Parte fraccionaria

Exceso de un número real no negativo más allá de su parte entera

Gráfica de la parte fraccionaria de números reales

La parte fraccionaria o parte decimal ^{[1] de un} número real no negativo es el exceso de la parte entera de ese número . Esta última se define como el mayor entero no mayor que x , llamado piso de x o . Entonces, la parte fraccionaria se puede formular como una diferencia : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0}$.

En el caso de un número positivo escrito en un sistema de numeración posicional convencional (como el binario o el decimal ), su parte fraccionaria corresponde a los dígitos que aparecen después del punto de la base , como el punto decimal en inglés. El resultado es un número real en el intervalo semiabierto [0, 1).

Para números negativos

Sin embargo, en el caso de números negativos, hay varias formas conflictivas de extender la función de parte fraccionaria a ellos: se define de la misma manera que para los números positivos, es decir, por (Graham, Knuth y Patashnik 1992), ^[2] o como la parte del número a la derecha del punto de la base (Daintith 2004), ^[3] o por la función impar : ^[4] ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}$

con como el entero más pequeño no menor que x , también llamado techo de x . En consecuencia, podemos obtener, por ejemplo, tres valores diferentes para la parte fraccionaria de un solo x : sea −1,3, su parte fraccionaria será 0,7 según la primera definición, 0,3 según la segunda definición y −0,3 según la tercera definición, cuyo resultado también se puede obtener de manera directa mediante ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.

Las definiciones de "función impar" y "función impar" permiten la descomposición única de cualquier número real x en la suma de sus partes enteras y fraccionarias, donde "parte entera" se refiere a o respectivamente. Estas dos definiciones de función con parte fraccionaria también proporcionan idempotencia . ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$

La parte fraccionaria definida a través de la diferencia de ⌊ ⌋ se denota generalmente mediante llaves :

${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .}$

Relación con fracciones continuas

Todo número real puede representarse de forma esencialmente única como una fracción continua , es decir, como la suma de su parte entera y el recíproco de su parte fraccionaria, que se escribe como la suma de su parte entera y el recíproco de su parte fraccionaria, y así sucesivamente.

Véase también

• Grupo circular
• Secuencia equidistribuida
• Grupo de un parámetro
• Número de Pisot–Vijayaraghavan
• Prueba de Poussin
• Significativo

Referencias

1. "Parte decimal". Oxford Dictionaries . Archivado desde el original el 15 de febrero de 2018. Consultado el 15 de febrero de 2018 .
2. Graham, Ronald L. ; Knuth, Donald E. ; Patashnik, Oren (1992), Matemáticas concretas: una base para la informática , Addison-Wesley, pág. 70, ISBN 0-201-14236-8
3. Daintith, John (2004), Un diccionario de informática , Oxford University Press
4. Weisstein, Eric W. "Parte fraccionaria". De MathWorld, un recurso web de Wolfram