Proyección hiperelíptica de Tobler

Proyección de mapa pseudocilíndrico de áreas iguales

Proyección hiperelíptica de Tobler del mundo; α = 0, γ = 1,18314, k = 2,5

Proyección hiperelíptica de Tobler con indicatriz de deformación de Tissot ; α = 0, k = 3

La proyección hiperelíptica de Tobler es una familia de proyecciones pseudocilíndricas de áreas iguales que se pueden utilizar para mapas del mundo . Waldo R. Tobler introdujo la construcción en 1973 como proyección hiperelíptica , ahora conocida generalmente como proyección hiperelíptica de Tobler. ^[1]

Descripción general

Al igual que con cualquier proyección pseudocilíndrica, en el aspecto normal de la proyección, ^[2] los paralelos de latitud son líneas rectas paralelas . Su espaciamiento se calcula para proporcionar la propiedad de áreas iguales. La proyección combina la proyección cilíndrica de áreas iguales , que tiene meridianos rectos y verticales , con meridianos que siguen un tipo particular de curva conocida como superelipses ^[3] o curvas de Lamé o, a veces, como hiperelipses . Una hiperelipse se describe mediante , donde y son parámetros libres. La proyección hiperelíptica de Tobler se da como: ${\displaystyle x^{k}+y^{k}=\gamma ^{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=\lambda [\alpha +(1-\alpha ){\frac {(\gamma ^{k}-y^{k})^{1/k}}{\gamma }}]\\\alpha &y=\sin \varphi +{\frac {\alpha -1}{\gamma }}\int _{0}^{y}(\gamma ^{k}-z^{k})^{1/k}dz\end{aligned}}}$

donde es la longitud, es la latitud y es el peso relativo dado a la proyección cilíndrica de áreas iguales. Para una proyección puramente cilíndrica de áreas iguales, ; para una proyección con hiperelipses puras para meridianos, ; y para combinaciones ponderadas, . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Cuando y la proyección degenera en la proyección de Collignon ; cuando , , y la proyección se convierte en la proyección de Mollweide . ^[4] Tobler favoreció la parametrización que se muestra con la ilustración superior; es decir, , , y . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \gamma =4/\pi }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle k=2.5}$ ${\displaystyle \gamma \approx 1.183136}$

Véase también

• Lista de proyecciones cartográficas

Referencias

1. Snyder, John P. (1993). Aplanando la Tierra: 2000 años de proyecciones cartográficas . Chicago: University of Chicago Press . pág. 220.
2. Directorio de proyecciones cartográficas de Mapthematics
3. "Superelipse" en la enciclopedia MathWorld
4. Tobler, Waldo (1973). "Las proyecciones de mapas de áreas iguales pseudocilíndricas e hiperelípticas y otras nuevas". Journal of Geophysical Research . 78 (11): 1753–1759. Bibcode :1973JGR....78.1753T. CiteSeerX 10.1.1.495.6424 . doi :10.1029/JB078i011p01753.