En matemáticas , una matriz antidiagonal es una matriz cuadrada donde todas las entradas son cero excepto aquellas en la diagonal que va desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha (↗), conocida como antidiagonal (a veces diagonal de Harrison, secundaria diagonal, diagonal final, diagonal menor, diagonal fuera de diagonal o diagonal mala).
Una matriz A de n por n es una matriz antidiagonal si el ( i , j ) ésimo elemento a ij es cero para todas las filas i y columnas j cuyos índices no suman n + 1 . Simbólicamente:
Un ejemplo de matriz antidiagonal es
Otro ejemplo sería
Todas las matrices antidiagonales también son persimétricas .
El producto de dos matrices antidiagonales es una matriz diagonal . Además, el producto de una matriz antidiagonal por una matriz diagonal es antidiagonal, al igual que el producto de una matriz diagonal por una matriz antidiagonal.
Una matriz antidiagonal es invertible si y sólo si las entradas en la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha son distintas de cero. La inversa de cualquier matriz antidiagonal invertible también es antidiagonal, como puede verse en el párrafo anterior. El determinante de una matriz antidiagonal tiene un valor absoluto dado por el producto de las entradas en la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. Sin embargo, el signo de este determinante variará porque el producto elemental con signo distinto de cero de una matriz antidiagonal tendrá un signo diferente dependiendo de si la permutación relacionada con él es par o impar:
Más precisamente, el signo del producto elemental necesario para calcular el determinante de una matriz antidiagonal está relacionado con si el número triangular correspondiente es par o impar. Esto se debe a que el número de inversiones en la permutación para el único producto elemental con signo distinto de cero de cualquier matriz antidiagonal n × n siempre es igual al n -ésimo número.
