Dimensión de Minkowski-Bouligand

Método para determinar la dimensión fractal

Estimación de la dimensión de conteo de cajas de la costa de Gran Bretaña

En geometría fractal , la dimensión de Minkowski-Bouligand , también conocida como dimensión de Minkowski o dimensión de conteo de cajas , es una forma de determinar la dimensión fractal de un conjunto en un espacio euclidiano o, de manera más general, en un espacio métrico . Recibe su nombre en honor al matemático polaco Hermann Minkowski y al matemático francés Georges Bouligand . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Para calcular esta dimensión de un fractal , imaginemos que este fractal se encuentra sobre una cuadrícula con un espaciado uniforme y cuentemos cuántas casillas se requieren para cubrir el conjunto. La dimensión de conteo de casillas se calcula observando cómo cambia este número a medida que hacemos que la cuadrícula sea más fina aplicando un algoritmo de conteo de casillas . ${\displaystyle S}$

Supongamos que es el número de cajas de lado necesario para cubrir el conjunto. Entonces, la dimensión de conteo de cajas se define como ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.}$

En términos generales, esto significa que la dimensión es el exponente tal que , que es lo que se esperaría en el caso trivial donde es un espacio suave (una variedad ) de dimensión entera . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

Si el límite anterior no existe, se puede tomar el límite superior y el límite inferior , que definen respectivamente la dimensión de la caja superior y la dimensión de la caja inferior . La dimensión de la caja superior a veces se denomina dimensión de entropía , dimensión de Kolmogorov , capacidad de Kolmogorov , capacidad límite o dimensión de Minkowski superior , mientras que la dimensión de la caja inferior también se denomina dimensión de Minkowski inferior .

Las dimensiones de la caja superior e inferior están estrechamente relacionadas con la más popular dimensión de Hausdorff . Solo en aplicaciones muy especiales es importante distinguir entre las tres (ver a continuación). Otra medida de la dimensión fractal es la dimensión de correlación .

Definiciones alternativas

Ejemplos de empaquetadura de bolas, recubrimiento de bolas y recubrimiento de cajas

Es posible definir las dimensiones de la caja usando bolas, ya sea con el número de recubrimiento o con el número de empaquetamiento. El número de recubrimiento es el número mínimo de bolas abiertas de radio requeridas para cubrir el fractal, o en otras palabras, de modo que su unión contenga al fractal. También podemos considerar el número de recubrimiento intrínseco , que se define de la misma manera pero con el requisito adicional de que los centros de las bolas abiertas se encuentren en el conjunto S . El número de empaquetamiento es el número máximo de bolas abiertas disjuntas de radio que se pueden ubicar de modo que sus centros estén en el fractal. Si bien , , y no son exactamente idénticos, están estrechamente relacionados entre sí y dan lugar a definiciones idénticas de las dimensiones de la caja superior e inferior. Esto es fácil de demostrar una vez que se prueban las siguientes desigualdades: ${\displaystyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{\text{covering}}}$ ${\displaystyle N'_{\text{covering}}}$ ${\displaystyle N_{\text{packing}}}$

${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).}$

Estos, a su vez, se derivan por definición o con poco esfuerzo de la desigualdad triangular .

La ventaja de utilizar bolas en lugar de cuadrados es que esta definición se generaliza a cualquier espacio métrico . En otras palabras, la definición de caja es extrínseca  : se supone que el espacio fractal S está contenido en un espacio euclidiano y se definen las cajas de acuerdo con la geometría externa del espacio que lo contiene. Sin embargo, la dimensión de S debería ser intrínseca , independiente del entorno en el que se coloca S , y la definición de bola se puede formular intrínsecamente. Se define una bola interna como todos los puntos de S dentro de una cierta distancia de un centro elegido, y se cuentan dichas bolas para obtener la dimensión. (Más precisamente, la definición _{de cobertura} N es extrínseca, pero las otras dos son intrínsecas).

La ventaja de utilizar cajas es que en muchos casos N ( ε ) se puede calcular fácilmente en forma explícita, y que para las cajas los números de cobertura y empaque (definidos de manera equivalente) son iguales.

Los logaritmos de los números de empaquetamiento y de cobertura a veces se denominan números de entropía y son algo análogos a los conceptos de entropía termodinámica y entropía de teoría de la información , en el sentido de que miden la cantidad de "desorden" en el espacio métrico o fractal en la escala ε y también miden cuántos bits o dígitos se necesitarían para especificar un punto del espacio con precisión ε .

Otra definición equivalente (extrínseca) para la dimensión de conteo de cajas viene dada por la fórmula

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$

donde para cada r  > 0, el conjunto se define como el r -vecindario de S , es decir, el conjunto de todos los puntos en que están a una distancia menor que r de S (o equivalentemente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen un centro que es miembro de  S ). ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle S_{r}}$

Propiedades

La dimensión del cuadro superior es finitamente estable, es decir, si { A ₁ , ..., A _n } es una colección finita de conjuntos, entonces

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.}$

Sin embargo, no es numerablemente estable, es decir, esta igualdad no se cumple para una secuencia infinita de conjuntos. Por ejemplo, la dimensión de caja de un único punto es 0, pero la dimensión de caja de la colección de números racionales en el intervalo [0, 1] tiene dimensión 1. La dimensión de Hausdorff , en comparación, es numerablemente estable. La dimensión de caja inferior, por otro lado, ni siquiera es finitamente estable.

Una propiedad interesante de la dimensión de la caja superior que no comparte ni con la dimensión de la caja inferior ni con la dimensión de Hausdorff es la conexión con la suma de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos en un espacio euclidiano, entonces A + B se forma tomando todos los pares de puntos a ,  b donde a es de A y b es de B y sumando a  +  b . Se tiene

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$

Relación con la dimensión de Hausdorff

La dimensión de conteo de cajas es una de las muchas definiciones de dimensión que se pueden aplicar a los fractales. Para muchos fractales que se comportan bien, todas estas dimensiones son iguales; en particular, estas dimensiones coinciden siempre que el fractal satisface la condición de conjunto abierto (OSC). ^[1] Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff , la dimensión de caja inferior y la dimensión de caja superior del conjunto de Cantor son todas iguales a log(2)/log(3). Sin embargo, las definiciones no son equivalentes.

Las dimensiones de la caja y la dimensión de Hausdorff están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.}$

En general, ambas desigualdades pueden ser estrictas . La dimensión del cuadro superior puede ser mayor que la dimensión del cuadro inferior si el fractal tiene un comportamiento diferente en diferentes escalas. Por ejemplo, examine el conjunto de números en el intervalo [0, 1] que satisface la condición

para cualquier n , todos los dígitos entre el 2 ^{2 n} -ésimo dígito y el (2 ^{2 n +1}  − 1)-ésimo dígito son cero.

Los dígitos en los "intervalos de lugar impares", es decir, entre los dígitos 2 ^{2 n +1} y 2 ^{2 n +2}  − 1 no están restringidos y pueden tomar cualquier valor. Este fractal tiene una dimensión de caja superior de 2/3 y una dimensión de caja inferior de 1/3, un hecho que se puede verificar fácilmente calculando N ( ε ) para y notando que sus valores se comportan de manera diferente para n pares e impares. ${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$

Otro ejemplo: el conjunto de números racionales , un conjunto contable con , tiene porque su clausura, , tiene dimensión 1. De hecho, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}=0}$ ${\displaystyle \dim _{\text{box}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$

Estos ejemplos muestran que agregar un conjunto contable puede cambiar la dimensión de la caja, lo que demuestra un tipo de inestabilidad de esta dimensión.

Véase también

• Dimensión de correlación
• Dimensiones del embalaje
• exponente de incertidumbre
• Conjetura de Weyl-Berry
• Lacunaridad

Referencias

1. Wagon, Stan (2010). Mathematica en acción: resolución de problemas mediante visualización y computación . Springer-Verlag . pág. 214. ISBN. 0-387-75477-6.

• Falconer, Kenneth (1990). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones . Chichester: John Wiley. pp. 38–47. ISBN 0-471-92287-0.Zbl 0689.28003  .
• Weisstein, Eric W. "Dimensión Minkowski-Bouligand". MundoMatemático .

Enlaces externos

• FrakOut!: una aplicación OSS para calcular la dimensión fractal de una forma utilizando el método de conteo de cajas (no coloca las cajas automáticamente por usted).
• FracLac: guía de usuario en línea y complemento de software para conteo de cajas ImageJ y FracLac; software gratuito, de código abierto y fácil de usar para análisis de imágenes digitales en biología