Mapa del panadero

Mapa caótico desde el cuadrado unitario hacia sí mismo

Ejemplo de una medida que es invariante bajo la acción del mapa de Baker (sin rotar): una medida invariante . La aplicación del mapa de Baker a esta imagen siempre da como resultado exactamente la misma imagen.

En la teoría de sistemas dinámicos , el mapa del panadero es un mapa caótico que va desde el cuadrado unitario hacia sí mismo. Recibe su nombre de una operación de amasado que los panaderos aplican a la masa: la masa se corta por la mitad y las dos mitades se apilan una sobre otra y se comprimen.

El mapa de Baker puede entenderse como el operador de desplazamiento bilateral de un modelo de red bi-infinito de dos estados . El mapa de Baker es topológicamente conjugado con el mapa de herradura . En física , una cadena de mapas de Baker acoplados puede utilizarse para modelar la difusión determinista .

Al igual que con muchos sistemas dinámicos deterministas , el mapa de Baker se estudia por su acción sobre el espacio de funciones definido en el cuadrado unitario. El mapa de Baker define un operador en el espacio de funciones, conocido como el operador de transferencia del mapa. El mapa de Baker es un modelo exactamente solucionable del caos determinista , en el que las funciones propias y los valores propios del operador de transferencia se pueden determinar explícitamente.

Definición formal

Existen dos definiciones alternativas del mapa del panadero que se utilizan habitualmente. Una definición pliega o gira una de las mitades cortadas antes de unirlas (similar al mapa de herradura ) y la otra no lo hace.

El mapa del panadero plegado actúa sobre el cuadrado unitario como

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

Cuando la sección superior no está doblada, el mapa puede escribirse como

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).}$

El mapa del panadero plegado es un análogo bidimensional del mapa de la tienda.

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

mientras que el mapa desplegado es análogo al mapa de Bernoulli . Ambos mapas son topológicamente conjugados. El mapa de Bernoulli puede entenderse como el mapa que progresivamente elimina dígitos de la expansión diádica de x . A diferencia del mapa de tienda, el mapa de Baker es invertible.

Propiedades

El mapa del panadero conserva la medida de Lebesgue bidimensional .

Aplicación repetida del mapa de Baker a puntos de color rojo y azul, inicialmente separados. Después de varias iteraciones, los puntos rojo y azul parecen estar completamente mezclados.

El mapa es una mezcla fuerte y es una mezcla topológica .

El operador de transferencia asigna funciones en el cuadrado unitario a otras funciones en el cuadrado unitario; está dado por ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

El cuadrado de la unidad de origen está en la parte superior y la parte inferior muestra el resultado a medida que el cuadrado se desplaza de izquierda a derecha.

El operador de transferencia es unitario en el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en el cuadrado unitario. El espectro es continuo y, como el operador es unitario, los valores propios se encuentran en el círculo unitario. El operador de transferencia no es unitario en el espacio de funciones polinómicas en la primera coordenada e integrables al cuadrado en la segunda. En este espacio, tiene un espectro discreto, no unitario y decreciente. ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}$

Como operador de turno

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de desplazamiento bilateral de la dinámica simbólica de una red unidimensional. Consideremos, por ejemplo, la cuerda bi-infinita

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

donde cada posición en la cadena puede tomar uno de los dos valores binarios . La acción del operador de desplazamiento en esta cadena es ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

es decir, cada posición de la red se desplaza una posición hacia la izquierda. La cadena bi-infinita puede representarse mediante dos números reales como ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$

${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

y

${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.}$

En esta representación, el operador de desplazamiento tiene la forma

${\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)}$

que parece ser el mapa del panadero desplegado que se muestra arriba.

Véase también

• Proceso de Bernoulli

Referencias

• Hiroshi H. Hasagawa y William C. Saphir (1992). "Unitaridad e irreversibilidad en sistemas caóticos". Physical Review A . 46 (12): 7401–7423. Bibcode :1992PhRvA..46.7401H. CiteSeerX  10.1.1.31.9775 . doi :10.1103/PhysRevA.46.7401. PMID  9908090.
• Ronald J. Fox, "Construcción de la base de Jordan para el mapa de Baker", Chaos , 7 pág. 254 (1997) doi :10.1063/1.166226
• Dean J. Driebe, Mapas completamente caóticos y simetría temporal rota , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4 (Exposición de las funciones propias del mapa de Baker) .