En geometría , una diagonal es un segmento de línea que une dos vértices de un polígono o poliedro , cuando esos vértices no están en el mismo borde . Informalmente, cualquier línea inclinada se llama diagonal. La palabra diagonal deriva del griego antiguo διαγώνιος diagonios , [1] "de esquina a esquina" (de διά- dia- , "a través", "a través" y γωνία gonia , "esquina", relacionado con gony "rodilla"); fue utilizada tanto por Estrabón [2] como por Euclides [3] para referirse a una línea que conecta dos vértices de un rombo o cuboide , [4] y luego adoptada en latín como diagonus ("línea inclinada").
Aplicada a un polígono , una diagonal es un segmento de línea que une dos vértices no consecutivos. Por lo tanto, un cuadrilátero tiene dos diagonales que unen pares opuestos de vértices. En cualquier polígono convexo , todas las diagonales están dentro del polígono, pero en el caso de los polígonos reentrantes , algunas diagonales están fuera del polígono.
Cualquier polígono de n lados ( n ≥ 3), convexo o cóncavo , tiene diagonales totales , ya que cada vértice tiene diagonales a todos los demás vértices excepto a sí mismo y a los dos vértices adyacentes, o n − 3 diagonales, y cada diagonal es compartida por dos vértices.
En general, un polígono regular de n lados tiene diagonales distintas en longitud, que siguen el patrón 1,1,2,2,3,3... a partir de un cuadrado.
En un polígono convexo , si no hay tres diagonales concurrentes en un único punto del interior, el número de regiones en que las diagonales dividen el interior está dado por [5]
Para n -gonos con n = 3, 4, ... el número de regiones es
Esta es la secuencia OEIS A006522. [6]
Si no hay tres diagonales concurrentes de un polígono convexo en un punto del interior, el número de intersecciones interiores de diagonales viene dado por . [7] [8] Esto es válido, por ejemplo, para cualquier polígono regular con un número impar de lados. La fórmula se deduce del hecho de que cada intersección está determinada de forma única por los cuatro puntos finales de las dos diagonales que se intersecan: el número de intersecciones es, por tanto, el número de combinaciones de los n vértices, cuatro a la vez.
Aunque el número de diagonales distintas en un polígono aumenta a medida que aumenta su número de lados, se puede calcular la longitud de cualquier diagonal.
En un n-gono regular con longitud de lado a , la longitud de la x-ésima diagonal distinta más corta es:
Esta fórmula muestra que a medida que el número de lados se acerca al infinito, la diagonal más corta x se acerca a la longitud (x+1)a . Además, la fórmula para la diagonal más corta se simplifica en el caso de x = 1:
Si el número de lados es par, la diagonal más larga será equivalente al diámetro del círculo circunscrito del polígono porque todas las diagonales largas se intersecan entre sí en el centro del polígono.
Los casos especiales incluyen:
Un cuadrado tiene dos diagonales de igual longitud que se cortan en el centro del cuadrado. La razón entre una diagonal y un lado es
Un pentágono regular tiene cinco diagonales, todas de la misma longitud. La razón entre una diagonal y un lado es la proporción áurea .
Un hexágono regular tiene nueve diagonales: las seis más cortas tienen la misma longitud; las tres más largas tienen la misma longitud y se intersecan en el centro del hexágono. La razón entre una diagonal larga y un lado es 2, y la razón entre una diagonal corta y un lado es .
Un heptágono regular tiene 14 diagonales. Las siete más cortas son iguales entre sí y las siete más largas también. El recíproco del lado es igual a la suma de los recíprocos de una diagonal corta y una larga.
Un poliedro (un objeto sólido en el espacio tridimensional , limitado por caras bidimensionales ) puede tener dos tipos diferentes de diagonales: diagonales de caras en las distintas caras, que conectan vértices no adyacentes en la misma cara; y diagonales espaciales, enteramente en el interior del poliedro (excepto los puntos finales en los vértices).
Las longitudes de las diagonales de un hipercubo n-dimensional se pueden calcular por inducción matemática . La diagonal más larga de un n-cubo es . Además, hay de la diagonal x-ésima más corta. A modo de ejemplo, un 5-cubo tendría las diagonales:
Su número total de diagonales es 416. En general, un n-cubo tiene un total de diagonales. Esto se desprende de la forma más general de que describe el número total de diagonales de caras y espacios en politopos convexos. [9] Aquí, v representa el número de vértices y e representa el número de aristas.
Por analogía, el subconjunto del producto cartesiano X × X de cualquier conjunto X consigo mismo, que consiste en todos los pares (x, x), se llama diagonal, y es el gráfico de la relación de igualdad en X o, equivalentemente, el gráfico de la función identidad de X a X . Esto juega un papel importante en geometría; por ejemplo, los puntos fijos de una aplicación F de X a sí mismo se pueden obtener intersectando el gráfico de F con la diagonal.
En los estudios geométricos, la idea de intersecar la diagonal consigo misma es común, no directamente, sino perturbándola dentro de una clase de equivalencia . Esto está relacionado a un nivel profundo con la característica de Euler y los ceros de los campos vectoriales . Por ejemplo, el círculo S 1 tiene números de Betti 1, 1, 0, 0, 0 y, por lo tanto, característica de Euler 0. Una forma geométrica de expresar esto es mirar la diagonal en el bitoro S 1 xS 1 y observar que puede moverse fuera de sí mismo por el pequeño movimiento (θ, θ) a (θ, θ + ε). En general, el número de intersección del gráfico de una función con la diagonal se puede calcular utilizando homología a través del teorema de punto fijo de Lefschetz ; la autointersección de la diagonal es el caso especial de la función identidad.
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