Matriz persimétrica

Matriz cuadrada simétrica respecto de su antidiagonal

En matemáticas , una matriz persimétrica puede referirse a:

1. una matriz cuadrada que es simétrica con respecto a la diagonal noreste-suroeste (antidiagonal); o
2. una matriz cuadrada tal que los valores de cada línea perpendicular a la diagonal principal son los mismos para una línea dada.

La primera definición es la más común en la literatura reciente. La denominación " matriz de Hankel " se utiliza a menudo para las matrices que satisfacen la propiedad de la segunda definición.

Definición 1

Patrón de simetría de una matriz persimétrica de 5 × 5

Sea A = ( a _ij ) una matriz n  ×  n . La primera definición de persimétrica requiere que para todo i , j . ^[1] Por ejemplo, las matrices persimétricas de 5 × 5 tienen la forma $${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$$

Esto se puede expresar de forma equivalente como AJ = JA ^T donde J es la matriz de intercambio .

Una tercera forma de expresar esto se ve al postmultiplicar AJ = JA ^T con J en ambos lados, mostrando que A ^T rotado 180 grados es idéntico a A : $${\displaystyle A=JA^{\mathsf {T}}J.}$$

Una matriz simétrica es una matriz cuyos valores son simétricos en la diagonal noroeste-sudeste. Si una matriz simétrica se rota 90°, se convierte en una matriz persimétrica. Las matrices persimétricas simétricas a veces se denominan matrices bisimétricas .

Definición 2

La segunda definición se debe a Thomas Muir . ^[2] Dice que la matriz cuadrada A = ( a _ij ) es persimétrica si a _ij depende sólo de i + j . Las matrices persimétricas en este sentido, o matrices de Hankel como se las suele llamar, son de la forma Un determinante persimétrico es el determinante de una matriz persimétrica. ^[2] $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Una matriz en la que los valores de cada línea paralela a la diagonal principal son constantes se denomina matriz de Toeplitz .

Véase también

• Matriz centrosimétrica

Referencias

1. Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Cálculos matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9. Véase la página 193.
2. Muir, Thomas ; Metzler, William H. (2003) [1933], Tratado sobre la teoría de los determinantes , Dover Press, pág. 419, ISBN 978-0-486-49553-8, OCLC  52203124