Punto de Arago

Punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel.

Fotografía del punto Arago a la sombra de un obstáculo circular de 5,8 mm.

Experimento de la mancha de Arago. Una fuente puntual ilumina un objeto circular, proyectando una sombra sobre una pantalla. En el centro de la sombra aparece un punto brillante debido a la difracción , lo que contradice la predicción de la óptica geométrica .

Mancha de Arago formándose en la sombra.

Simulación numérica de la intensidad de la luz monocromática de longitud de onda λ = 0,5 μm detrás de un obstáculo circular de radio R = 5 μm = 10λ .

Formación de la mancha de Arago (seleccione "fuente WebM" para obtener buena calidad).

En óptica , el punto de Arago , punto de Poisson , ^{[1] [2]} o punto de Fresnel ^{[3] es un punto brillante que aparece en el centro de} la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel . ^{[4] [5] [6] [7]} Este punto jugó un papel importante en el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz y es una forma común de demostrar que la luz se comporta como una onda.

La configuración experimental básica requiere una fuente puntual, como un orificio iluminado o un haz láser divergente . Las dimensiones de la configuración deben cumplir con los requisitos de difracción de Fresnel . Es decir, el número de Fresnel debe satisfacer donde $${\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}$$

• d es el diámetro del objeto circular,
• ℓ es la distancia entre el objeto y la pantalla, y
• λ es la longitud de onda de la fuente.

Por último, el borde del objeto circular debe ser suficientemente liso.

Estas condiciones en conjunto explican por qué el punto brillante no se encuentra en la vida cotidiana. Sin embargo, con las fuentes láser disponibles en la actualidad, no resulta complicado realizar un experimento de punto de Arago. ^[8]

En astronomía , la mancha de Arago también se puede observar en la imagen muy desenfocada de una estrella en un telescopio newtoniano . En este caso, la estrella proporciona una fuente puntual casi ideal en el infinito y el espejo secundario del telescopio constituye el obstáculo circular.

Cuando la luz incide sobre el obstáculo circular, el principio de Huygens dice que cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente puntual de luz. La luz que proviene de puntos en la circunferencia del obstáculo y va al centro de la sombra recorre exactamente la misma distancia, por lo que toda la luz que pasa cerca del objeto llega a la pantalla en fase e interfiere constructivamente . Esto da como resultado un punto brillante en el centro de la sombra, donde la óptica geométrica y las teorías de partículas de la luz predicen que no debería haber luz en absoluto.

Historia

A principios del siglo XIX, la idea de que la luz no se propaga simplemente a lo largo de líneas rectas ganó fuerza. Thomas Young publicó su experimento de doble rendija en 1807. ^[9] El experimento original de la mancha de Arago se llevó a cabo una década después y fue el experimento decisivo para determinar si la luz es una partícula o una onda. Es, por tanto, un ejemplo de experimentum crucis .

En aquella época, muchos apoyaban la teoría corpuscular de la luz de Isaac Newton, entre ellos el teórico Siméon Denis Poisson . ^[10] En 1818, la Academia Francesa de Ciencias lanzó un concurso para explicar las propiedades de la luz, donde Poisson fue uno de los miembros del comité de jueces. El ingeniero civil Augustin-Jean Fresnel participó en este concurso presentando una nueva teoría ondulatoria de la luz . ^[11]

Poisson estudió la teoría de Fresnel en detalle y, como partidario de la teoría de partículas de la luz, buscó una forma de demostrar que era errónea. Poisson pensó que había encontrado un fallo cuando argumentó que una consecuencia de la teoría de Fresnel era que existiría un punto brillante sobre el eje en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber oscuridad total según la teoría de partículas de la luz. Esta predicción fue vista como una consecuencia absurda de la teoría ondulatoria, y el fracaso de esa predicción debería ser un argumento sólido para rechazar la teoría de Fresnel.

Sin embargo, el jefe del comité, Dominique-François-Jean Arago , decidió llevar a cabo el experimento. Moldeó un disco metálico de 2 mm sobre una placa de vidrio con cera. ^[12] Logró observar el punto previsto, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz y le dio la victoria a Fresnel. ^[13]

Arago señaló posteriormente ^[14] que el fenómeno (más tarde conocido como "mancha de Poisson" o "mancha de Arago") ya había sido observado por Delisle ^[15] y Maraldi ^[16] un siglo antes.

Aunque el resultado experimental de Arago fue una evidencia abrumadora a favor de la teoría ondulatoria, un siglo después, en conjunción con el nacimiento de la mecánica cuántica (y sugerido por primera vez en uno de los artículos Annus Mirabilis de Albert Einstein ), se entendió que la luz (así como todas las formas de materia y energía) debe describirse como una partícula y una onda ( dualidad onda-partícula ). Sin embargo, la partícula asociada con las ondas electromagnéticas, el fotón , no tiene nada en común con las partículas imaginadas en la teoría corpuscular que había sido dominante antes del surgimiento de la teoría ondulatoria y la poderosa demostración de Arago. Antes del advenimiento de la teoría cuántica a fines de la década de 1920, solo la naturaleza ondulatoria de la luz podía explicar fenómenos como la difracción y la interferencia . Hoy se sabe que un patrón de difracción aparece a través de la acumulación en forma de mosaico de puntos brillantes causados ​​por fotones individuales, como predijo la teoría cuántica de Dirac. Con el aumento de la intensidad de la luz, los puntos brillantes en el patrón de difracción en mosaico simplemente se ensamblan más rápido. Por el contrario, la teoría de ondas predice la formación de un patrón continuo extendido cuyo brillo general aumenta con la intensidad de la luz.

Teoría

Notación para calcular la amplitud de onda en el punto P ₁ desde una fuente puntual esférica en P ₀ .

En el corazón de la teoría de ondas de Fresnel se encuentra el principio de Huygens-Fresnel , que establece que cada punto no obstruido de un frente de onda se convierte en la fuente de una ondícula esférica secundaria y que la amplitud del campo óptico E en un punto de la pantalla está dada por la superposición de todas esas ondículas secundarias teniendo en cuenta sus fases relativas. ^[17] Esto significa que el campo en un punto P ₁ de la pantalla está dado por una integral de superficie: donde el factor de inclinación que asegura que las ondículas secundarias no se propaguen hacia atrás está dado por y $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$$ ${\displaystyle K(\chi )}$ $${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$$

• A es la amplitud de la onda fuente
• ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$es el numero de onda
• S es la superficie sin obstáculos.

El primer término fuera de la integral representa las oscilaciones de la onda fuente a una distancia r ₀ . De manera similar, el término dentro de la integral representa las oscilaciones de las ondículas secundarias a distancias r ₁ .

Para derivar la intensidad detrás del obstáculo circular usando esta integral, se supone que los parámetros experimentales cumplen con los requisitos del régimen de difracción de campo cercano (el tamaño del obstáculo circular es grande en comparación con la longitud de onda y pequeño en comparación con las distancias g = P ₀ C y b = CP ₁ ). Pasando a las coordenadas polares ^{[ dudoso – discutir ]} se obtiene la integral para un objeto circular de radio a (ver por ejemplo Born y Wolf ^[18] ): $${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$$

La intensidad en el eje en el centro de la sombra de un pequeño obstáculo circular converge hacia la intensidad sin obstáculos.

Esta integral se puede resolver numéricamente ^{[ dudoso – discutir ]} (ver abajo). Si g es grande y b es pequeño, de modo que el ángulo no es despreciable ^{[ dudoso – discutir ]} se puede escribir la integral para el caso sobre el eje (P ₁ está en el centro de la sombra) como (ver Sommerfeld ^[19] ): ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$$

La intensidad de la fuente , que es el cuadrado de la amplitud del campo, es y la intensidad en la pantalla . La intensidad en el eje en función de la distancia b viene dada por: ${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$ ${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$ $${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$$

Esto demuestra que la intensidad en el eje a distancias b mucho mayores que el diámetro del obstáculo circular es la misma que la intensidad de la fuente, como si el objeto circular no estuviera presente en absoluto. Sin embargo, a distancias b mayores , resulta que el tamaño del punto brillante (como se puede ver en las simulaciones a continuación, donde b/a aumenta en imágenes sucesivas) es mayor, por lo que el punto es más fácil de discernir.

Cálculo de imágenes de difracción

Para calcular la imagen de difracción completa que es visible en la pantalla, se debe considerar la integral de superficie de la sección anterior. Ya no se puede explotar la simetría circular, ya que la línea entre la fuente y un punto arbitrario en la pantalla no pasa por el centro del objeto circular. Con la función de apertura que es 1 para las partes transparentes del plano del objeto y 0 en caso contrario (es decir, es 0 si la línea directa entre la fuente y el punto en la pantalla pasa por el objeto circular que bloquea), la integral que se necesita resolver está dada por: ${\displaystyle g(r,\theta )}$ $${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}$$

El cálculo numérico de la integral utilizando la regla trapezoidal o la regla de Simpson no es eficiente y se vuelve numéricamente inestable especialmente para configuraciones con un gran número de Fresnel . Sin embargo, es posible resolver la parte radial de la integral de modo que solo quede por hacer numéricamente la integración sobre el ángulo azimutal. ^[20] Para un ángulo particular, se debe resolver la integral de línea para el rayo con origen en el punto de intersección de la línea P ₀ P ₁ con el plano del objeto circular. La contribución para un rayo particular con ángulo azimutal y que pasa por una parte transparente del plano del objeto desde a es: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle r=t}$ $${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$$

Por lo tanto, para cada ángulo hay que calcular el punto o los puntos de intersección del rayo con el objeto circular y luego sumar las contribuciones para una cierta cantidad de ángulos entre 0 y . Los resultados de dicho cálculo se muestran en las siguientes imágenes. ${\displaystyle I(\theta _{1})}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Las imágenes son simulaciones de la mancha de Arago en la sombra de discos de 4 mm, 2 mm y 1 mm de diámetro, fotografiados a 1 m detrás de cada disco. Los discos están iluminados por luz con una longitud de onda de 633 nm, que diverge desde un punto situado a 1 m delante de cada disco. Cada imagen tiene un ancho de 16 mm.

Aspectos experimentales

Intensidad y tamaño

En el caso de una fuente puntual ideal , la intensidad del punto de Arago es igual a la del frente de onda no perturbado . Solo el ancho del pico de intensidad del punto de Arago depende de las distancias entre la fuente, el objeto circular y la pantalla, así como de la longitud de onda de la fuente y del diámetro del objeto circular. Esto significa que se puede compensar una reducción en la longitud de onda de la fuente aumentando la distancia entre el objeto circular y la pantalla o reduciendo el diámetro del objeto circular.

La distribución de intensidad lateral en la pantalla tiene de hecho la forma de una función de Bessel cuadrada cero de primer tipo cuando está cerca del eje óptico y se utiliza una fuente de onda plana (fuente puntual en el infinito): ^[21] donde $${\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}$$

• r es la distancia del punto P ₁ en la pantalla desde el eje óptico
• d es el diámetro del objeto circular
• λ es la longitud de onda
• b es la distancia entre el objeto circular y la pantalla.

Las siguientes imágenes muestran la distribución de intensidad radial de las imágenes simuladas del punto Arago arriba:

Las líneas rojas en estos tres gráficos corresponden a las imágenes simuladas anteriores, y las líneas verdes se calcularon aplicando los parámetros correspondientes a la función de Bessel al cuadrado indicada anteriormente.

Tamaño finito de la fuente y coherencia espacial

La razón principal por la que la mancha de Arago es difícil de observar en sombras circulares de fuentes de luz convencionales es que dichas fuentes de luz son malas aproximaciones de fuentes puntuales. Si la fuente de onda tiene un tamaño finito S , entonces la mancha de Arago tendrá una extensión que viene dada por Sb / g , como si el objeto circular actuara como una lente. ^[17] Al mismo tiempo, la intensidad de la mancha de Arago se reduce con respecto a la intensidad del frente de onda no perturbado. Definiendo la intensidad relativa como la intensidad dividida por la intensidad del frente de onda no perturbado, la intensidad relativa para una fuente circular extendida de diámetro w se puede expresar exactamente utilizando la siguiente ecuación: ^[22] donde y son las funciones de Bessel del primer tipo. es el radio del disco que proyecta la sombra, la longitud de onda y la distancia entre la fuente y el disco. Para fuentes grandes se aplica la siguiente aproximación asintótica: ^[22] ${\displaystyle I_{\text{rel}}}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}$$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}$$

Desviación de la circularidad

Si la sección transversal del objeto circular se desvía ligeramente de su forma circular (pero aún tiene un borde afilado en una escala más pequeña), la forma del punto de Arago de la fuente puntual cambia. En particular, si el objeto tiene una sección transversal elipsoidal, el punto de Arago tiene la forma de una evoluta . ^[23] Tenga en cuenta que esto solo es así si la fuente está cerca de una fuente puntual ideal. A partir de una fuente extendida, el punto de Arago solo se ve afectado marginalmente, ya que se puede interpretar el punto de Arago como una función de dispersión puntual . Por lo tanto, la imagen de la fuente extendida solo se descolora debido a la convolución con la función de dispersión puntual, pero no disminuye en intensidad general.

Rugosidad de la superficie de un objeto circular

El punto de Arago es muy sensible a desviaciones de pequeña escala con respecto a la sección transversal circular ideal. Esto significa que una pequeña cantidad de rugosidad superficial del objeto circular puede anular por completo el punto brillante. Esto se muestra en los siguientes tres diagramas que son simulaciones del punto de Arago a partir de un disco de 4 mm de diámetro ( g = b = 1 m ):

La simulación incluye una ondulación sinusoidal regular de forma circular con amplitudes de 10 μm, 50 μm y 100 μm, respectivamente. Nótese que la ondulación del borde de 100 μm elimina casi por completo el punto brillante central.

Este efecto se puede entender mejor utilizando el concepto de zona de Fresnel . El campo transmitido por un segmento radial que se origina en un punto en el borde del obstáculo proporciona una contribución cuya fase es estrecha respecto de la posición del punto del borde en relación con las zonas de Fresnel. Si la variación en el radio del obstáculo es mucho menor que el ancho de la zona de Fresnel cerca del borde, las contribuciones de los segmentos radiales están aproximadamente en fase e interfieren de manera constructiva. Sin embargo, si la ondulación aleatoria del borde tiene una amplitud comparable o mayor que el ancho de esa zona de Fresnel adyacente, las contribuciones de los segmentos radiales ya no están en fase y se cancelan entre sí, lo que reduce la intensidad del punto Arago.

La zona de Fresnel adyacente está dada aproximadamente por: ^[24] $${\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}$$

La ondulación del borde no debe ser mucho mayor que el 10 % de este ancho para ver un punto Arago casi ideal. En las simulaciones anteriores con el disco de 4 mm de diámetro, la zona de Fresnel adyacente tiene un ancho de aproximadamente 77 μm.

Mancha de Arago con ondas de materia

En 2009, se demostró el experimento de la mancha de Arago con un haz de expansión supersónico de moléculas de deuterio (un ejemplo de ondas de materia neutra ). ^[24] Las partículas materiales que se comportan como ondas se conocen a partir de la mecánica cuántica . La naturaleza ondulatoria de las partículas en realidad se remonta a la hipótesis de De Broglie ^[25], así como a los experimentos de Davisson y Germer . ^[26] Una mancha de Arago de electrones, que también constituyen ondas de materia, se puede observar en microscopios electrónicos de transmisión al examinar estructuras circulares de un cierto tamaño.

La observación de un punto de Arago con moléculas grandes, demostrando así su naturaleza ondulatoria, es un tema de investigación actual. ^[24]

Otras aplicaciones

Además de la demostración del comportamiento de las ondas, el punto de Arago también tiene otras aplicaciones. Una de las ideas es utilizar el punto de Arago como una referencia de línea recta en sistemas de alineación. ^[27] Otra es investigar aberraciones en rayos láser utilizando la sensibilidad del punto a las aberraciones del haz . ^[21] Finalmente, el aragoscopio se ha propuesto como un método para mejorar drásticamente la resolución limitada por difracción de los telescopios espaciales. ^{[28] [29]}

Véase también

• Aragoscopio
• Disco de ocultación

Referencias

1. Law, Jonathan; Rennie, Richard (2015), "La mancha de Poisson", Diccionario de física , Oxford University Press , pág. 444, ISBN 978-0198714743, SBN-10: 0198714742
2. Hecht, Eugene; Zajac, Alfred (1974), "10.3, "Difracción",", Óptica (1.ª ed.), Addison Wesley , pág. 374, ISBN 0-201-02835-2
3. "Aunque este fenómeno se denomina a menudo punto de Poisson, Poisson probablemente no estaba contento de haberlo visto porque apoyaba el modelo ondulatorio de la luz. El punto se denomina a veces punto de Fresnel porque es una consecuencia directa de su trabajo, y punto de Arago porque Arago ideó el experimento que confirmó su existencia". Katz, Debora M., Física para científicos e ingenieros: Fundamentos y conexiones, edición avanzada, volumen 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203 
4. Pedrotti, Frank L.; Pedrotti, Leno S.; Pedrotti, Leno M. (2007), Introducción a la óptica (3.ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Education , pág. 315, ISBN 978-0-13-149933-1
5. Walker, Jearl (2008), Fundamentos de física (8.ª ed.), John Wiley & Sons , pág. 992, ISBN 978-0-470-04472-8
6. Ohanian, Hans (1989), Física (2.ª ed.), WW Norton , pág. 984, ISBN 0-393-95786-1
7. Hecht, Eugene (2002), Óptica (4ª ed.), Pearson Education, p. 494, ISBN 0-321-18878-0
8. "Mancha de Poisson".
9. Young, Thomas (1807), Un curso de conferencias sobre filosofía natural y artes mecánicas, Londres: Joseph Johnson, ISBN 9780384704060
10. Newton, Isaac (1704), Opticks: o un tratado sobre las reflexiones, refracciones, inflexiones y colores de la luz, Londres: Royal Society
11. Fresnel, AJ (1868), OEuvres Completes 1, París: Imprimerie impériale
12. Fresnel 1868, pág. 369
13. Aragó (1819). "Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été chargée d'examiner les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la difraction" [Informe presentado por el Sr. Arago a la Academia de Ciencias en nombre de la comisión encargada de examinar las memorias presentadas al concurso para el premio de difracción.]. Annales de Chimie et de Physique . 2da serie (en francés). 11 : 5–30.De la pág. 16: "L'un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur, le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait, lorsque les rayons y pénétraient sous des incidencias peu obliques, être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas. Esta conséquence a été soumise à l'épreuve d'une expérience directe, et l'observation a parfaitement confirmé le calculé (e). (Uno de sus comisionados, el Sr. Poisson, había deducido de las integrales [que habían sido] reportadas por el autor [es decir, el Sr. Fresnel], el extraño resultado de que el centro de la sombra de una pantalla circular opaca debería —cuando la Los rayos de luz penetran en ella (es decir, en la sombra) con incidencias ligeramente oblicuas, y se iluminan como si la pantalla no existiera. Este resultado se ha sometido a la prueba de un experimento directo y la observación ha confirmado perfectamente el cálculo. mi).)
14. Arago, F. "Mémoire sur la méthode des interférences appliquée à la recherche des indices de réfraction". Obras completas . págs. 312–334. Cuando un cuerpo opaco está colocado en un marco de luz, su ombre está bordeado en el exterior de bandas de diversos matices y de diversos tamaños. Ces bandes ont été étudiées par Newton dans le premier livre de son Optique; mais ce célèbre physicien ne parle pas des bandes non moins remarquables qui se forment dans l'intérieur de l'ombre des corps déliés, quoique Grimaldi en eût déjà donné una descripción detallada dans son ouvrage, et il afirme même positivment qu'aucune lumière ne pénètre dans l'ombre géométrique. La inexactitud de este resultado fut suffisamment prouvée par Maraldi et De l'Isle, qui, du reste, n'ajoutèrent rien de Saillant à ce que Grimaldi avait decouvert longtemps avant. [Cuando un cuerpo opaco se coloca bajo un haz de luz, su sombra está bordeada por fuera por bandas de diversos tonos y anchos. Estas bandas fueron estudiadas por Newton en el primer libro de su Óptica; pero este famoso físico no habla de las bandas no menos notables que se forman en el interior de la sombra de los cuerpos sueltos, aunque Grimaldi ya había dado una descripción detallada de ellas en Su obra, e incluso afirma positivamente que ninguna luz entra en la sombra geométrica. La inexactitud de este resultado fue suficientemente demostrada por Maraldi y De l'Isle, quienes, por otra parte, no añadieron nada destacable a lo que Grimaldi había descubierto mucho antes.]
15. Delisle, J.-N. (1715). "Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'on apperçoit autour de la lune dans les eclipses totales du soleil" [Sobre la experiencia que informé a la Academia sobre un anillo luminoso similar al que se ve alrededor de la luna durante un eclipse solar total]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 166–169. Delisle menciona que cuando una pequeña bola era iluminada por la luz del sol, la sombra de la bola contenía anillos brillantes y oscuros alternados concéntricos con el centro de la sombra de la bola.
16. Maraldi, GF (1723). "Diverses expèriences d'optique" [Varios experimentos ópticos]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 111–143. De la pág. 140: "La luz más grande en el medio de las bolas más pequeñas, hace ver que el círculo gira en más grande abundancia y más fácilmente alrededor de las bolas más pequeñas que alrededor de las grandes". (Más luz en el medio de las bolas más pequeñas muestra que [es decir, la luz] se propaga en mayor abundancia y más fácilmente alrededor de las bolas pequeñas que alrededor de las grandes.) La Fig. 8 en la Lámina 6 (después de la pág. 142) muestra la luz en el centro de la sombra de una bola (en el régimen donde el punto y sus bordes cubren la mayor parte de la sombra).
17. Sommerfeld, Arnold (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (en alemán), vol. 4 (3.ª ed.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8
18. Born, Max; Wolf, Emil (1999), Principios de óptica (7.ª edición ampliada), Cambridge University Press , ISBN 0-521-64222-1
19. Sommerfeld 1978, pág. 186
20. Dauger, DE (noviembre de 1996), "Simulación y estudio de la difracción de Fresnel para aperturas bidimensionales arbitrarias", Computers in Physics , 10 (6), AIOP: 591–604, Bibcode :1996ComPh..10..591D, doi : 10.1063/1.168584
21. Harvey, James E.; Forgham, James L. (1984), "La mancha de Arago: Nueva relevancia para un viejo fenómeno", American Journal of Physics , 52 (3), AAPT: 243–247, Bibcode :1984AmJPh..52..243H, doi :10.1119/1.13681, archivado desde el original el 23 de febrero de 2013
22. Reisinger, T; Leufke, PM; Gleiter, H; Hahn, H (14 de marzo de 2017). "Sobre la intensidad relativa de la mancha de Poisson". New Journal of Physics . 19 (3): 033022. Bibcode :2017NJPh...19c3022R. doi : 10.1088/1367-2630/aa5e7f . ISSN  1367-2630.
23. Coulson, John; Becknell, GG (1922), "Relaciones de difracción recíproca entre placas circulares y elípticas", Phys. Rev. , 20 (6), American Physical Society : 594–600, Bibcode :1922PhRv...20..594C, doi :10.1103/PhysRev.20.594
24. Reisinger, Thomas; Patel, A. Amil; Reingruber, Herbert; Fladischer, Katrin; Ernst, Wolfgang E.; Bracco, Gianangelo; Smith, Henry I.; Holst, Bodil (2009), "Punto de Poisson con moléculas" (PDF) , Phys. Rev. A , 79 (5), American Physical Society: 053823, Bibcode :2009PhRvA..79e3823R, doi :10.1103/PhysRevA.79.053823, hdl : 1721.1/51340
25. de Broglie, Louis (1923), "Ondas y cuantos", Nature , 112 (2815): 540, Bibcode :1923Natur.112..540D, doi : 10.1038/112540a0 , S2CID  4082518
26. Davisson, C.; Germer, L. (1927), "Difracción de electrones por un cristal de níquel", Nature , 119 (2998): 558, Bibcode :1927Natur.119..558D, doi :10.1038/119558a0, S2CID  4104602
27. Feier y otros.
28. "El aragoscopio: óptica de ultraalta resolución a bajo costo". NASA . Consultado el 9 de febrero de 2017 .
29. "Un nuevo concepto de telescopio espacial podría captar objetos con una resolución mucho mayor que la del Hubble". CU Bolder Today . 23 de enero de 2015 . Consultado el 9 de febrero de 2017 .