo moderno de la estructura del átomo data de 1904 y el modelo de Rutherford de 1909. Drude parte del descubrimiento de los electrones en 1897 por JJ Thomson y supone como modelo simplista de sólidos que la mayor parte del sólido está compuesta de centros de dispersión cargados positivamente, y un mar de electrones sumerge esos centros de dispersión para hacer que el sólido total sea neutro desde una perspectiva de carga. ^{[Ashcroft & Mermin 10]} El modelo fue ampliado en 1905 por Hendrik Antoon Lorentz (y por tanto también se conoce como el modelo Drude-Lorentz ) ^[7] para dar la relación entre la conductividad térmica y la conductividad eléctrica de los metales (véase el número de Lorenz ), y es un modelo clásico . Posteriormente se complementó con los resultados de la teoría cuántica en 1933 por Arnold Sommerfeld y Hans Bethe , dando lugar al modelo de Drude-Sommerfeld .

En la actualidad, los modelos de Drude y Sommerfeld siguen siendo importantes para comprender el comportamiento cualitativo de los sólidos y obtener una primera comprensión cualitativa de una configuración experimental específica. ^{[Ashcroft & Mermin 11]} Este es un método genérico en física del estado sólido , donde es típico aumentar gradualmente la complejidad de los modelos para dar predicciones cada vez más precisas. Es menos común utilizar una teoría cuántica de campos completa a partir de los primeros principios, dadas las complejidades debido a la enorme cantidad de partículas e interacciones y el poco valor agregado de las matemáticas adicionales involucradas (considerando la ganancia incremental en precisión numérica de las predicciones). ^[8]

Suposiciones

Drude utilizó la teoría cinética de los gases aplicada al gas de electrones que se mueven sobre un fondo fijo de " iones "; esto contrasta con la forma habitual de aplicar la teoría de los gases como un gas neutro diluido sin fondo. Se supuso que la densidad numérica del gas de electrones era donde Z es el número efectivo de electrones deslocalizados por ion, para el cual Drude utilizó el número de valencia, A es la masa atómica por mol, ^{[Ashcroft & Mermin 10]} es la densidad de masa (masa por unidad de volumen) ^{[Ashcroft & Mermin 10]} de los "iones", y N _A es la constante de Avogadro . Considerando el volumen medio disponible por electrón como una esfera: La cantidad es un parámetro que describe la densidad electrónica y a menudo es del orden de 2 o 3 veces el radio de Bohr , para los metales alcalinos varía de 3 a 6 y algunos compuestos metálicos puede llegar hasta 10. Las densidades son del orden de 1000 veces de un gas clásico típico. ^{[Ashcroft y Mermin 12]} $${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},}$$ ${\displaystyle \rho _{\text{m}}}$ $${\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.}$$ ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

Los supuestos básicos del modelo Drude son los siguientes:

• Drude aplicó la teoría cinética de un gas diluido, a pesar de las altas densidades, ignorando así las interacciones electrón-electrón y electrón-ión, aparte de las colisiones. ^{[Ashcroft y Mermin 13]}
• El modelo de Drude considera que el metal está formado por un conjunto de iones con carga positiva de los que se desprenden una serie de "electrones libres". Se puede pensar que estos son los electrones de valencia de los átomos que se han deslocalizado debido al campo eléctrico de los demás átomos. ^{[Ashcroft & Mermin 12]}
• El modelo de Drude no tiene en cuenta la interacción de largo alcance entre el electrón y los iones o entre los electrones; esto se denomina aproximación de electrones independientes. ^{[Ashcroft y Mermin 12]}
• Los electrones se mueven en línea recta entre una colisión y otra; esto se llama aproximación de electrones libres. ^{[Ashcroft y Mermin 12]}
• La única interacción de un electrón libre con su entorno se consideraba la colisión con el núcleo de iones impenetrables. ^{[Ashcroft y Mermin 12]}
• El tiempo medio entre colisiones posteriores de un electrón de este tipo es τ , con una distribución de Poisson sin memoria . La naturaleza del compañero de colisión del electrón no importa para los cálculos y conclusiones del modelo de Drude. ^{[Ashcroft & Mermin 12]}
• Después de un evento de colisión, la distribución de la velocidad y la dirección de un electrón está determinada únicamente por la temperatura local y es independiente de la velocidad del electrón antes del evento de colisión. ^{[Ashcroft y Mermin 12]} Se considera que el electrón está inmediatamente en equilibrio con la temperatura local después de una colisión.

Al eliminar o mejorar cada uno de estos supuestos se obtienen modelos más refinados, que pueden describir con mayor precisión diferentes sólidos:

• Mejorar la hipótesis de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann con las estadísticas de Fermi-Dirac conduce al modelo de Drude-Sommerfeld .
• Mejorar la hipótesis de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann con las estadísticas de Bose-Einstein conduce a consideraciones sobre el calor específico de los átomos de espín entero ^[9] y al condensado de Bose-Einstein .
• Un electrón de banda de valencia en un semiconductor sigue siendo esencialmente un electrón libre en un rango de energía delimitado (es decir, solo una colisión de alta energía "rara" que implica un cambio de banda se comportaría de manera diferente); la aproximación del electrón independiente sigue siendo esencialmente válida (es decir, no hay dispersión electrón-electrón), mientras que en cambio se descarta la hipótesis sobre la localización de los eventos de dispersión (en términos sencillos, el electrón está y se dispersa por todas partes). ^[10]

Tratamiento matemático

Campo de corriente continua

El análisis más simple del modelo de Drude supone que el campo eléctrico E es uniforme y constante, y que la velocidad térmica de los electrones es suficientemente alta como para que acumulen sólo una cantidad infinitesimal de momento d p entre colisiones, que ocurren en promedio cada τ segundos. ^{[Ashcroft y Mermin 6]}

Entonces, un electrón aislado en el tiempo t habrá estado viajando en promedio durante el tiempo τ desde su última colisión y, en consecuencia, habrá acumulado momento. $${\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

Durante su última colisión, este electrón habría tenido la misma probabilidad de rebotar hacia adelante que hacia atrás, por lo que se pueden ignorar todas las contribuciones anteriores al momento del electrón, lo que da como resultado la expresión $${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

Sustituyendo las relaciones se obtiene la formulación de la ley de Ohm mencionada anteriormente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$$

Análisis variable en el tiempo

Respuesta de Drude de la densidad de corriente a un campo eléctrico de CA.

La dinámica también puede describirse introduciendo una fuerza de arrastre efectiva. En el instante t = t ₀ + dt el momento del electrón será: donde puede interpretarse como una fuerza genérica (por ejemplo, fuerza de Lorentz ) sobre el portador o, más específicamente, sobre el electrón. es el momento del portador con dirección aleatoria después de la colisión (es decir, con un momento ) y con energía cinética absoluta $${\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0}$ $${\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.}$$

En promedio, una fracción de los electrones no habrá experimentado otra colisión, la otra fracción que tuvo la colisión en promedio saldrá en una dirección aleatoria y contribuirá al momento total solo con un factor que es de segundo orden. ^{[Ashcroft & Mermin 14]} ${\displaystyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}$

Con un poco de álgebra y eliminando términos de orden , esto da como resultado la ecuación diferencial genérica. ${\displaystyle dt^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$

El segundo término es en realidad una fuerza de arrastre adicional o término de amortiguación debido a los efectos Drude.

Campo eléctrico constante

En el instante t = t ₀ + dt el momento promedio del electrón será y entonces donde ⟨ p ⟩ denota el momento promedio y q la carga de los electrones. Esta, que es una ecuación diferencial no homogénea, puede resolverse para obtener la solución general de para p ( t ) . La solución en estado estacionario , ⁠ $${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$ $${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }}$$d ⟨ p ⟩/es⁠ = 0 , es entonces $${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}$$

Como se mencionó anteriormente, el momento promedio puede estar relacionado con la velocidad promedio y esta a su vez puede estar relacionada con la densidad de corriente, y se puede demostrar que el material satisface la ley de Ohm con una conductividad de CC σ ₀ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }$ $${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}$$

Campo de CA

Conductividad compleja para diferentes frecuencias asumiendo que τ = 10 ⁻⁵ y que σ ₀ = 1 .

El modelo de Drude también puede predecir la corriente como respuesta a un campo eléctrico dependiente del tiempo con una frecuencia angular ω . La conductividad compleja es $${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}$$

Aquí se supone que: En ingeniería, i generalmente se reemplaza por −i (o −j ) en todas las ecuaciones, lo que refleja la diferencia de fase con respecto al origen, en lugar del retraso en el punto de observación que viaja en el tiempo. $${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

Demostración mediante la ecuación de movimiento ^{[Ashcroft & Mermin 15]}

Dado Y la ecuación de movimiento anterior sustituyendo Dado que define la conductividad compleja de: Tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$ $${\displaystyle -i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )}$$ $${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$$

La parte imaginaria indica que la corriente va por detrás del campo eléctrico. Esto sucede porque los electrones necesitan aproximadamente un tiempo τ para acelerar en respuesta a un cambio en el campo eléctrico. Aquí se aplica el modelo de Drude a los electrones; se puede aplicar tanto a electrones como a huecos; es decir, portadores de carga positiva en semiconductores. Las curvas para σ ( ω ) se muestran en el gráfico.

Si se aplica un campo eléctrico que varía de forma sinusoidal con la frecuencia al sólido, los electrones con carga negativa se comportan como un plasma que tiende a alejarse una distancia x del fondo con carga positiva. Como resultado, la muestra se polariza y habrá un exceso de carga en las superficies opuestas de la muestra. ${\displaystyle \omega }$

La constante dieléctrica de la muestra se expresa como donde es el desplazamiento eléctrico y es la densidad de polarización . $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$

La densidad de polarización se escribe como y la densidad de polarización con n densidad electrónica es Después de un poco de álgebra, la relación entre la densidad de polarización y el campo eléctrico se puede expresar como La función dieléctrica dependiente de la frecuencia del sólido es $${\displaystyle P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}}$$ $${\displaystyle P=-nex}$$ $${\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}$$ $${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}$$

Demostración mediante las ecuaciones de Maxwell ^{[Ashcroft & Mermin 16]}

Dadas las aproximaciones para lo incluido anteriormente ${\displaystyle \sigma (\omega )}$

• Supusimos que no había campo electromagnético: este siempre es menor por un factor v/c dado el término adicional de Lorentz en la ecuación de movimiento ${\displaystyle -{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B} }$
• Supusimos que el campo es uniforme en el espacio: esto es cierto si el campo no oscila considerablemente a lo largo de unos pocos caminos libres medios de electrones. Esto no suele ser así: el camino libre medio es del orden de angstroms, lo que corresponde a longitudes de onda típicas de los rayos X.

Las siguientes son las ecuaciones de Maxwell sin fuentes (que se tratan por separado en el ámbito de las oscilaciones del plasma ), en unidades gaussianas : Entonces o que es una ecuación de onda electromagnética para un medio homogéneo continuo con constante dieléctrica en la forma de Helmoltz donde el índice de refracción es y la velocidad de fase es por lo tanto la constante dieléctrica compleja es que en el caso se puede aproximar a: En unidades SI el en el numerador se reemplaza por en el denominador. $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)}$$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E} }$$ ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E} }$$ ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$ ${\displaystyle v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}}$ $${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)}$$ ${\displaystyle \omega \tau \gg 1}$ $${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.}$$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

A una frecuencia de resonancia , llamada frecuencia de plasma , la función dieléctrica cambia de signo de negativo a positivo y la parte real de la función dieléctrica cae a cero. La frecuencia de plasma representa una resonancia de oscilación de plasma o plasmón . La frecuencia de plasma se puede emplear como una medida directa de la raíz cuadrada de la densidad de electrones de valencia en un sólido. Los valores observados concuerdan razonablemente con esta predicción teórica para una gran cantidad de materiales. ^[11] Por debajo de la frecuencia de plasma, la función dieléctrica es negativa y el campo no puede penetrar la muestra. La luz con una frecuencia angular por debajo de la frecuencia de plasma se reflejará totalmente. Por encima de la frecuencia de plasma, las ondas de luz pueden penetrar la muestra; un ejemplo típico son los metales alcalinos que se vuelven transparentes en el rango de la radiación ultravioleta . ^{[Ashcroft & Mermin 17]} ${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$ $${\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}$$

Conductividad térmica de los metales

Un gran éxito del modelo de Drude es la explicación de la ley de Wiedemann-Franz . Esto se debió a una cancelación fortuita de errores en el cálculo original de Drude. Drude predijo el valor del número de Lorenz: Los valores experimentales suelen estar en el rango de para metales a temperaturas entre 0 y 100 grados Celsius. ^{[Ashcroft & Mermin 18]} $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$$ ${\displaystyle 2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

Derivación y errores de Drude ^{[Ashcroft & Mermin 16]}

Los sólidos pueden conducir el calor mediante el movimiento de electrones, átomos e iones. Los conductores tienen una gran densidad de electrones libres, mientras que los aislantes no; los iones pueden estar presentes en ambos. Dada la buena conductividad eléctrica y térmica de los metales y la mala conductividad eléctrica y térmica de los aislantes, un punto de partida natural para estimar la conductividad térmica es calcular la contribución de los electrones de conducción.

La densidad de corriente térmica es el flujo por unidad de tiempo de energía térmica a través de una unidad de área perpendicular al flujo. Es proporcional al gradiente de temperatura. donde es la conductividad térmica. En un cable unidimensional, la energía de los electrones depende de la temperatura local. Si imaginamos un gradiente de temperatura en el que la temperatura disminuye en la dirección x positiva, la velocidad promedio de los electrones es cero (pero no la rapidez promedio). Los electrones que llegan a la ubicación x desde el lado de mayor energía llegarán con energías , mientras que los del lado de menor energía llegarán con energías . Aquí, es la rapidez promedio de los electrones y es el tiempo promedio desde la última colisión. $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T}$$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \epsilon [T(x)]}$ ${\displaystyle \varepsilon [T(x-v\tau )]}$ ${\displaystyle \varepsilon [T(x+v\tau )]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \tau }$

El flujo neto de energía térmica en la ubicación x es la diferencia entre lo que pasa de izquierda a derecha y de derecha a izquierda: El factor de ⁠ $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}}$$1/2⁠ explica el hecho de que los electrones tienen la misma probabilidad de moverse en cualquier dirección. Solo la mitad contribuye al flujo en x .

Cuando el recorrido libre medio es pequeño, la cantidad se puede aproximar mediante una derivada con respecto a x. Esto da Como el electrón se mueve en las direcciones , , y , la velocidad cuadrática media en la dirección es . También tenemos , donde es la capacidad calorífica específica del material. ${\displaystyle \ell =v\tau }$ ${\displaystyle {\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau }$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$

Juntando todo esto, la densidad de corriente de energía térmica es Esto determina la conductividad térmica: (Esta derivación ignora la dependencia de la temperatura, y por lo tanto la dependencia de la posición, de la velocidad v. Esto no introducirá un error significativo a menos que la temperatura cambie rápidamente en una distancia comparable al recorrido libre medio). $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T}$$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}}$$

Dividir la conductividad térmica por la conductividad eléctrica elimina el tiempo de dispersión y da ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}}$$

En este punto del cálculo, Drude hizo dos suposiciones que ahora se sabe que son erróneas. Primero, utilizó el resultado clásico para la capacidad calorífica específica de los electrones de conducción: . Esto sobreestima la contribución electrónica a la capacidad calorífica específica por un factor de aproximadamente 100. Segundo, Drude utilizó la velocidad cuadrática media clásica para los electrones, . Esto subestima la energía de los electrones por un factor de aproximadamente 100. La cancelación de estos dos errores da como resultado una buena aproximación a la conductividad de los metales. Además de estas dos estimaciones, Drude también cometió un error estadístico y sobreestimó el tiempo medio entre colisiones por un factor de 2. Esta confluencia de errores dio un valor para el número de Lorenz que era notablemente cercano a los valores experimentales. ${\displaystyle c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$

El valor correcto del número de Lorenz estimado a partir del modelo de Drude es ^{[Ashcroft & Mermin 19]} $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.}$$

Termoelectricidad

Un gradiente de temperatura genérico, cuando se enciende en una barra delgada, desencadenará una corriente de electrones hacia el lado de temperatura más baja; dado que los experimentos se realizan en circuito abierto, esta corriente se acumulará en ese lado generando un campo eléctrico que contrarresta la corriente eléctrica. Este campo se llama campo termoeléctrico y Q se llama termopotencia. Las estimaciones de Drude son un factor de 100 bajas dada la dependencia directa con el calor específico, donde las termopotencias típicas a temperatura ambiente son 100 veces más pequeñas del orden de microvoltios. ^{[Ashcroft y Mermin 20]} $${\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T}$$ $${\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$$

Prueba junto con los errores de Drude ^{[Ashcroft & Mermin 21]}

Del modelo unidimensional simple Expandiendo a 3 grados de libertad La velocidad media debida al campo eléctrico (dada la ecuación de movimiento anterior en equilibrio) Para tener una corriente total nula tenemos Y como es habitual en el caso de Drude donde las termopotencias típicas a temperatura ambiente son 100 veces más pequeñas del orden de microvoltios. ^{[Ashcroft y Mermin 20]} $${\displaystyle v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)}$$ ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$ $${\displaystyle \mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)}$$ $${\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0}$ $${\displaystyle Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}}$$ ${\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$ $${\displaystyle Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$$

Precisión del modelo

El modelo de Drude proporciona una muy buena explicación de la conductividad de corriente continua y alterna en metales, el efecto Hall y la magnetorresistencia ^{[Ashcroft & Mermin 14]} en metales cerca de la temperatura ambiente. El modelo también explica parcialmente la ley de Wiedemann-Franz de 1853.

La fórmula de Drude se deriva de una manera limitada, es decir, suponiendo que los portadores de carga forman un gas ideal clásico . Cuando se considera la teoría cuántica, el modelo de Drude se puede extender al modelo de electrones libres , donde los portadores siguen la distribución de Fermi-Dirac . La conductividad predicha es la misma que en el modelo de Drude porque no depende de la forma de la distribución de velocidad electrónica. Sin embargo, el modelo de Drude sobreestima en gran medida la capacidad térmica electrónica de los metales. En realidad, los metales y los aislantes tienen aproximadamente la misma capacidad térmica a temperatura ambiente. Además, el modelo de Drude no explica la tendencia dispersa de la conductividad eléctrica en función de la frecuencia por encima de aproximadamente 2 THz. ^{[12] [13]}

El modelo también se puede aplicar a portadores de carga positivos (hueco).

Respuesta de Drude en materiales reales

El comportamiento característico de un metal de Drude en el dominio del tiempo o la frecuencia, es decir, la relajación exponencial con la constante de tiempo τ o la dependencia de la frecuencia para σ ( ω ) indicada anteriormente, se denomina respuesta de Drude. En un metal real, simple y convencional (por ejemplo, sodio, plata u oro a temperatura ambiente), dicho comportamiento no se encuentra experimentalmente, porque la frecuencia característica τ ⁻¹ está en el rango de frecuencia infrarroja, donde otras características que no se consideran en el modelo de Drude (como la estructura de bandas ) juegan un papel importante. ^[12] Pero para ciertos otros materiales con propiedades metálicas, se encontró una conductividad dependiente de la frecuencia que sigue de cerca la predicción simple de Drude para σ ( ω ) . Estos son materiales donde la tasa de relajación τ ⁻¹ está a frecuencias mucho más bajas. ^[12] Este es el caso de ciertos monocristales semiconductores dopados , ^[14] gases electrónicos bidimensionales de alta movilidad , ^[15] y metales con fermiones pesados ​​. ^[16]

Véase también

• Modelo de electrón libre
• Arnold Sommerfeld
• Conductividad eléctrica

Referencias

Citas

1. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 3, nota de página 4 y figura 1.1
2. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 3, nota de página 7 y figura 1.2
3. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 3, nota de página 6
4. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 8, tabla 1.2
5. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 5, tabla 1.1
6. Ashcroft y Mermin, 1976, págs. 6-7
7. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 15, tabla 1.4
8. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 4
9. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 23
10. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 2-3
11. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 2
12. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 2-6
13. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 4
14. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 11
15. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 16
16. Ashcroft y Mermin, 1976, págs. 17
17. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 18, tabla 1.5
18. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 18, tabla 1.6
19. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 25, prob. 1
20. Ashcroft y Mermin, 1976, págs. 25
21. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 24

Referencias

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General

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• Kittel, Charles (2005). Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.). John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-41526-X.
• Ziman, JM (1972). Principios de la teoría de los sólidos (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29733-8.

Enlaces externos

• Heaney, Michael B (2003). "Conductividad eléctrica y resistividad". En Webster, John G. (ed.). Medición eléctrica, procesamiento de señales y pantallas . CRC Press. ISBN 9780203009406.