Si A y B son matrices centrosimétricas de n × n sobre un campo F , entonces también lo son A + B y cA para cualquier c en F. Además, el producto matricial AB es centrosimétrico, ya que JAB = AJB = ABJ . Dado que la matriz identidad también es centrosimétrica, se deduce que el conjunto de n × n matrices centrosimétricas sobre F forma una subálgebra del álgebra asociativa de todas las n × n matrices.
Si A es una matriz centrosimétrica con una base propia m -dimensional , entonces cada uno de sus m vectores propios puede elegirse de manera que satisfagan x = J x o x = − J x donde J es la matriz de intercambio.
Si A es una matriz centrosimétrica con valores propios distintos , entonces las matrices que conmutan con A deben ser centrosimétricas. [1]
El número máximo de elementos únicos en una matriz centrosimétrica m × m es
Estructuras relacionadas
Se dice que una matriz A de n × n es centrosimétrica sesgada si sus entradas satisfacen
AAJ = − JAJ
La relación centrosimétrica AJ = JA se presta a una generalización natural, donde J se reemplaza con una matriz involutiva K (es decir, K 2 = I ) [2] [3] [4] o, más generalmente, una matriz K que satisface K m = I para un número entero m > 1 . [1] También se ha estudiado el problema inverso para la relación de conmutación AK = KA de identificar todos los K involutivos que conmutan con una matriz fija A. [1]
Las matrices centrosimétricas simétricas a veces se denominan matrices bisimétricas . Cuando el campo fundamental son los números reales , se ha demostrado que las matrices bisimétricas son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios permanecen iguales, aparte de posibles cambios de signo después de la multiplicación previa o posterior por la matriz de intercambio. [3] Un resultado similar es válido para las matrices centrosimétricas hermitianas y centrosimétricas sesgadas. [5]
Referencias
^ a b C Yasuda, Mark (2012). "Algunas propiedades de las m-involuciones conmutantes y anti-conmutantes". Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631–644. doi :10.1016/S0252-9602(12)60044-7.
^ Andrés, Alan (1973). "Vectores propios de determinadas matrices". Aplicación de álgebra lineal . 7 (2): 151–162. doi : 10.1016/0024-3795(73)90049-9 .
^ ab Tao, David; Yasuda, Marcos (2002). "Una caracterización espectral de matrices centrosimétricas simétricas reales generalizadas y centrosimétricas sesgadas simétricas reales generalizadas". SIAM J. Matriz anal. Aplica . 23 (3): 885–895. doi :10.1137/S0895479801386730.
^ Trinchera, WF (2004). "Caracterización y propiedades de matrices con simetría generalizada o simetría sesgada". Aplicación de álgebra lineal . 377 : 207–218. doi : 10.1016/j.laa.2003.07.013 .
^ Yasuda, Marcos (2003). "Una caracterización espectral de matrices K centrosimétricas hermitianas y centrosimétricas sesgadas hermitianas". SIAM J. Matriz anal. Aplica . 25 (3): 601–605. doi :10.1137/S0895479802418835.
Otras lecturas
Muir, Thomas (1960). Tratado sobre la teoría de los determinantes . Dover. pag. 19.ISBN 0-486-60670-8.
Tejedor, James R. (1985). "Matrices centrosimétricas (cruzsimétricas), sus propiedades básicas, valores propios y vectores propios". Mensual Matemático Estadounidense . 92 (10): 711–717. doi :10.2307/2323222. JSTOR 2323222.