Proyección Mollweide

La proyección Mollweide es una proyección cartográfica pseudocilíndrica de áreas iguales que se utiliza generalmente para mapas del mundo o de la esfera celeste . También se la conoce como proyección de Babinet , proyección homalográfica , proyección homológica y proyección elíptica . La proyección cambia la precisión del ángulo y la forma por la precisión de las proporciones en el área y, como tal, se utiliza donde se necesita esa propiedad, como en mapas que representan distribuciones globales.

La proyección fue publicada por primera vez por el matemático y astrónomo Karl (o Carl) Brandan Mollweide (1774-1825) de Leipzig en 1805. Fue reinventada y popularizada en 1857 por Jacques Babinet , quien le dio el nombre de proyección homalográfica . La variación homológica surgió del uso frecuente en los atlas estelares del siglo XIX. ^[1]

Propiedades

Mollweide es una proyección pseudocilíndrica en la que el ecuador se representa como una línea horizontal recta perpendicular a un meridiano central que tiene la mitad de la longitud del ecuador. Los otros paralelos se comprimen cerca de los polos, mientras que los otros meridianos están igualmente espaciados en el ecuador. Los meridianos a 90 grados este y oeste forman un círculo perfecto y toda la Tierra está representada en una elipse proporcional 2:1. La proporción del área de la elipse entre cualquier paralelo dado y el ecuador es la misma que la proporción del área del globo entre ese paralelo y el ecuador, pero a expensas de la distorsión de la forma, que es significativa en el perímetro del elipse, aunque no tan severa como en la proyección sinusoidal .

La distorsión de la forma se puede reducir utilizando una versión interrumpida . Una proyección sinusoidal interrumpida de Mollweide descarta el meridiano central en favor de semimeridianos alternos que terminan en ángulo recto con el ecuador. Esto tiene el efecto de dividir el globo en lóbulos. Por el contrario, una proyección paralela interrumpida de Mollweide utiliza múltiples meridianos centrales separados, dando el efecto de múltiples elipses unidas en el ecuador. Más raramente, la proyección se puede dibujar de manera oblicua para desplazar las áreas de distorsión hacia los océanos, permitiendo que los continentes sigan siendo más fieles a su forma.

La Mollweide, o sus propiedades, han inspirado la creación de varias otras proyecciones, incluida la homolosina de Goode , la de van der Grinten y la eumórfica de Boggs . ^[4]

formulación matemática

La proyección se transforma de latitud y longitud a las coordenadas del mapa xey mediante las siguientes ecuaciones: ^[5]

{\begin{aligned}x&=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \theta , \\[5px]y&=R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{aligned}}

donde θ es un ángulo auxiliar definido por

2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi \qquad (1)

y λ es la longitud, λ ₀ es el meridiano central, φ es la latitud y R es el radio del globo a proyectar. El mapa tiene un área 4 $π$ R ² , conforme al área de superficie del globo generador. La coordenada x tiene un rango de [−2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], y la coordenada y tiene un rango de [− R √ 2 , R √ 2 ].

La ecuación (1) se puede resolver con una convergencia rápida (pero lenta cerca de los polos) usando la iteración de Newton-Raphson : ^[5]

{\begin{aligned}\theta _ {0}&=\varphi ,\\\theta _ {n+1}&=\theta _ {n}-{\frac {2\theta _ {n} +\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{2+2\cos 2\theta _{n}}}.\end{aligned}}

^{[nota 1]}

Si φ = ± $π$ /2, entonces también θ = ± $π$ /2. En ese caso, se debe omitir la iteración; de lo contrario, puede resultar la división por cero .

Existe una transformación inversa de forma cerrada : ^[5]

{\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta +\sin 2\theta }{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _{0} +{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }},\end{aligned}}

donde θ se puede encontrar mediante la relación

\theta =\arcsin {\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}.\,

Las transformaciones inversas permiten encontrar la latitud y longitud correspondientes a las coordenadas del mapa x e y .

Ver también

Notas

^ La fórmula del texto ayuda al lector a confirmar que es correcta. Para el cálculo numérico se debe cambiar el denominador, comenzando con la identidad del doble ángulo.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _ {n}&=2\cos ^{2}\theta _ {n}-1,\\1+\cos 2\theta _ {n}& =2\cos ^{2}\theta _ {n},\\2+2\cos 2\theta _ {n}&=4\cos ^{2}\theta _ {n},\\\theta _ {n+1}&=\theta _ {n}-{\frac {2\theta _ {n}+\sin 2\theta _ {n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2 }\theta _{n}}}.\end{aligned}}$
En cálculo numérico, el denominador original podría resultar en cero para θ cerca de ± $π$ /2(cancelación catastrófica). Esta sustitución es cierta para todos los ángulos y evita el problema cerca de θ = ± $π$ /2sin que sea un caso especial.

Referencias

^ Aplanamiento de la Tierra: dos mil años de proyecciones cartográficas , John P. Snyder, 1993, págs. 112-113, ISBN 0-226-76747-7 .
^ Gannon, Megan (21 de diciembre de 2012). "Revelada la nueva 'imagen de bebé' del universo". Espacio.com . Consultado el 21 de diciembre de 2012 .
^ Bennett, CL; Larson, L.; Weiland, JL; Jarosk, N.; Hinshaw, N.; Odegard, N.; Smith, KM; colina, RS; Oro, B.; Halpern, M.; Komatsu, E.; Nolta, señor; Página, L.; Spegel, DN; Wollack, E.; Dunkley, J.; Kogut, A.; Limón, M.; Meyer, SS; Tucker, GS; Wright, EL (2013). "Observaciones de nueve años de la sonda de anisotropía de microondas Wilkinson (WMAP): mapas finales y resultados". Serie de suplementos de revistas astrofísicas . 208 (2): 20. arXiv : 1212.5225 . Código Bib : 2013ApJS..208...20B. doi :10.1088/0067-0049/208/2/20. S2CID 119271232.
^ Proyecciones cartográficas: manual de trabajo, documento profesional 1395 del USGS , John P. Snyder, 1987, págs.
^ abc Weisstein, Eric W. "Proyección Mollweide". MundoMatemático .

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la proyección Mollweide .

Un subprograma de Java interactivo para estudiar las deformaciones (área, distancia y ángulo) de la proyección cartográfica de Mollweide.
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