Matriz centrosimétrica

Matriz simétrica respecto de su centro

Patrón de simetría de una matriz centrosimétrica de 5 × 5

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , una matriz centrosimétrica es una matriz que es simétrica respecto de su centro.

Definición formal

Una matriz n  ×  n A = [ A _{i , j} ] es centrosimétrica cuando sus entradas satisfacen

$${\displaystyle A_{i,\,j}=A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\}.}$$

Alternativamente, si J denota la matriz de intercambio n × n con 1 en la antidiagonal y 0 en el resto: entonces una matriz A es centrosimétrica si y sólo si AJ = JA . $${\displaystyle J_{i,\,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}}$$

Ejemplos

• Todas las matrices centrosimétricas de 2 × 2 tienen la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$
• Todas las matrices centrosimétricas de 3 × 3 tienen la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.}$$
• Las matrices de Toeplitz simétricas son centrosimétricas.

Estructura y propiedades algebraicas

• Si A y B son matrices centrosimétricas de n  ×  n sobre un cuerpo F , entonces también lo son A + B y cA para cualquier c en F . Además, el producto matricial AB es centrosimétrico, ya que JAB = AJB = ABJ . Como la matriz identidad también es centrosimétrica, se deduce que el conjunto de matrices centrosimétricas de n  ×  n sobre F forma una subálgebra del álgebra asociativa de todas las matrices de n  ×  n .
• Si A es una matriz centrosimétrica con una base propia m -dimensional , entonces sus m vectores propios pueden elegirse de modo que satisfagan x = J x o x = −  J x donde J es la matriz de intercambio.   
• Si A es una matriz centrosimétrica con valores propios distintos , entonces las matrices que conmutan con A deben ser centrosimétricas. ^[1]
• El número máximo de elementos únicos en una matriz centrosimétrica m  ×  m es

${\displaystyle {\frac {m^{2}+m{\bmod {2}}}{2}}.}$

Estructuras relacionadas

Se dice que una matriz A de n  ×  n es anticentrosimétrica si sus entradas satisfacen De manera equivalente, A es anticentrosimétrica si AJ = − JA , donde J es la matriz de intercambio definida previamente. $${\displaystyle A_{i,\,j}=-A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\}.}$$

La relación centrosimétrica AJ = JA se presta a una generalización natural, donde J se reemplaza con una matriz involutiva K (es decir, K ² = I  ) ^{[2] [3] [4]} o, más generalmente, una matriz K que satisface K ^m = I para un entero m > 1 . ^[1] También se ha estudiado el problema inverso para la relación de conmutación AK = KA de identificar todos los K involutivos que conmutan con una matriz fija A. ^[1]

Las matrices centrosimétricas simétricas se denominan a veces matrices bisimétricas . Cuando el cuerpo fundamental son los números reales , se ha demostrado que las matrices bisimétricas son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios permanecen iguales, independientemente de los posibles cambios de signo que se produzcan tras la pre o posmultiplicación por la matriz de intercambio. ^[3] Un resultado similar se aplica a las matrices centrosimétricas hermíticas y anticentrosimétricas. ^[5]

Referencias

1. Yasuda, Mark (2012). "Algunas propiedades de las m-involuciones conmutativas y anticonmutativas". Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631–644. doi :10.1016/S0252-9602(12)60044-7.
2. Andrew, Alan (1973). "Vectores propios de ciertas matrices". Linear Algebra Appl . 7 (2): 151–162. doi : 10.1016/0024-3795(73)90049-9 .
3. Tao, David; Yasuda, Mark (2002). "Una caracterización espectral de matrices centrosimétricas simétricas reales generalizadas y matrices centrosimétricas asimétricas simétricas reales generalizadas". SIAM J. Matrix Anal. Appl . 23 (3): 885–895. doi :10.1137/S0895479801386730.
4. Trench, WF (2004). "Caracterización y propiedades de matrices con simetría generalizada o simetría oblicua". Linear Algebra Appl . 377 : 207–218. doi : 10.1016/j.laa.2003.07.013 .
5. Yasuda, Mark (2003). "Una caracterización espectral de matrices K centrosimétricas hermíticas y hermíticas con centrosimetría torcida". SIAM J. Matrix Anal. Appl . 25 (3): 601–605. doi :10.1137/S0895479802418835.

Lectura adicional

• Muir, Thomas (1960). Tratado sobre la teoría de los determinantes . Dover. pág. 19. ISBN 0-486-60670-8.
• Weaver, James R. (1985). "Matrices centrosimétricas (simétricas cruzadas), sus propiedades básicas, valores propios y vectores propios". American Mathematical Monthly . 92 (10): 711–717. doi :10.2307/2323222. JSTOR  2323222.

Enlaces externos

• Matriz centrosimétrica en MathWorld .