Un sistema numérico es un sistema de escritura para expresar números; es decir, una notación matemática para representar números de un conjunto determinado, utilizando dígitos u otros símbolos de manera coherente.
La misma secuencia de símbolos puede representar diferentes números en diferentes sistemas de numeración. Por ejemplo, "11" representa el número once en el sistema de numeración decimal (hoy en día, el sistema de numeración más común a nivel mundial), el número tres en el sistema de numeración binario (utilizado en las computadoras modernas ) y el número dos en el sistema de numeración unario ( utilizado para contar puntuaciones).
El número que representa el número se llama valor. No todos los sistemas numéricos pueden representar el mismo conjunto de números; por ejemplo, los números romanos no pueden representar el número cero .
Idealmente, un sistema numérico:
Por ejemplo, la representación decimal habitual le da a cada número natural distinto de cero una representación única como una secuencia finita de dígitos , comenzando con un dígito distinto de cero.
Los sistemas numéricos a veces son llamados sistemas numéricos , pero ese nombre es ambiguo, ya que podría referirse a diferentes sistemas de números, como el sistema de números reales , el sistema de números complejos , el sistema de números p -ádicos , etc. Sin embargo, no son el tema de este artículo.
El sistema de numeración más utilizado es el decimal . A los matemáticos indios se les atribuye el desarrollo de la versión entera, el sistema de numeración hindú-árabe . [1] Aryabhata de Kusumapura desarrolló la notación de valor posicional en el siglo V y un siglo más tarde Brahmagupta introdujo el símbolo del cero . El sistema se extendió lentamente a otras regiones circundantes como Arabia debido a sus actividades comerciales y militares con la India. Los matemáticos de Oriente Medio ampliaron el sistema para incluir potencias negativas de 10 ( fracciones ), según lo registrado en un tratado del matemático sirio Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en 952-953, y se introdujo la notación del punto decimal [¿ cuándo? ] de Sind ibn Ali , quien también escribió el primer tratado sobre números arábigos. El sistema de numeración hindú-árabe luego se extendió a Europa debido al comercio de los comerciantes, y los dígitos utilizados en Europa se llaman números arábigos , ya que los aprendieron de los árabes.
El sistema de numeración más simple es el sistema de numeración unario , en el que cada número natural está representado por un número correspondiente de símbolos. Si se elige el símbolo / , por ejemplo, entonces el número siete estaría representado por /////// . Las marcas de conteo representan uno de esos sistemas que todavía se usa comúnmente. El sistema unario sólo es útil para números pequeños, aunque juega un papel importante en la informática teórica . La codificación gamma de Elias , que se usa comúnmente en la compresión de datos , expresa números de tamaño arbitrario usando unario para indicar la longitud de un número binario.
La notación unaria se puede abreviar introduciendo símbolos diferentes para ciertos valores nuevos. Muy comúnmente, estos valores son potencias de 10; Así, por ejemplo, si / representa uno, − diez y + 100, entonces el número 304 se puede representar de forma compacta como +++ //// y el número 123 como + − − /// sin necesidad de cero. . Esto se llama notación de valor de signo . El sistema de numeración del antiguo Egipto era de este tipo y el sistema de numeración romano era una modificación de esta idea.
Más útiles aún son los sistemas que emplean abreviaturas especiales para repeticiones de símbolos; por ejemplo, usando las primeras nueve letras del alfabeto para estas abreviaturas, donde A significa "una ocurrencia", B "dos ocurrencias", y así sucesivamente, se podría escribir C+ D/ para el número 304. Este sistema se utiliza al escribir números chinos y otros números de Asia oriental basados en chino. El sistema numérico de la lengua inglesa es de este tipo ("trescientos [y] cuatro"), al igual que los de otras lenguas habladas , independientemente de qué sistemas escritos hayan adoptado. Sin embargo, muchos idiomas usan mezclas de bases y otras características, por ejemplo 79 en francés es soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) y en galés es pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) o (algo arcaico) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ). En inglés, se podría decir "cuatro veintenas menos uno", como en el famoso discurso de Gettysburg que representa "hace 87 años" como "hace cuatro veintenas y siete años".
Más elegante es un sistema posicional , también conocido como notación de valor posicional. Nuevamente trabajando en base 10, se usan diez dígitos diferentes 0, ..., 9 y la posición de un dígito se usa para indicar la potencia de diez por la que se va a multiplicar el dígito, como en 304 = 3×100 + 0 ×10 + 4×1 o más precisamente 3×10 2 + 0×10 1 + 4×10 0 . El cero, que en otros sistemas no es necesario, es aquí de vital importancia para poder "saltar" una potencia. El sistema de numeración hindú-árabe, que se originó en la India y ahora se utiliza en todo el mundo, es un sistema posicional de base 10.
La aritmética es mucho más fácil en los sistemas posicionales que en los anteriores aditivos; además, los sistemas aditivos necesitan una gran cantidad de símbolos diferentes para las diferentes potencias de 10; un sistema posicional necesita sólo diez símbolos diferentes (suponiendo que utilice base 10). [2]
El sistema decimal posicional se utiliza actualmente universalmente en la escritura humana. La base 1000 también se utiliza (aunque no universalmente), agrupando los dígitos y considerando una secuencia de tres dígitos decimales como un solo dígito. Este es el significado de la notación común 1.000.234.567 utilizada para números muy grandes.
En las computadoras , los principales sistemas de numeración se basan en el sistema posicional en base 2 ( sistema de numeración binario ), con dos dígitos binarios , 0 y 1. Los sistemas posicionales se obtienen agrupando los dígitos binarios por tres ( sistema de numeración octal ) o cuatro ( sistema de numeración hexadecimal ). sistema ) se utilizan comúnmente. Para números enteros muy grandes se utilizan las bases 2 32 o 2 64 (agrupando dígitos binarios por 32 o 64, la longitud de la palabra de máquina ), como, por ejemplo, en GMP .
En ciertos sistemas biológicos, se emplea el sistema de codificación unario . Números unarios utilizados en los circuitos neuronales responsables de la producción del canto de los pájaros . [3] El núcleo en el cerebro de los pájaros cantores que desempeña un papel tanto en el aprendizaje como en la producción del canto de los pájaros es el HVC ( centro vocal superior ). Las señales de comando para diferentes notas en el canto de los pájaros emanan de diferentes puntos del HVC. Esta codificación funciona como codificación espacial, que es una estrategia eficiente para circuitos biológicos debido a su simplicidad y robustez inherentes.
Los números utilizados al escribir números con dígitos o símbolos se pueden dividir en dos tipos que podrían denominarse números aritméticos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y números geométricos (1 ). , 10, 100, 1000, 10000...), respectivamente. Los sistemas de signos y valores utilizan sólo los números geométricos y los sistemas posicionales utilizan sólo los números aritméticos. Un sistema de signo-valor no necesita números aritméticos porque se forman por repetición (excepto en el sistema jónico ), y un sistema posicional no necesita números geométricos porque se forman por posición. Sin embargo, el lenguaje hablado utiliza números tanto aritméticos como geométricos.
En algunas áreas de la informática, se utiliza un sistema posicional de base k modificado, llamado numeración biyectiva , con los dígitos 1, 2, ..., k ( k ≥ 1 ) y el cero representado por una cadena vacía. Esto establece una biyección entre el conjunto de todas esas cadenas de dígitos y el conjunto de números enteros no negativos, evitando la falta de unicidad causada por los ceros a la izquierda. La numeración biyectiva de base k también se denomina notación k -ádica, y no debe confundirse con los números p -ádicos . La base biyectiva 1 es lo mismo que unaria.
En un sistema numérico posicional de base b (donde b es un número natural mayor que 1 conocido como base ), se utilizan b símbolos (o dígitos) básicos correspondientes a los primeros b números naturales, incluido el cero. Para generar el resto de numerales se utiliza la posición del símbolo en la figura. El símbolo en la última posición tiene su propio valor, y a medida que se mueve hacia la izquierda su valor se multiplica por b .
Por ejemplo, en el sistema decimal (base 10), el número 4327 significa ( 4 ×10 3 ) + ( 3 ×10 2 ) + ( 2 ×10 1 ) + ( 7 ×10 0 ) , teniendo en cuenta que 10 0 = 1 .
En general, si b es la base, se escribe un número en el sistema numérico de base b expresándolo en la forma a n b n + a n − 1 b n − 1 + a n − 2 b n − 2 +. .. + a 0 b 0 y escribiendo los dígitos enumerados a n a n − 1 a n − 2 ... a 0 en orden descendente. Los dígitos son números naturales entre 0 y b − 1 , inclusive.
Si un texto (como este) analiza múltiples bases y si existe ambigüedad, la base (representada en base 10) se agrega en subíndice a la derecha del número, así: base numérica . A menos que el contexto lo especifique, los números sin subíndice se consideran decimales.
Al usar un punto para dividir los dígitos en dos grupos, también se pueden escribir fracciones en el sistema posicional. Por ejemplo, el número de base 2 10,11 denota 1×2 1 + 0×2 0 + 1×2 −1 + 1×2 −2 = 2,75 .
En general, los números en el sistema base b tienen la forma:
Los números b k y b − k son los pesos de los dígitos correspondientes. La posición k es el logaritmo del peso correspondiente w , es decir . La posición más alta utilizada está cerca del orden de magnitud del número.
El número de marcas necesarias en el sistema numérico unario para describir el peso habría sido w . En el sistema posicional, el número de dígitos necesarios para describirlo es solo , para k ≥ 0. Por ejemplo, para describir el peso 1000, se necesitan cuatro dígitos porque . El número de dígitos necesarios para describir la posición es (en las posiciones 1, 10, 100,... sólo por simplicidad en el ejemplo decimal).
Un número tiene un desarrollo terminador o repetido si y sólo si es racional ; esto no depende de la base. Un número que termina en una base puede repetirse en otra (así 0,3 10 = 0,0100110011001... 2 ). Un número irracional permanece aperiódico (con un número infinito de dígitos que no se repiten) en todas las bases integrales. Así, por ejemplo en base 2, π = 3.1415926... 10 se puede escribir como el aperiódico 11.001001000011111... 2 .
Poner puntuaciones superiores , n , o puntos, ṅ , encima de los dígitos comunes es una convención que se utiliza para representar expansiones racionales repetidas. De este modo:
Si b = p es un número primo , se pueden definir números de base p cuya expansión hacia la izquierda nunca se detiene; estos se llaman números p -ádicos .
También es posible definir una variación de la base b en la que los dígitos pueden ser positivos o negativos; esto se llama representación de dígitos con signo .
Más general es usar una notación de base mixta (aquí escrita little-endian ) como for , etc.
Esto se utiliza en Punycode , uno de cuyos aspectos es la representación de una secuencia de números enteros no negativos de tamaño arbitrario en forma de una secuencia sin delimitadores, de "dígitos" de una colección de 36: a–z y 0–9. , que representan 0–25 y 26–35 respectivamente. También existen los llamados valores umbral ( ), que se fijan para cada posición del número. Un dígito (en una posición determinada del número) que es inferior a su valor umbral correspondiente significa que es el dígito más significativo, por lo tanto, en la cadena este es el final del número y el siguiente símbolo (si está presente) es el dígito menos significativo del siguiente número.
Por ejemplo, si el valor umbral para el primer dígito es b (es decir, 1), entonces a (es decir, 0) marca el final del número (tiene solo un dígito), por lo que en números de más de un dígito, el rango del primer dígito es sólo b–9 (es decir, 1–35), por lo tanto, el peso b 1 es 35 en lugar de 36. De manera más general, si t n es el umbral para el n -ésimo dígito, es fácil demostrar que . Supongamos que los valores umbral para el segundo y tercer dígito son c (es decir, 2), entonces el rango del segundo dígito es a–b (es decir, 0–1), siendo el segundo dígito el más significativo, mientras que el rango es c–9 (es decir 2–35) en presencia de un tercer dígito. Generalmente, para cualquier n , el peso del ( n + 1) -ésimo dígito es el peso del anterior multiplicado por (36 - umbral del n -ésimo dígito). Entonces el peso del segundo símbolo es . Y el peso del tercer símbolo es .
Entonces tenemos la siguiente secuencia de números con como máximo 3 dígitos:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 9 a (35), bb (36), cb (37), ..., 9 b (70), bca (71), ..., 99 a (1260), bcb (1261), ..., 99 b (2450).
A diferencia de un sistema de numeración regular basado en n , hay números como 9 b donde 9 y b representan cada uno 35; sin embargo, la representación es única porque ac y aca no están permitidos: la primera a terminaría cada uno de estos números.
La flexibilidad para elegir valores de umbral permite la optimización del número de dígitos dependiendo de la frecuencia de aparición de números de varios tamaños.
El caso con todos los valores de umbral iguales a 1 corresponde a la numeración biyectiva , donde los ceros corresponden a separadores de números con dígitos distintos de cero.
Medios relacionados con los sistemas numéricos en Wikimedia Commons
