Media circular

Método para calcular valores promedio

En matemáticas y estadística , una media circular o media angular es una media diseñada para ángulos y cantidades cíclicas similares, como las horas del día y las partes fraccionarias de números reales .

Esto es necesario porque la mayoría de las medias habituales pueden no ser adecuadas para cantidades de tipo angular. Por ejemplo, la media aritmética de 0° y 360° es 180°, lo que es engañoso porque 360° equivale a 0° módulo un ciclo completo. ^[1] Como otro ejemplo, la "hora promedio" entre las 11 p. m. y la 1 a. m. es medianoche o mediodía, dependiendo de si las dos horas son parte de una sola noche o parte de un solo día calendario.

La media circular es uno de los ejemplos más simples de estadística direccional y de estadística de espacios no euclidianos . Este cálculo produce un resultado diferente al de la media aritmética, siendo la diferencia mayor cuando los ángulos están ampliamente distribuidos. Por ejemplo, la media aritmética de los tres ángulos 0°, 0° y 90° es (0° + 0° + 90°) / 3 = 30°, pero la media vectorial es arctan(1/2) = 26,565°. Además, con la media aritmética la varianza circular solo está definida ±180°.

Definición

Dado que la media aritmética no siempre es apropiada para los ángulos, se puede utilizar el siguiente método para obtener un valor medio y una medida de la varianza de los ángulos:

Convierte todos los ángulos en puntos correspondientes en el círculo unitario , por ejemplo, en . Es decir, convierte las coordenadas polares en coordenadas cartesianas . Luego, calcula la media aritmética de estos puntos. El punto resultante estará dentro del disco unitario , pero generalmente no en el círculo unitario. Convierte ese punto nuevamente en coordenadas polares. El ángulo es una media razonable de los ángulos de entrada. El radio resultante será 1 si todos los ángulos son iguales. Si los ángulos están distribuidos uniformemente en el círculo, entonces el radio resultante será 0 y no hay media circular. (De hecho, es imposible definir una operación de media continua en el círculo). En otras palabras, el radio mide la concentración de los ángulos. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

Dados los ángulos, una fórmula común de la media que utiliza la variante atan2 de la función arcotangente es ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}$

Utilizando aritmética compleja

Se puede formular una definición equivalente utilizando números complejos :

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}$.

Para que coincida con la derivación anterior utilizando medias aritméticas de puntos, las sumas se tendrían que dividir por . Sin embargo, la escala no importa para y , por lo que se puede omitir. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$ ${\displaystyle \arg }$

Esto se puede expresar de forma más sucinta si nos damos cuenta de que los datos direccionales son, de hecho, vectores de longitud unitaria. En el caso de datos unidimensionales, estos puntos de datos se pueden representar de forma conveniente como números complejos de magnitud unitaria , donde es el ángulo medido. El vector resultante medio para la muestra es entonces: ${\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

El ángulo medio muestral es entonces el argumento de la resultante media:

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}$

La longitud del vector resultante de la media muestral es:

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}$

y tendrá un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, el vector resultante de la media muestral se puede representar como:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}$

También se utilizan cálculos similares para definir la varianza circular .

Propiedades

La media circular, ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

• maximiza la probabilidad del parámetro medio de la distribución de von Mises y
• minimiza la suma de una cierta distancia en el círculo, más precisamente

${\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ where }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}$

La distancia es igual a la mitad de la distancia euclidiana al cuadrado entre los dos puntos del círculo unitario asociado con y . ${\displaystyle d(\varphi ,\beta )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

Ejemplo

Una forma sencilla de calcular la media de una serie de ángulos (en el intervalo [0°, 360°)) es calcular la media de los cosenos y senos de cada ángulo y obtener el ángulo calculando la tangente inversa. Consideremos los siguientes tres ángulos como ejemplo: 10, 20 y 30 grados. Intuitivamente, calcular la media implicaría sumar estos tres ángulos y dividirlos por 3, lo que en este caso daría como resultado un ángulo medio correcto de 20 grados. Al girar este sistema en sentido antihorario 15 grados, los tres ángulos se convierten en 355 grados, 5 grados y 15 grados. La media aritmética es ahora 125 grados, que es la respuesta incorrecta, ya que debería ser 5 grados. La media vectorial se puede calcular de la siguiente manera, utilizando la media del seno y la media del coseno : ${\textstyle {\bar {\theta }}}$ ${\textstyle {\bar {s}}}$ ${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$

${\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086}$

${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.}$

Implementación

En este código de Python usamos las horas del día para encontrar el promedio circular de ellas:

importar  matemáticasdef  circular_mean ( horas ):  # Convertir horas a radianes  # Para convertir de horas a grados, necesitamos  # multiplicar hora por 360/24 = 15.  radianes  =  [ math . radianes ( hora  *  15 )  para  hora  en  horas ] # Calcular la suma de los valores de seno y coseno  sin_sum  =  suma ([ math . sin ( rad )  para  rad  en  radianes ])  cos_sum  =  suma ([ math . cos ( rad )  para  rad  en  radianes ]) # Calcular la media circular usando arctan2  mean_rad  =  math . atan2 ( sin_sum ,  cos_sum ) # Convierte la media nuevamente a horas  media_hora  =  ( math . degrees ( media_rad )  /  15 )  %  24 Devuelve  la hora media# Ejemplo de uso: horas  =  [ 0 ,  12 ,  18 ] media_hora  =  media_circular ( horas ) print ( "Primera media circular:" ,  round ( media_hora ,  2 ))horas  =  [ 0 ,  12 ] media_hora  =  media_circular ( horas ) print ( "Segunda media circular:" ,  round ( media_hora ,  2 ))horas  =  [ 0 ,  0 ,  12 ,  12 ,  24 ] media_hora  =  media_circular ( horas ) print ( "Media de la tercera circular:" ,  round ( media_hora ,  2 ))

Generalizaciones

Media esférica

Se extrae una serie de N vectores unitarios independientes a partir de una distribución de von Mises-Fisher. Las estimaciones de máxima verosimilitud de la dirección media son simplemente la media aritmética normalizada , una estadística suficiente : ^[2] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}$

Media esférica ponderada

Se puede definir una media esférica ponderada basándose en la interpolación lineal esférica . ^[3]

Véase también

• Centro de masa
• Centroide
• Distribución circular
• Desviación estándar circular
• Estadísticas direccionales
• Fréchet significa

Referencias

1. Christopher M. Bishop: Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático (Ciencia de la información y estadística) , ISBN  0-387-31073-8
2. Mardia, Kanti ; Jupp, PE (1999). Estadísticas direccionales . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3.
3. Buss, Samuel R.; Fillmore, Jay P. (2001). "Promedios esféricos y aplicaciones a splines esféricos e interpolación". ACM Transactions on Graphics . 20 (2). Asociación para Maquinaria Computacional (ACM): 95–126. doi :10.1145/502122.502124. ISSN  0730-0301.

Lectura adicional

• Jammalamadaka, S. Rao y SenGupta, A. (2001). Temas de estadística circular , sección 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN 981-02-3778-2 
• Hotz, Thomas (2013). "Medias extrínsecas e intrínsecas en el círculo". Lecture Notes in Computer Science . Vol. 8085. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 433–440. doi :10.1007/978-3-642-40020-9_47. ISBN 978-3-642-40019-3. ISSN  0302-9743.

Enlaces externos

• Matemáticas y estadísticas de valores circulares con C++11, una infraestructura C++11 para matemáticas y estadísticas de valores circulares (ángulos, hora del día, etc.)