Conjetura de simetría especular

En matemáticas, la simetría especular es una relación conjetural entre ciertas variedades de Calabi-Yau y una "variedad especular" construida. La conjetura permite relacionar el número de curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau (codificadas como invariantes de Gromov-Witten ) con integrales de una familia de variedades (codificadas como integrales de período en una variación de las estructuras de Hodge ). En resumen, esto significa que hay una relación entre el número de curvas algebraicas de género de grado en una variedad de Calabi-Yau y las integrales en una variedad dual . Estas relaciones fueron descubiertas originalmente por Candelas , de la Ossa , Green y Parkes ^{[1] en un artículo que estudiaba una} tripleta quintica genérica en como la variedad y una construcción ^[2] de la familia Dwork quintica que da . Poco después, Sheldon Katz escribió un artículo de resumen ^[3] que describe parte de su construcción y conjetura cuál podría ser la interpretación matemática rigurosa. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\check {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\psi }}$ ${\displaystyle {\check {X}}={\tilde {X}}_{\psi }}$

Construcción del espejo de una terna quintica

Originalmente, la construcción de variedades especulares se descubrió mediante un procedimiento ad hoc. Esencialmente, a una triple quintica genérica debería estar asociada una familia de variedades de Calabi-Yau de un parámetro que tiene múltiples singularidades. Después de hacer estallar estas singularidades , se resuelven y se construye una nueva variedad de Calabi-Yau. que tenía un diamante de Hodge invertido. En particular, hay isomorfismos pero, lo que es más importante, hay un isomorfismo donde la teoría de cuerdas (el modelo A de ) para estados en se intercambia con la teoría de cuerdas (el modelo B de ) que tiene estados en . La teoría de cuerdas en el modelo A solo dependía de la estructura simpléctica o de Kahler en mientras que el modelo B solo depende de la estructura compleja en . Aquí describimos la construcción original de variedades especulares y consideramos el trasfondo y la conjetura de la teoría de cuerdas con las variedades especulares en una sección posterior de este artículo. ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{4}}$ ${\displaystyle X_{\psi }}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$ $${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p})}$$ $${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})\cong H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$ ${\displaystyle H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$

Módulos complejos

Recordemos que una terna quintica genérica ^{[2] [4]} en se define por un polinomio homogéneo de grado . Este polinomio se describe de forma equivalente como una sección global del fibrado de líneas . ^{[1] [5]} Nótese que el espacio vectorial de las secciones globales tiene dimensión pero hay dos equivalencias de estos polinomios. Primero, polinomios bajo escalamiento por el toro algebraico ^[6] (escaladores no nulos del cuerpo base) dados espacios equivalentes. Segundo, la equivalencia proyectiva está dada por el grupo de automorfismos de , que es dimensional. Esto da un espacio de parámetros dimensional ya que , que puede construirse utilizando la teoría de invariantes geométricos . El conjunto corresponde a las clases de equivalencia de polinomios que definen ternas quinticas de Calabi-Yau suaves en , dando un espacio de módulos de quinticas de Calabi-Yau. ^[7] Ahora, usando la dualidad de Serre y el hecho de que cada variedad de Calabi-Yau tiene fibrado canónico trivial , el espacio de deformaciones tiene un isomorfismo con la parte de la estructura de Hodge en . Usando el teorema del hiperplano de Lefschetz el único grupo de cohomología no trivial es ya que los otros son isomorfos a . Usando la característica de Euler y la clase de Euler , que es la clase superior de Chern , la dimensión de este grupo es . Esto es porque Usando la estructura de Hodge podemos encontrar las dimensiones de cada uno de los componentes. Primero, porque es Calabi-Yau, por lo que dando los números de Hodge , dando por lo tanto la dimensión del espacio de módulos de las variedades de Calabi-Yau. Debido al teorema de Bogomolev-Tian-Todorov, todas esas deformaciones no tienen obstrucciones, por lo que el espacio suave es de hecho el espacio de módulos de las ternas quínticas. El objetivo de esta construcción es mostrar cómo los parámetros complejos en este espacio de módulos se convierten en parámetros de Kähler de la variedad espejo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}$ $${\displaystyle \dim {\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126}$$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(5)}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 101}$ $${\displaystyle U_{\text{smooth}}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)}$$ ${\displaystyle 126-24-1=101}$ ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ $${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle H^{3}(X)}$ ${\displaystyle H^{3}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{4})}$ ${\displaystyle 204}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ $${\displaystyle H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$ ${\displaystyle h^{0,3}=h^{3,0}=1}$ $${\displaystyle \dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101}$$ ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$

Colector de espejo

Hay una familia distinguida de variedades de Calabi-Yau llamada la familia Dwork . Es la familia proyectiva sobre el plano complejo . Ahora, note que solo hay una única dimensión de deformaciones complejas de esta familia, proveniente de tener valores variables. Esto es importante porque el diamante de Hodge de la variedad especular tiene La familia tiene un grupo de simetría que actúa por Observe que la proyectividad de es la razón de la condición La variedad de cociente asociada tiene una resolución crepante dada ^{[2] [5]} al hacer estallar las singularidades dando una nueva variedad de Calabi-Yau con parámetros en . Esta es la variedad especular y tiene donde cada número de Hodge es . ${\displaystyle X_{\psi }}$ $${\displaystyle X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)}$$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\check {X}}}$ $${\displaystyle \dim H^{2,1}({\check {X}})=1.}$$ ${\displaystyle X_{\psi }}$ $${\displaystyle G=\left\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\right\}}$$ $${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]}$$ ${\displaystyle X_{\psi }}$ $${\displaystyle \sum _{i}a_{i}=0.}$$ ${\displaystyle X_{\psi }/G}$ ${\displaystyle 100}$ $${\displaystyle {\check {X}}\to X_{\psi }/G}$$ ${\displaystyle {\check {X}}}$ ${\displaystyle 101}$ ${\displaystyle H^{1,1}({\check {X}})}$ ${\displaystyle H^{3}({\check {X}})=4}$ ${\displaystyle 1}$

Ideas de la teoría de cuerdas

En la teoría de cuerdas existe una clase de modelos llamados modelos sigma no lineales que estudian familias de aplicaciones donde es una curva algebraica de género y es Calabi-Yau . Estas curvas se llaman hojas del mundo y representan el nacimiento y la muerte de una partícula como una cuerda cerrada. Dado que una cuerda podría dividirse con el tiempo en dos cuerdas, o más, y eventualmente estas cuerdas se unirán y colapsarán al final de la vida de la partícula, una curva algebraica representa matemáticamente esta vida de la cuerda. Para simplificar, originalmente solo se consideraron las curvas de género 0, y muchos de los resultados popularizados en matemáticas se centraron solo en este caso. ${\displaystyle \phi :\Sigma \to X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Además, en la terminología de la física, estas teorías son teorías de cuerdas heteróticas porque tienen supersimetrías que se presentan en pares, por lo que en realidad hay cuatro supersimetrías. Esto es importante porque implica que hay un par de operadores que actúan en el espacio de Hilbert de estados, pero solo definidos hasta un signo. Esta ambigüedad es lo que originalmente sugirió a los físicos que debería existir un par de variedades de Calabi-Yau que tienen teorías de cuerdas duales, unas que intercambian esta ambigüedad entre sí. ${\displaystyle (2,2)}$ ${\displaystyle N=2}$ $${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$$

El espacio tiene una estructura compleja, que es una estructura casi compleja integrable , y debido a que es una variedad de Kähler necesariamente tiene una estructura simpléctica llamada forma de Kähler que se puede complejizar a una forma de Kähler complejizada que es una forma cerrada, por lo tanto, su clase de cohomología está en La idea principal detrás de las conjeturas de simetría especular es estudiar las deformaciones , o módulos , de la estructura compleja y la estructura simpléctica complejizada de una manera que haga que estas dos sean duales entre sí. En particular, desde una perspectiva de física, ^{[8] : 1–2} la teoría de campos superconforme de una variedad de Calabi-Yau debería ser equivalente a la teoría de campos superconforme dual de la variedad especular . Aquí, conforme significa equivalencia conforme , que es lo mismo que una clase de equivalencia de estructuras complejas en la curva . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J\in {\text{End}}(TX)}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }=B+i\omega }$$ ${\displaystyle (1,1)}$ $${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Existen dos variantes de los modelos sigma no lineales denominados modelo A y modelo B, que consideran los pares y sus módulos. ^{[9] : cap 38 pg 729} ${\displaystyle (X,\omega ^{\mathbb {C} })}$ ${\displaystyle (X,J)}$

Modelo A

Funciones de correlación de la teoría de cuerdas

Dada una variedad de Calabi-Yau con una clase de Kähler compleja, el modelo sigma no lineal de la teoría de cuerdas debería contener las tres generaciones de partículas, más las fuerzas electromagnética , débil y fuerte . ^{[10] : 27} Para entender cómo interactúan estas fuerzas, se introduce una función de tres puntos llamada acoplamiento de Yukawa , que actúa como función de correlación para los estados en . Nótese que este espacio es el espacio propio de un operador en el espacio de Hilbert de estados para la teoría de cuerdas. ^{[8] : 3–5} Esta función de tres puntos se "calcula" como utilizando técnicas de integral de trayectorias de Feynman donde son el número ingenuo de curvas racionales con clase de homología , y . La definición de estos números de instantón es el tema de la teoría de Gromov-Witten . Nótese que en la definición de esta función de correlación, solo depende de la clase de Kahler. Esto inspiró a algunos matemáticos a estudiar espacios de módulos hipotéticos de estructuras de Kahler en una variedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\rangle =&\int _{X}\omega _{1}\wedge \omega _{2}\wedge \omega _{3}+\sum _{\beta \neq 0}n_{\beta }\int _{\beta }\omega _{1}\int _{\beta }\omega _{2}\int _{\beta }\omega _{2}{\frac {e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}{1-e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta \in H_{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \omega _{i}\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle n_{\beta }}$

Interpretación matemática de las funciones de correlación del modelo A

En el modelo A, los espacios de módulos correspondientes son los módulos de curvas pseudoholomorfas ^{[11] : 153} o los espacios de módulos de Kontsevich ^[12]. Estos espacios de módulos pueden estar equipados con una clase fundamental virtual o que se representa como el lugar geométrico de desaparición de una sección de un haz llamado haz de obstrucción sobre el espacio de módulos. Esta sección proviene de la ecuación diferencial que puede verse como una perturbación del mapa . También puede verse como el dual de Poincaré de la clase de Euler de si es un fibrado vectorial . $${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )=\{(u:\Sigma \to X,j,z_{1},\ldots ,z_{k}):u_{*}[\Sigma ]=\beta ,{\overline {\partial }}_{J}u=0\}}$$ $${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )=\{u:\Sigma \to X:u{\text{ is stable and }}u_{*}([\Sigma ])=\beta \}}$$ $${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )]^{virt}}$$ $${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )]^{virt}}$$ ${\displaystyle \pi _{Coker}(v)}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$ $${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}(u)=v}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$

Con la construcción original, el modelo A considerado estaba en una triple quintica genérica en . ^[9] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

Modelo B

Funciones de correlación de la teoría de cuerdas

Para la misma variedad de Calabi-Yau en la subsección del modelo A, existe una teoría de campo superconforme dual que tiene estados en el espacio propio del operador . Su función de correlación de tres puntos se define como donde es una 3-forma holomorfa en y para una deformación infinitesimal (ya que es el espacio tangente del espacio de módulos de las variedades de Calabi-Yau que contienen , por la función Kodaira-Spencer y el teorema de Bogomolev-Tian-Todorov) existe la conexión de Gauss-Manin que lleva una clase a una clase, por lo tanto, se puede integrar en . Nótese que esta función de correlación solo depende de la estructura compleja de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$ ${\displaystyle {\overline {Q}}}$ $${\displaystyle \langle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\rangle =\int _{X}\Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )}$$ ${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{\theta }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p+1,q-1)}$ $${\displaystyle \Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )\in H^{3}(X,\Omega _{X}^{3})}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Otra formulación de la conexión Gauss-Manin

La acción de las clases de cohomología en el también puede entenderse como una variante cohomológica del producto interior . Localmente, la clase corresponde a un cociclo de Cech para una cubierta suficientemente buena que da una sección . Entonces, el producto de inserción da un elemento que se puede pegar de nuevo en un elemento de . Esto se debe a que en las superposiciones que dan por lo tanto define un 1-cociclo. Repitiendo este proceso se obtiene un 3-cociclo que es igual a . Esto se debe a que localmente la conexión de Gauss-Manin actúa como el producto interior. ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X,T_{X})}$ ${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [\theta _{i}]_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \theta _{i}\in T_{X}(U_{i})}$ $${\displaystyle \iota _{\theta _{i}}(\Omega |_{U_{i}})\in H^{0}(U_{i},\Omega _{X}^{2}|_{U_{i}})}$$ ${\displaystyle \iota _{\theta }(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{2})}$ $${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=U_{ij},}$$ $${\displaystyle \theta _{i}|_{ij}=\theta _{j}|_{ij}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\iota _{\theta _{i}}\Omega |_{U_{i}})|_{U_{ij}}&=\iota _{\theta _{i}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=\iota _{\theta _{j}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=(\iota _{\theta _{j}}\Omega |_{U_{j}})|_{U_{ij}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \iota _{\theta _{1}}\iota _{\theta _{2}}\iota _{\theta _{3}}\Omega \in H^{3}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega }$

Interpretación matemática de las funciones de correlación del modelo B

Matemáticamente, el modelo B es una variación de las estructuras de Hodge que originalmente fue dada por la construcción de la familia Dwork.

Conjetura del espejo

Relacionar estos dos modelos de teoría de cuerdas resolviendo la ambigüedad del signo de los operadores llevó a los físicos a la siguiente conjetura: ^{[8] : 22} para una variedad de Calabi-Yau debería existir una variedad de Calabi-Yau especular tal que exista un isomorfismo especular que dé la compatibilidad del modelo A y el modelo B asociados. Esto significa que, dados y tales que bajo el mapa especular, existe la igualdad de funciones de correlación. Esto es significativo porque relaciona el número de curvas de género de grado en una triple quintica en (so ) con integrales en una variación de las estructuras de Hodge. ¡Además, estas integrales son realmente computables! ${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$ $${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$$ ${\displaystyle H\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$ ${\displaystyle H\mapsto \theta }$ $${\displaystyle \langle H,H,H\rangle =\langle \theta ,\theta ,\theta \rangle }$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{1,1}\cong \mathbb {Z} }$

Véase también

• Complejo cotangente
• Álgebra asociativa de homotopía
• Estructura de Kuranishi
• Simetría especular (teoría de cuerdas)
• Módulos de curvas algebraicas
• Espacio de módulos de Kontsevich

Enlaces externos

• https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

Referencias

1. Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (29 de julio de 1991). "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconforme exactamente soluble". Física nuclear B . 359 (1): 21–74. Código Bibliográfico :1991NuPhB.359...21C. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN  0550-3213.
2. Auroux, Dennis. "La teoría quíntica triple y su espejo" (PDF) .
3. Katz, Sheldon (29 de diciembre de 1993). "Curvas racionales en tripletes de Calabi-Yau". arXiv : alg-geom/9312009 .
4. por ejemplo, como conjunto, una variedad de Calabi-Yau es el subconjunto del espacio proyectivo complejo ${\displaystyle \{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}}$
5. Morrison, David R. (1993). "Simetría especular y curvas racionales en ternas quínticas: una guía para matemáticos". J. Amer. Math. Soc . 6 : 223–247. arXiv : alg-geom/9202004 . doi :10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2. S2CID  9228037.
6. Lo cual puede considerarse como la acción - de construir el espacio proyectivo complejo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$
7. De manera más general, dichos espacios de módulos se construyen utilizando la equivalencia proyectiva de esquemas en un espacio proyectivo fijo en un esquema de Hilbert fijo.
8. Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999). Simetría especular y geometría algebraica . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2127-5.OCLC 903477225  .
9. Pandharipande, Rahul; Hori, Kentaro (2003). Simetría de espejo . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-2955-6.OCLC 52374327  .
10. Hamilton, MJD (24 de julio de 2020). "El bosón de Higgs para matemáticos. Notas de clase sobre teoría de calibre y ruptura de simetría". arXiv : 1512.02632 [math.DG].
11. McDuff, Dusa (2012). Curvas J-holomórficas y topología simpléctica . Salamon, D. (Dietmar) (2.ª ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2.OCLC 794640223  .
12. Kontsevich, M.; Manin, Yu (1994). "Clases de Gromov-Witten, cohomología cuántica y geometría enumerativa". Communications in Mathematical Physics . 164 (3): 525–562. arXiv : hep-th/9402147 . Código Bibliográfico :1994CMaPh.164..525K. doi :10.1007/BF02101490. ISSN  0010-3616. S2CID  18626455.

Libros/Notas

• Simetría especular - Libro electrónico del Instituto de Matemáticas Clay
• Simetría especular y geometría algebraica - Cox, Katz
• Sobre el trabajo de Givental relativo a la simetría especular

Primeras pruebas

• Invariantes de Gromov e Invariantes de Witten: prueba original de Givental para intersecciones proyectivas completas
• La fórmula del espejo para las ternas quínticas
• Curvas racionales sobre hipersuperficies (según A. Givental): explicación de la demostración de Givental
• Principio del espejo I - Demostración de Lian, Liu y Yau que cierra lagunas en la demostración de Givental. Su demostración requería la teoría no desarrollada de la homología de Floer
• Poliedros duales y simetría especular para hipersuperficies de Calabi-Yau en variedades tóricas: primera construcción general de variedades especulares para Calabi-Yau en variedades tóricas
• Simetría especular para variedades abelianas

Geometría derivada en simetría especular

• Notas sobre teorías de campos supersimétricos y holomorfos en dimensiones 2 y 4

Investigación

• Simetría especular: de las categorías a los recuentos de curvas: relación entre la simetría especular homológica y la simetría especular clásica
• Simetría especular intrínseca e invariantes perforados de Gromov-Witten

Simetría especular homológica

• Simetría especular categórica: la curva elíptica
• Introducción a la simetría especular homológica y el caso de las curvas elípticas
• Simetría especular homológica para la curva del género dos
• Simetría especular homológica para la quintica triple
• Simetría especular homológica para hipersuperficies de Calabi-Yau en el espacio proyectivo
• Especulaciones sobre la simetría especular homológica para hipersuperficies en ( C ∗ ) n {\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}