Métodos directos (microscopía electrónica)

En cristalografía , los métodos directos son un conjunto de técnicas utilizadas para la determinación de la estructura utilizando datos de difracción e información a priori . Es una solución al problema de la fase cristalográfica , donde la información de fase se pierde durante una medición de difracción. Los métodos directos proporcionan un método para estimar la información de fase estableciendo relaciones estadísticas entre la información de amplitud registrada y las fases de reflexiones fuertes .

Fondo

Problema de fase

En la difracción de electrones , se produce un patrón de difracción mediante la interacción del haz de electrones y el potencial cristalino . La información del espacio real y del espacio recíproco sobre una estructura cristalina se puede relacionar a través de las relaciones de transformada de Fourier que se muestran a continuación, donde está en el espacio real y corresponde al potencial cristalino, y es su transformada de Fourier en el espacio recíproco. Los vectores y son vectores de posición en el espacio real y recíproco, respectivamente. ${\displaystyle f({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle F({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle {\textbf {k}}}$

${\displaystyle f({\textbf {r}})=\int _{-\infty }^{\infty }F({\textbf {k}})e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}dk}$

${\displaystyle F({\textbf {k}})=\int _{-\infty }^{\infty }f({\textbf {r}})e^{-2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}dr}$

${\displaystyle F({\textbf {k}})}$, también conocido como factor de estructura , es la transformada de Fourier de una función periódica tridimensional (es decir, el potencial cristalino periódico) y define la intensidad medida durante un experimento de difracción . también se puede escribir en forma polar , donde es una reflexión específica en el espacio recíproco. tiene un término de amplitud (es decir, ) y un término de fase (es decir, ). El término de fase contiene la información de posición en esta forma. ${\displaystyle F({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle F({\textbf {g}})}$ ${\displaystyle {\textbf {g}}}$ ${\displaystyle F({\textbf {g}})}$ ${\displaystyle |F({\textbf {g}})|}$ ${\displaystyle e^{i\phi _{g}}}$

${\displaystyle F({\textbf {g}})=|F({\textbf {g}})|e^{i\phi _{g}}}$

Durante un experimento de difracción, la intensidad de las reflexiones se mide como : ${\displaystyle I({\textbf {g}})}$

${\displaystyle I({\textbf {g}})=|F({\textbf {g}})|^{2}}$

Este es un método sencillo para obtener el término de amplitud del factor de estructura. Sin embargo, se pierde el término de fase, que contiene información de posición del potencial del cristal.

De manera análoga, para la difracción de electrones realizada en un microscopio electrónico de transmisión , la función de onda de salida del haz de electrones del cristal en el espacio real y recíproco se puede escribir respectivamente como:

${\displaystyle \psi ({\textbf {r}})=a({\textbf {r}})e^{-i\phi ({\textbf {r}})}}$

${\displaystyle \Psi ({\textbf {u}})=A({\textbf {u}})e^{-i\phi ({\textbf {u}})}}$

Donde y son términos de amplitud, los términos exponenciales son términos de fase y es un vector espacial recíproco. Cuando se mide un patrón de difracción, solo se pueden extraer las intensidades. Una medición obtiene un promedio estadístico de los módulos : ${\displaystyle a({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle A({\textbf {u}})}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$

${\displaystyle I({\textbf {r}})=\langle |\psi ({\textbf {r}})|^{2}\rangle =\langle |a({\textbf {r}})|^{2}\rangle }$

${\displaystyle I({\textbf {u}})=\langle |\Psi ({\textbf {u}})|^{2}\rangle =\langle |A({\textbf {u}})|^{2}\rangle }$

En este caso, también queda claro que los términos de fase se pierden al realizar mediciones en un experimento de difracción de electrones. Esto se conoce como el problema de fase cristalográfica.

Historia

En 1952, David Sayre introdujo la ecuación de Sayre , un constructo que relacionaba las fases conocidas de ciertos haces difractados para estimar la fase desconocida de otro haz difractado. ^[1] En el mismo número de Acta Crystallographica , Cochran y Zachariasen también derivaron de forma independiente relaciones entre los signos de diferentes factores de estructura. ^{[2] [3] Otros científicos, incluidos} Hauptman y Karle , realizaron avances posteriores que llevaron a que Hauptman y Karle recibieran el Premio Nobel de Química (1985) por su desarrollo de métodos directos para la determinación de estructuras cristalinas. ^[4]

Comparación con los métodos directos de rayos X

La mayoría de los métodos directos se desarrollaron para la difracción de rayos X. Sin embargo, la difracción de electrones tiene ventajas en varias aplicaciones. La difracción de electrones es una técnica poderosa para analizar y caracterizar partículas , moléculas y proteínas de tamaño nanométrico y micrométrico . Si bien la difracción de electrones suele ser dinámica y más compleja de entender en comparación con la difracción de rayos X, que suele ser cinemática , existen casos específicos (que se detallan más adelante) que tienen condiciones suficientes para aplicar métodos directos para la determinación de la estructura.

Teoría

Ecuación unitaria de Sayre

La ecuación de Sayre se desarrolló bajo ciertas suposiciones extraídas de información sobre la estructura cristalina, específicamente que todos los átomos considerados son idénticos y que existe una distancia mínima entre ellos. ^[1] Un concepto clave de la ecuación de Sayre, denominada "método de la cuadratura", es que al elevar al cuadrado la función de densidad electrónica (para la difracción de rayos X) o la función de potencial cristalino (para la difracción de electrones) se obtiene una función que se asemeja a la función original no cuadrada de picos idénticos y resueltos. Al hacerlo, se refuerzan las características atómicas del cristal.

Considere el factor de estructura en la siguiente forma, donde es el factor de dispersión atómica para cada átomo en la posición , y es la posición del átomo : ${\displaystyle F({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle f({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle {\textbf {k}}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle F({\textbf {k}})=\sum _{l}f({\textbf {k}})e^{2\pi {\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}}$

Esto se puede convertir al factor de estructura unitario dividiéndolo por N (el número de átomos) y : ${\displaystyle U({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle f({\textbf {k}})}$

${\displaystyle U({\textbf {k}})={\frac {1}{N}}\sum _{l}e^{2\pi {\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}}$

Esto se puede reescribir alternativamente en el espacio real y recíproco como:

${\displaystyle u({\textbf {r}})={\frac {1}{N}}\sum _{l}\delta ({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{l})=Nu({\textbf {r}})^{2}}$

${\displaystyle U({\textbf {k}})=N\sum _{h}U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})}$

Esta ecuación es una variación de la ecuación de Sayre. Según esta ecuación, si se conocen las fases de y , entonces se conoce la fase de . ${\displaystyle U({\textbf {k-h}})}$ ${\displaystyle U({\textbf {h}})}$ ${\displaystyle U({\textbf {k}})}$

Relación de fase triplete

La relación de fase triplete es una ecuación que relaciona directamente dos fases conocidas de haces difractados con la fase desconocida de otro. Esta relación se puede derivar fácilmente mediante la ecuación de Sayre, pero también se puede demostrar mediante relaciones estadísticas entre los haces difractados, como se muestra aquí.

Para átomos distribuidos aleatoriamente , se cumple lo siguiente:

${\displaystyle N\langle U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{l}e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}=U({\textbf {k}})}$

Quiere decir que si:

${\displaystyle U({\textbf {k}})\approx N\langle U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})\rangle }$

Entonces:

${\displaystyle |U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|^{2}=|U({\textbf {k}})|^{2}+N^{2}|U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|^{2}-2N|U({\textbf {k}})U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}$

En la ecuación anterior, y se conocen los módulos del lado derecho. Los únicos términos desconocidos están contenidos en el término coseno que incluye las fases. Aquí se puede aplicar el teorema del límite central , que establece que las distribuciones tienden a tener forma gaussiana . Al combinar los términos de los módulos conocidos, se puede escribir una función de distribución que depende de las fases: ${\displaystyle \langle |U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|^{2}\rangle =0}$

${\displaystyle P(U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}}))\approx Ce^{-|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|^{2}}}$

${\displaystyle P(U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}}))\approx De^{2N|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}}$

Esta distribución se conoce como distribución de Cochran. ^[5] La desviación estándar de esta función gaussiana escala con el recíproco de los factores de estructura unitaria. Si son grandes, entonces la suma en el término coseno debe ser:

${\displaystyle \phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}})\approx 2n\pi ,~~n=0,1,2...}$

${\displaystyle \phi ({\textbf {k}})\approx \phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}})}$

Esto se denomina relación de fase triplete ( ). Si se conocen las fases y , se puede estimar la fase. ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle \phi ({\textbf {k-h}})}$ ${\displaystyle \phi ({\textbf {h}})}$ ${\displaystyle \phi ({\textbf {k}})}$

Fórmula de la tangente

La fórmula de la tangente fue derivada por primera vez en 1955 por Jerome Karle y Herbert Hauptman ^[4] . Relacionaba las amplitudes y fases de haces difractados conocidos con la fase desconocida de otro. En este caso, se deriva utilizando la distribución de Cochran.

${\displaystyle \prod _{h}P(U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}}))\approx 2NCe^{\sum _{h}|U({\textbf {k}})U({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}}$

El valor más probable de se puede encontrar tomando la derivada de la ecuación anterior, lo que da una variante de la fórmula de la tangente: ^[6] ${\displaystyle \phi ({\textbf {h}})}$

${\displaystyle tan(\varphi ({\textbf {k}}))\approx {\frac {\sum _{h}|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|sin\phi ({\textbf {k-h}})+\phi ({\textbf {h}})}{\sum _{h}|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|cos\phi ({\textbf {k-h}})+\phi ({\textbf {h}})}}}$

Consideraciones prácticas

La base del problema de fase es que la información de fase es más importante que la información de amplitud a la hora de recuperar una imagen. Esto se debe a que el término de fase del factor de estructura contiene las posiciones. Sin embargo, no es necesario recuperar la información de fase con total precisión. A menudo, incluso con errores en las fases, es posible determinar la estructura completa. Asimismo, los errores de amplitud no afectarán gravemente la precisión de la determinación de la estructura.

Condiciones suficientes

Para aplicar métodos directos a un conjunto de datos y determinar con éxito la estructura, deben cumplirse condiciones razonables suficientes en las condiciones experimentales o las propiedades de la muestra. A continuación se describen varios casos. ^[6]

• Difracción cinemática

Una de las razones por las que se desarrollaron originalmente los métodos directos para analizar la difracción de rayos X es porque casi toda la difracción de rayos X es cinemática. Si bien la mayor parte de la difracción de electrones es dinámica, lo que es más difícil de interpretar, existen casos en los que se pueden medir intensidades de dispersión principalmente cinemáticas . Un ejemplo específico es la difracción de superficie en la orientación de vista en planta. Al analizar la superficie de una muestra en vista en planta, la muestra a menudo se inclina con respecto a un eje de zona para aislar los haces difractados de la superficie de los del volumen. Lograr condiciones cinemáticas es difícil en la mayoría de los casos, ya que se requieren muestras muy delgadas para minimizar la difracción dinámica.

• Difracción cinemática estadística

Aunque la mayoría de los casos de difracción de electrones son dinámicos, aún es posible lograr una dispersión que sea estadísticamente cinemática por naturaleza. Esto es lo que permite el análisis de materiales amorfos y biológicos , donde la dispersión dinámica de fases aleatorias se suma para ser casi cinemática. Además, como se explicó anteriormente, no es crítico recuperar la información de fase con total precisión. Los errores en la información de fase son tolerables.

Recordando la distribución de Cochran y considerando un logaritmo de esa distribución:

${\displaystyle D(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))=A({\textbf {k,h}}){\sqrt[{}]{I({\textbf {k}})I({\textbf {k-h}})I({\textbf {h}})}}\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}$

${\displaystyle D(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))=B({\textbf {k,h}})cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}$

En la distribución anterior, contiene términos de normalización , los términos son las intensidades experimentales y contiene ambos para simplificar. Aquí, las fases más probables maximizarán la función . Si las intensidades son suficientemente altas y la suma en el término coseno permanece , entonces también será grande, maximizando así . Con una distribución estrecha como esta, los datos de dispersión estarán estadísticamente dentro del ámbito de la consideración cinemática. ${\displaystyle A({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle I({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle B({\textbf {k,h}})}$ ${\displaystyle D({\textbf {k,h}})}$ ${\displaystyle \approx 0}$ ${\displaystyle B({\textbf {k,h}})}$ ${\displaystyle D({\textbf {k,h}})}$

• Mapeo de intensidad

Consideremos dos haces dispersos con diferentes intensidades. La magnitud de sus intensidades deberá relacionarse con la amplitud de sus factores de dispersión correspondientes mediante la relación:

${\displaystyle I({\textbf {k}})>I({\textbf {k'}})~~iff~|F({\textbf {k}})|>|F({\textbf {k'}})|}$

Sea ) una función que relaciona la intensidad con la fase para el mismo haz, donde contiene términos de normalización: ${\displaystyle T({\textbf {k}}}$ ${\displaystyle N({\textbf {k}})}$

${\displaystyle T({\textbf {k}})=e^{i\phi ({\textbf {k}})}{\sqrt[{}]{I({\textbf {k}})}}/N({\textbf {k}})}$

Entonces, la distribución de valores estará directamente relacionada con los valores de . Es decir, cuando el producto es grande o pequeño, también será grande y pequeño. Por lo tanto, las intensidades observadas se pueden utilizar para estimar razonablemente las fases de los haces difractados. La intensidad observada se puede relacionar con el factor de estructura de manera más formal utilizando la fórmula de Blackman . ^[7] ${\displaystyle T({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle F({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle |F({\textbf {k}})F({\textbf {k-h}})F({\textbf {h}})|}$ ${\displaystyle |T({\textbf {k}})T({\textbf {k-h}})T({\textbf {h}})|}$

Otros casos a considerar para el mapeo de intensidad son los experimentos de difracción específicos, incluyendo la difracción de polvo y la difracción de electrones de precesión . Específicamente, la difracción de electrones de precesión produce un patrón de difracción cuasi-cinemático que puede usarse adecuadamente en métodos directos.

• Dispersión dominada

En algunos casos, la dispersión de una muestra puede estar dominada por un tipo de átomo. Por lo tanto, la onda de salida de la muestra también estará dominada por ese tipo de átomo. Por ejemplo, la onda de salida y la intensidad de una muestra dominada por la canalización se pueden escribir en el espacio recíproco en la forma:

${\displaystyle \Psi ({\textbf {k}})=A({\textbf {k}})\sum _{l}e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}}$

${\displaystyle I({\textbf {k}})=|A({\textbf {k}})|^{2}{\bigg |}\sum _{l}e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}{\bigg |}^{2}}$

${\displaystyle A({\textbf {k}})}$es la transformada de Fourier de , que es compleja y representa la forma de un átomo, dada por los estados de canalización (por ejemplo, 1s, 2s, etc.). es real en el espacio recíproco y compleja en el plano del objeto. Si , una función simétrica conjugada , se sustituye por , entonces es factible recuperar características similares a las de un átomo del plano del objeto : ${\displaystyle a({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle A({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle B({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle A({\textbf {k}})}$

${\displaystyle B({\textbf {k}})=S({\textbf {k}})|A({\textbf {k}})|,where~S({\textbf {k}})=\pm 1}$

En el plano del objeto, la transformada de Fourier de será un pseudoátomo real y simétrico ( ) en las posiciones de la columna atómica. satisfará las restricciones atomísticas siempre que sean razonablemente pequeños y estén bien separados, satisfaciendo así algunas restricciones requeridas para implementar métodos directos. ${\displaystyle B({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle b({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle b({\textbf {r}})}$

Implementación

Los métodos directos son un conjunto de rutinas para la determinación de estructuras. Para resolver con éxito una estructura, se han desarrollado varios algoritmos para métodos directos. A continuación, se explica una selección de ellos.

Gerchberg-Saxton

El algoritmo de Gerchberg-Saxton fue desarrollado originalmente por Gerchberg y Saxton para resolver la fase de funciones de onda con intensidades conocidas tanto en el plano de difracción como en el de imagen. ^[8] Sin embargo, se ha generalizado para cualquier información en el espacio real o recíproco. Aquí se detalla una generalización que utiliza información de difracción de electrones. Como se ilustra en la imagen de la derecha, ^[6] se pueden imponer sucesivamente restricciones de espacio real y recíprocas en una estimación inicial hasta que converja a una solución factible.

Algoritmo generalizado de Gerchberg-Saxton para métodos directos con difracción de electrones. Mediante la aplicación sucesiva de restricciones, el algoritmo finalmente convergerá hacia una posible solución. Modificado de. ^[6]

Restricciones

Las restricciones pueden ser físicas o estadísticas. Por ejemplo, el hecho de que los datos se produzcan mediante un experimento de dispersión en un microscopio electrónico de transmisión impone varias restricciones, entre ellas la atomicidad, las longitudes de enlace , la simetría y la interferencia. Las restricciones también pueden ser de origen estadístico, como se mostró anteriormente con la distribución de Cochran y la relación de fase de triplete ( ). ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Según Combettes, los problemas de recuperación de imágenes pueden considerarse como un problema de viabilidad convexa . ^[9] Esta idea fue adaptada por Marks et al. al problema de fase cristalográfica. ^[10] Con un enfoque de conjunto factible , las restricciones pueden considerarse convexas (altamente convergentes) o no convexas (débilmente convergentes). La imposición de estas restricciones con el algoritmo detallado anteriormente puede converger hacia soluciones únicas o no únicas , dependiendo de la convexidad de las restricciones.

Ejemplos

Se han utilizado métodos directos con conjuntos de datos de difracción de electrones para resolver una variedad de estructuras. Como se mencionó anteriormente, las superficies son uno de los casos en la difracción de electrones donde la dispersión es cinemática. Como tal, muchas estructuras de superficie se han resuelto mediante métodos directos de difracción de rayos X y de electrones, incluidas muchas de las superficies de silicio , óxido de magnesio , germanio , cobre y titanato de estroncio . ^{[11] [12] [13]}

Más recientemente, se han desarrollado métodos para métodos automatizados de difracción de electrones tridimensionales, como la tomografía de difracción automatizada y la difracción de electrones de rotación. Estas técnicas se han utilizado para obtener datos para la solución de estructuras a través de métodos directos y se han aplicado para zeolitas , termoeléctricos , óxidos , estructuras metalorgánicas , compuestos orgánicos e intermetálicos . ^[14] En algunos de estos casos, las estructuras se resolvieron en combinación con datos de difracción de rayos X, lo que las convierte en técnicas complementarias.

Además, se ha obtenido cierto éxito utilizando métodos directos para la determinación de la estructura con la técnica de microscopía crioelectrónica Difracción de Electrones de Microcristales (MicroED) . ^[15] La MicroED se ha utilizado para una variedad de materiales, incluidos fragmentos de cristales, proteínas y enzimas . ^[16]

Software

Dirdifícil

DIRDIF es un programa informático para la determinación de estructuras mediante el uso de la función de Patterson y métodos directos aplicados a factores de estructura diferencial. Fue publicado por primera vez por Paul Beurkens y sus colegas de la Universidad de Nijmegen en 1999. Está escrito en Fortran y se actualizó por última vez en 2008. Se puede utilizar para estructuras con átomos pesados, estructuras de moléculas con geometrías parcialmente conocidas y para ciertas estructuras de casos especiales. Se puede encontrar información detallada en su sitio web: http://www.xtal.science.ru.nl/dirdif/software/dirdif.html.

Electroerosión

E lectron Direct Methods es un conjunto de programas desarrollados en la Universidad Northwestern por el profesor Laurence Marks . Lanzado por primera vez en 2004, su lanzamiento más reciente fue la versión 3.1 en 2010. Escrito en C++ , C y Fortran 77, EDM es capaz de realizar el procesamiento de imágenes de microscopía electrónica de alta resolución y patrones de difracción y métodos directos. Tiene una licencia GNU estándar y es libre de usar o modificar para fines no comerciales . Utiliza un enfoque de conjunto factible ^[10] y búsqueda de algoritmos genéticos para resolver estructuras utilizando métodos directos, y también tiene capacidades de simulación de imágenes de microscopía electrónica de transmisión de alta resolución . Puede encontrar más información en el sitio web: http://www.numis.northwestern.edu/edm/index.shtml. El código ya no se está desarrollando.

OASIS

OASIS fue escrito por primera vez por varios científicos de la Academia China de Ciencias en Fortran 77. La versión más reciente es la 4.2 en 2012. Es un programa para el método directo de phasing de estructuras de proteínas. El acrónimo OASIS representa dos de sus aplicaciones: phasing o phasing de una longitud de onda anómala o phasing de sustitución isomorfa simple . Reduce el problema de la fase a un problema de signo al localizar los sitios atómicos de dispersores anómalos o sustituciones de átomos pesados. Se pueden encontrar más detalles en el sitio web: http://cryst.iphy.ac.cn/Project/IPCAS1.0/user_guide/oasis.html.

SEÑOR

El conjunto de programas SIR ( representación de seminvariantes ) fue desarrollado para resolver las estructuras cristalinas de moléculas pequeñas. SIR se actualiza y se lanza con frecuencia; la primera versión se publicó en 1988 y la última en 2014. Es capaz de realizar métodos directos tanto ab initio como no ab initio . El programa está escrito en Fortran y C++ y es gratuito para uso académico. SIR se puede utilizar para la determinación de la estructura cristalina de moléculas y proteínas de tamaño pequeño a mediano a partir de datos de difracción de rayos X o de electrones. Puede encontrar más información en su sitio web: http://www.ba.ic.cnr.it/softwareic/sir2014/.

Véase también

• Cristalografía
• Microscopía electrónica de transmisión
• Difracción
• Difracción de electrones de precesión
• Difracción dinámica
• Cristalografía electrónica
• Difracción de electrones
• Difracción de electrones de microcristales

Referencias

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2. Cochran, W. (1 de enero de 1952). "Una relación entre los signos de los factores estructurales". Acta Crystallographica . 5 (1): 65–67. doi :10.1107/S0365110X52000149.
3. Zachariasen, WH (1 de enero de 1952). "Un nuevo método analítico para resolver estructuras cristalinas complejas". Acta Crystallographica . 5 (1): 68–73. doi : 10.1107/S0365110X52000150 .
4. Karle, J.; Hauptman, H. (1 de agosto de 1956). "Una teoría de determinación de fase para los cuatro tipos de grupos espaciales no centrosimétricos 1P222, 2P22, 3P12, 3P22". Acta Crystallographica . 9 (8): 635–651. doi : 10.1107/S0365110X56001741 .
5. Cochran, W. (10 de agosto de 1955). "Relaciones entre las fases de los factores estructurales". Acta Crystallographica . 8 (8): 473–478. doi : 10.1107/S0365110X55001485 .
6. Marks, LD; Sinkler, W. (16 de septiembre de 2003). "Condiciones suficientes para métodos directos con electrones rápidos". Microscopía y microanálisis . 9 (5): 399–410. Bibcode :2003MiMic...9..399M. doi :10.1017/S1431927603030332. PMID  19771696. S2CID  20112743.
7. Blackman, M. (10 de noviembre de 1939). "Sobre las intensidades de los anillos de difracción de electrones". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas e ingeniería . 173 (952): 68–82. Bibcode :1939RSPSA.173...68B. doi :10.1098/rspa.1939.0129.
8. Gerchberg, RW; Saxton, WO (29 de noviembre de 1971). "Un algoritmo práctico para la determinación de la fase a partir de imágenes y planos de difracción". Optik . 35 (2): 237–246.
9. Combettes, PL (1 de enero de 1996). El problema de viabilidad convexa en la recuperación de imágenes . Vol. 95. Elsevier. págs. 155–270. CiteSeerX 10.1.1.75.9091 . doi :10.1016/S1076-5670(08)70157-5. ISBN .  9780120147373. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
10. Marks, LD; Sinkler, W.; Landree, E. (1 de julio de 1999). "Un enfoque de conjunto factible para el problema de la fase cristalográfica". Acta Crystallographica Sección A . 55 (4): 601–612. doi :10.1107/S0108767398014408. PMID  10927270.
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