Matriz bisimétrica

Matriz cuadrada simétrica respecto de su diagonal y antidiagonal

Patrón de simetría de una matriz bisimétrica de 5 × 5

En matemáticas , una matriz bisimétrica es una matriz cuadrada que es simétrica con respecto a sus dos diagonales principales . Más precisamente, una matriz A de n × n es bisimétrica si satisface tanto A = A ^T (es su propia transpuesta ) como AJ = JA , donde J es la matriz de intercambio de n × n .

Por ejemplo, cualquier matriz de la forma

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{14}&a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{12}\\a_{15}&a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\end{bmatrix}}}$$

es bisimétrico. La matriz de intercambio asociada para este ejemplo es ${\displaystyle 5\times 5}$

${\displaystyle J_{5}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Propiedades

• Las matrices bisimétricas son centrosimétricas y persimétricas simétricas .
• El producto de dos matrices bisimétricas es una matriz centrosimétrica.
• Las matrices bisimétricas de valor real son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios permanecen iguales, aparte de posibles cambios de signo después de la multiplicación previa o posterior por la matriz de intercambio . ^[1]
• Si A es una matriz bisimétrica real con valores propios distintos, entonces las matrices que conmutan con A deben ser bisimétricas. ^[2]
• La inversa de las matrices bisimétricas se puede representar mediante fórmulas de recurrencia. ^[3]

Referencias

1. Tao, David; Yasuda, Marcos (2002). "Una caracterización espectral de matrices centrosimétricas simétricas reales generalizadas y centrosimétricas sesgadas simétricas reales generalizadas". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 23 (3): 885–895. doi :10.1137/S0895479801386730.
2. Yasuda, Marcos (2012). "Algunas propiedades de las m-involuciones conmutantes y anti-conmutantes". Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631–644. doi :10.1016/S0252-9602(12)60044-7.
3. Wang, Yanfeng; Lü, Feng; Lü, Weiran (10 de enero de 2018). "La inversa de matrices bisimétricas". Álgebra lineal y multilineal . 67 (3): 479–489. doi :10.1080/03081087.2017.1422688. ISSN  0308-1087. S2CID  125163794.