Matriz de intercambio

Matriz cuadrada cuyas entradas son 1 a lo largo de la antidiagonal y 0 en otros lugares

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal , las matrices de intercambio (también llamadas matriz de inversión , identidad hacia atrás o permutación involutiva estándar ) son casos especiales de matrices de permutación , donde los elementos 1 residen en la antidiagonal y todos los demás elementos son cero. En otras palabras, son versiones de la matriz de identidad 'invertidas por filas' o 'invertidas por columnas' . ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\[4pt]J_{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\[2pt]J_{n}&={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &\,{}_{_{\displaystyle \cdot }}\!\,{}^{_{_{\displaystyle \cdot }}}\!{\dot {\phantom {j}}}&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Definición

Si J es una matriz de intercambio n × n , entonces los elementos de J son $${\displaystyle J_{i,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}}$$

Propiedades

• La premultiplicación de una matriz por una matriz de intercambio invierte verticalmente las posiciones de las filas de la primera, es decir, $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}}.}$$
• La posmultiplicación de una matriz por una matriz de intercambio invierte horizontalmente las posiciones de las columnas de la primera, es decir, $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{pmatrix}}.}$$
• Las matrices de intercambio son simétricas ; eso es: $${\displaystyle J_{n}^{\mathsf {T}}=J_{n}.}$$
• Para cualquier número entero k : En particular, Jn _es una matriz involutiva ; eso es, $${\displaystyle J_{n}^{k}={\begin{cases}I&{\text{ if }}k{\text{ is even,}}\\[2pt]J_{n}&{\text{ if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle J_{n}^{-1}=J_{n}.}$$
• La traza de J _n es 1 si n es impar y 0 si n es par. En otras palabras: $${\displaystyle \operatorname {tr} (J_{n})=n{\bmod {2}}.}$$
• El determinante de J _n es: En función de n , tiene período 4, dando 1, 1, −1, −1 cuando n es congruente módulo 4 con 0, 1, 2 y 3 respectivamente. $${\displaystyle \det(J_{n})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}$$
• El polinomio característico de J _n es: $${\displaystyle \det(\lambda I-J_{n})={\begin{cases}{\big [}(\lambda +1)(\lambda -1){\big ]}^{\frac {n}{2}}&{\text{ if }}n{\text{ is even,}}\\[4pt](\lambda -1)^{\frac {n+1}{2}}(\lambda +1)^{\frac {n-1}{2}}&{\text{ if }}n{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$$
• La matriz adjunta de J _n es: (donde sgn es el signo de la permutación π _k de k elementos). $${\displaystyle \operatorname {adj} (J_{n})=\operatorname {sgn}(\pi _{n})J_{n}.}$$

Relaciones

• Una matriz de intercambio es la matriz antidiagonal más simple .
• Cualquier matriz A que satisfaga la condición AJ = JA se dice que es centrosimétrica .
• Cualquier matriz A que satisfaga la condición AJ = JA ^T se dice que es persimétrica .
• Las matrices simétricas A que satisfacen la condición AJ = JA se denominan matrices bisimétricas . Las matrices bisimétricas son centrosimétricas y persimétricas.

Ver también

• Matrices de Pauli (la primera matriz de Pauli es una matriz de intercambio de 2 × 2)

Referencias

1. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis (2ª ed.), Cambridge University Press, pág. 33, ISBN 9781139788885.