Transformación diádica

Mapa de duplicación en el intervalo unitario

gráfica xy donde x  =  x ₀  ∈ [0, 1] es racional e y  =  x _n para todo  n .

La transformación diádica (también conocida como mapa diádico , mapa de desplazamiento de bits , mapa 2 x  mod 1 , mapa de Bernoulli , mapa de duplicación o mapa de dientes de sierra ^{[1] [2]} ) es el mapeo (es decir, relación de recurrencia )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

(de donde es el conjunto de secuencias de ) producidas por la regla ${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$ ${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{for all }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$. ^[3]

De manera equivalente, la transformación diádica también se puede definir como el mapa de función iterado de la función lineal por partes.

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

El nombre de mapa de desplazamiento de bits surge porque, si el valor de una iteración se escribe en notación binaria , la siguiente iteración se obtiene desplazando el punto binario un bit a la derecha, y si el bit a la izquierda del nuevo punto binario es un "uno", reemplazándolo por un cero.

La transformación diádica proporciona un ejemplo de cómo una función unidimensional simple puede dar lugar al caos . Esta función se generaliza fácilmente a otras funciones. Una función importante es la transformación beta, definida como . Esta función ha sido estudiada extensamente por muchos autores. Fue introducida por Alfréd Rényi en 1957, y Alexander Gelfond proporcionó una medida invariante para ella en 1959 y nuevamente de forma independiente por Bill Parry en 1960. ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

Relación con el proceso de Bernoulli

El mapa T  : [0, 1) → [0, 1), conserva la medida de Lebesgue . ${\displaystyle x\mapsto 2x{\bmod {1}}}$

El mapa se puede obtener como un homomorfismo en el proceso de Bernoulli . Sea el conjunto de todas las cadenas semi-infinitas de las letras y . Estas pueden entenderse como los lanzamientos de una moneda, que salen cara o cruz. De manera equivalente, se puede escribir el espacio de todas las cadenas (semi-)infinitas de bits binarios. La palabra "infinito" se califica con "semi-", ya que también se puede definir un espacio diferente que consista en todas las cadenas doblemente infinitas (de doble extremo); esto conducirá al mapa de Baker . La calificación "semi-" se omite a continuación. ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

Este espacio tiene una operación de desplazamiento natural , dada por

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

donde es una cadena infinita de dígitos binarios. Dada dicha cadena, escribe ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

El resultado es un número real en el intervalo unitario El desplazamiento induce un homomorfismo , también llamado , en el intervalo unitario. Como se puede ver fácilmente que Para la secuencia doblemente infinita de bits el homomorfismo inducido es la función de Baker . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$ ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$ ${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$

La secuencia diádica es entonces simplemente la secuencia

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

Eso es, ${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

El conjunto de Cantor

Nótese que la suma

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

da la función de Cantor , tal como se define convencionalmente. Esta es una de las razones por las que el conjunto a veces se denomina conjunto de Cantor . ${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

Tasa de pérdida de información y dependencia sensible de las condiciones iniciales

Una característica distintiva de la dinámica caótica es la pérdida de información a medida que se produce la simulación. Si empezamos con información sobre los primeros s bits de la iteración inicial, luego de m iteraciones simuladas ( m  <  s ) solo nos quedan s  −  m bits de información. Por lo tanto, perdemos información a una tasa exponencial de un bit por iteración. Después de s iteraciones, nuestra simulación ha alcanzado el punto fijo cero, independientemente de los valores verdaderos de la iteración; por lo tanto, hemos sufrido una pérdida completa de información. Esto ilustra la dependencia sensible de las condiciones iniciales: la aplicación de la condición inicial truncada se ha desviado exponencialmente de la aplicación de la condición inicial verdadera. Y dado que nuestra simulación ha alcanzado un punto fijo, para casi todas las condiciones iniciales no describirá la dinámica de la manera cualitativamente correcta como caótica.

El concepto de ganancia de información es equivalente al concepto de pérdida de información. En la práctica, algún proceso del mundo real puede generar una secuencia de valores ( x _n ) a lo largo del tiempo, pero es posible que solo podamos observar estos valores en forma truncada. Supongamos, por ejemplo, que x ₀ = 0,1001101, pero solo observamos el valor truncado 0,1001. Nuestra predicción para x ₁ es 0,001. Si esperamos hasta que el proceso del mundo real haya generado el valor verdadero de x ₁ 0,001101, podremos observar el valor truncado 0,0011, que es más preciso que nuestro valor predicho 0,001. Por lo tanto, hemos recibido una ganancia de información de un bit.

Relación con el mapa de tiendas y el mapa logístico

La transformación diádica es topológicamente semiconjugada con la función de tienda de campaña de altura unitaria . Recordemos que la función de tienda de campaña de altura unitaria está dada por

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

La conjugación está dada explícitamente por

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

de modo que

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

Es decir, esto es estable bajo iteración, ya que ${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

También es conjugado al caso caótico r  = 4 del mapa logístico . El caso r  = 4 del mapa logístico es ; esto está relacionado con el mapa de desplazamiento de bits en la variable x por ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

También existe una semiconjugación entre la transformación diádica (aquí denominada mapa de duplicación de ángulos) y el polinomio cuadrático . Aquí, el mapa duplica los ángulos medidos en giros . Es decir, el mapa está dado por

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

Periodicidad y no periodicidad

Debido a la naturaleza simple de la dinámica cuando las iteraciones se ven en notación binaria, es fácil categorizar la dinámica según la condición inicial:

Si la condición inicial es irracional (como lo son casi todos los puntos en el intervalo unitario), entonces la dinámica no es periódica; esto se desprende directamente de la definición de un número irracional como aquel con una expansión binaria no repetitiva. Este es el caso caótico.

Si x ₀ es racional, la imagen de x ₀ contiene un número finito de valores distintos dentro de [0, 1) y la órbita directa de x ₀ es eventualmente periódica, con un período igual al período de la expansión binaria de x ₀ . Específicamente, si la condición inicial es un número racional con una expansión binaria finita de k bits, entonces después de k iteraciones las iteraciones alcanzan el punto fijo 0; si la condición inicial es un número racional con un transitorio de k bits ( k  ≥ 0) seguido de una secuencia de q bits ( q  > 1) que se repite infinitamente, entonces después de k iteraciones las iteraciones alcanzan un ciclo de longitud  q . Por lo tanto, son posibles ciclos de todas las longitudes.

Por ejemplo, la órbita delantera del 24/11 es:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

que ha alcanzado un ciclo de periodo 2. Dentro de cualquier subintervalo de [0, 1), por pequeño que sea, hay por tanto un número infinito de puntos cuyas órbitas son eventualmente periódicas, y un número infinito de puntos cuyas órbitas nunca son periódicas. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales es una característica de las funciones caóticas .

Periodicidad a través de desplazamientos de bits

Las órbitas periódicas y no periódicas se pueden entender más fácilmente no trabajando directamente con el mapa, sino con el mapa de desplazamiento de bits definido en el espacio de Cantor . ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Es decir, el homomorfismo

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

es básicamente una afirmación de que el conjunto de Cantor se puede aplicar a los números reales. Es una sobreyección : cada racional diádico no tiene una, sino dos representaciones distintas en el conjunto de Cantor. Por ejemplo,

${\displaystyle 0.1000000\dots =0.011111\dots }$

Esta es simplemente la versión en cadena binaria del famoso problema 0,999... = 1. Las representaciones duplicadas se cumplen en general: para cualquier secuencia inicial de longitud finita dada de longitud , se tiene ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots }$

La secuencia inicial corresponde a la parte no periódica de la órbita, después de la cual la iteración se establece en todos ceros (equivalentemente, todos unos). ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$

Expresadas como cadenas de bits, las órbitas periódicas del mapa se pueden ver en los números racionales. Es decir, después de una secuencia "caótica" inicial de , una órbita periódica se establece en una cadena repetida de longitud . No es difícil ver que tales secuencias repetidas corresponden a números racionales. Escritura ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

Entonces uno tiene claramente

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{-m}}}}$

Si añadimos la secuencia inicial no repetitiva, tenemos claramente un número racional. De hecho, todo número racional puede expresarse de esta manera: una secuencia inicial "aleatoria", seguida de una repetición cíclica. Es decir, las órbitas periódicas del mapa se corresponden de forma unívoca con los números racionales.

Este fenómeno es digno de mención, ya que algo similar ocurre en muchos sistemas caóticos. Por ejemplo, las geodésicas en variedades compactas pueden tener órbitas periódicas que se comporten de esta manera.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que los racionales son un conjunto de medida cero en los reales. ¡Casi todas las órbitas no son periódicas! Las órbitas aperiódicas corresponden a los números irracionales. Esta propiedad también es válida en un contexto más general. Una pregunta abierta es hasta qué punto el comportamiento de las órbitas periódicas limita el comportamiento del sistema en su conjunto. Fenómenos como la difusión de Arnold sugieren que la respuesta general es "no mucho".

Formulación de densidad

En lugar de observar las órbitas de puntos individuales bajo la acción del mapa, vale la pena explorar cómo el mapa afecta las densidades en el intervalo unitario. Es decir, imagine que espolvorea un poco de polvo en el intervalo unitario; es más denso en algunos lugares que en otros. ¿Qué sucede con esta densidad a medida que se itera?

Escribe como esta densidad, de modo que . Para obtener la acción de sobre esta densidad, es necesario encontrar todos los puntos y escribir ^[7] ${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

El denominador en lo anterior es el determinante jacobiano de la transformación, aquí es solo la derivada de y por lo tanto . Además, obviamente solo hay dos puntos en la preimagen de , estos son y Poniéndolo todo junto, se obtiene ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$ ${\displaystyle T^{-1}(x)}$ ${\displaystyle y=x/2}$ ${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

Por convención, tales mapas se denotan por lo que en este caso, se escribe ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

El mapa es un operador lineal , como se ve fácilmente para todas las funciones en el intervalo unitario y todas las constantes . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle a}$

Considerado como un operador lineal, la pregunta más obvia y apremiante es: ¿cuál es su espectro ? Un valor propio es obvio: si para todos entonces uno obviamente tiene por lo que la densidad uniforme es invariante bajo la transformación. Este es de hecho el valor propio más grande del operador , es el valor propio de Frobenius-Perron . La densidad uniforme no es, de hecho, nada más que la medida invariante de la transformación diádica. ${\displaystyle \rho (x)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Para explorar el espectro de con mayor detalle, primero hay que limitarse a un espacio adecuado de funciones (en el intervalo unitario) con el que trabajar. Este podría ser el espacio de funciones medibles de Lebesgue , o quizás el espacio de funciones integrables al cuadrado , o quizás incluso solo polinomios . Trabajar con cualquiera de estos espacios es sorprendentemente difícil, aunque se puede obtener un espectro. ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Espacio boreal

Se obtiene una gran cantidad de simplificación si, en cambio, se trabaja con el espacio de Cantor y las funciones Se recomienda cierta precaución, ya que la función se define en el intervalo unitario de la recta de números reales , asumiendo la topología natural en los reales. Por el contrario, la función se define en el espacio de Cantor , al que por convención se le da una topología muy diferente , la topología del producto . Existe un posible choque de topologías; se debe tener cierto cuidado. Sin embargo, como se presentó anteriormente, hay un homomorfismo del conjunto de Cantor en los reales; afortunadamente, asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y, por lo tanto, preserva las nociones de continuidad . ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Para trabajar con el conjunto de Cantor , se debe proporcionar una topología para él; por convención, esta es la topología del producto . Mediante la unión de complementos de conjuntos, se puede extender a un espacio de Borel , es decir, un álgebra sigma . La topología es la de los conjuntos cilíndricos . Un conjunto cilíndrico tiene la forma genérica ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )}$

donde los son valores de bit arbitrarios (no necesariamente todos iguales), y los son un número finito de valores de bit específicos dispersos en la cadena de bits infinita. Estos son los conjuntos abiertos de la topología. La medida canónica en este espacio es la medida de Bernoulli para el lanzamiento justo de una moneda. Si hay un solo bit especificado en la cadena de posiciones arbitrarias, la medida es 1/2. Si hay dos bits especificados, la medida es 1/4, y así sucesivamente. Uno puede volverse más sofisticado: dado un número real, uno puede definir una medida. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle b_{k},b_{m},\dots }$ ${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

Si en la secuencia hay caras y cruces, se prefiere la medida con, ya que la función la conserva ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

Por ejemplo, se asigna al intervalo y se asigna al intervalo y ambos intervalos tienen una medida de 1/2. De manera similar, se asigna al intervalo que aún tiene la medida 1/2. Es decir, la incrustación anterior conserva la medida. ${\displaystyle (0,*,\cdots )}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle (1,*,\dots )}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$ ${\displaystyle (*,0,*,\dots )}$ ${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

Una alternativa es escribir

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]}$

que conserva la medida Es decir, se asigna de manera que la medida en el intervalo unitario es nuevamente la medida de Lebesgue. ${\displaystyle \mu _{p}.}$

Operador de Frobenius-Perron

Denote la colección de todos los conjuntos abiertos en el conjunto de Cantor por y considere el conjunto de todas las funciones arbitrarias. El desplazamiento induce un empuje hacia adelante. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

definido por Esto es nuevamente alguna función De esta manera, el mapa induce otro mapa en el espacio de todas las funciones Es decir, dado algún , uno define ${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

Este operador lineal se denomina operador de transferencia u operador de Ruelle–Frobenius–Perron . El valor propio más grande es el valor propio de Frobenius–Perron y, en este caso, es 1. El vector propio asociado es la medida invariante: en este caso, es la medida de Bernoulli . Nuevamente, cuando ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho }$ ${\displaystyle \rho (x)=1.}$

Espectro

Para obtener el espectro de , se debe proporcionar un conjunto adecuado de funciones base para el espacio. Una de esas opciones es restringir al conjunto de todos los polinomios. En este caso, el operador tiene un espectro discreto y las funciones propias son (curiosamente) los polinomios de Bernoulli ! ^[8] (Esta coincidencia de nombres presumiblemente no era conocida por Bernoulli). ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De hecho, se puede comprobar fácilmente que

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

donde son los polinomios de Bernoulli . Esto se deduce porque los polinomios de Bernoulli obedecen a la identidad ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

Otra base la proporciona la base de Haar , y las funciones que abarcan el espacio son las wavelets de Haar . En este caso, se encuentra un espectro continuo , que consiste en el disco unitario en el plano complejo . Dado en el disco unitario, de modo que , las funciones ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

cumplir

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

Esta es una base completa, ya que cada número entero se puede escribir en la forma Los polinomios de Bernoulli se recuperan estableciendo y ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots }$

También se puede dar una base completa de otras maneras; se pueden escribir en términos de la función zeta de Hurwitz . Otra base completa la proporciona la función Takagi . Esta es una función fractal diferenciable en ninguna parte . Las funciones propias son explícitamente de la forma

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}$

¿Dónde está la onda triangular ? Se tiene, de nuevo, ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.}$

Todas estas bases diferentes pueden expresarse como combinaciones lineales entre sí. En este sentido, son equivalentes.

Las funciones propias fractales muestran una simetría explícita bajo el grupoide fractal del grupo modular ; esto se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre la función de Takagi (la curva del manjar blanco). Tal vez no sea una sorpresa; el conjunto de Cantor tiene exactamente el mismo conjunto de simetrías (al igual que las fracciones continuas ). Esto conduce elegantemente a la teoría de ecuaciones elípticas y formas modulares .

Relación con el modelo de Ising

El hamiltoniano del modelo de Ising unidimensional de campo cero de espines con condiciones de contorno periódicas se puede escribir como ${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

Si se elige adecuadamente una constante de normalización y la temperatura inversa del sistema, la función de partición para este modelo está dada por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

Podemos implementar el grupo de renormalización integrando cada uno de los otros espines. Al hacerlo, se descubre que también se puede equiparar con la función de partición para un sistema más pequeño con espines pero , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

siempre que reemplacemos y con valores renormalizados y satisfagamos las ecuaciones ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta g}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

Supongamos ahora que permitimos que sea complejo y que para algún . En ese caso podemos introducir un parámetro relacionado con mediante la ecuación ${\displaystyle \beta g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle \beta g}$

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

y la transformación del grupo de renormalización resultante será precisamente el mapa diádico: ^[9] ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

Véase también

• Proceso de Bernoulli
• Esquema de Bernoulli
• Modelo de Gilbert–Shannon–Reeds , una distribución aleatoria de permutaciones obtenida al aplicar el mapa de duplicación a un conjunto de n puntos uniformemente aleatorios en el intervalo unitario.

Notas

1. Mapas caóticos en 1D, Evgeny Demidov
2. Wolf, A. "Cuantificación del caos con exponentes de Lyapunov", en Chaos , editado por AV Holden, Princeton University Press, 1986.
3. Sistemas dinámicos y teoría ergódica: el mapa de duplicación Archivado el 12 de febrero de 2013 en Wayback Machine , Corinna Ulcigrai, Universidad de Bristol
4. A. Rényi, “Representaciones de números reales y sus propiedades ergódicas”, Acta Math Acad Sci Hungary, 8, 1957, págs. 477–493.
5. AO Gel'fond, “Una propiedad común de los sistemas numéricos”, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat, 23, 1959, págs. 809–814.
6. W. Parry, “Sobre la expansión β de los números reales”, Acta Math Acad Sci Hungary, 11, 1960, págs. 401–416.
7. Dean J. Driebe, Mapas completamente caóticos y simetría temporal rota, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN  0-7923-5564-4
8. Pierre Gaspard, " Mapas unidimensionales r -ádicos y la fórmula de suma de Euler", Journal of Physics A , 25 (carta) L483-L485 (1992).
9. M. Bosschaert; C. Jepsen; F. Popov, “Flujo RG caótico en modelos tensoriales”, Physical Review D, 105, 2022, pág. 065021.

Referencias

• Dean J. Driebe, Mapas completamente caóticos y simetría temporal rota , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4 
• Linas Vepstas, El mapa de Bernoulli, el operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing y la zeta de Riemann , (2004)