En geometría , los poliedros oblicuos regulares son generalizaciones del conjunto de poliedros regulares que incluyen la posibilidad de caras no planas o figuras de vértice . Coxeter estudió las figuras de vértice oblicuos que crearon nuevos poliedros regulares de cuatro dimensiones, y mucho más tarde Branko Grünbaum estudió las caras oblicuas regulares. [1]
Los poliedros regulares oblicuo infinitos que abarcan un espacio de 3 o más se denominan apeiroedros regulares oblicuo .
Según Coxeter , en 1926 John Flinders Petrie generalizó el concepto de polígonos oblicuos regulares (polígonos no planos) a los poliedros oblicuos regulares .
Coxeter propuso un símbolo de Schläfli modificado { l , m | n } para estas figuras, donde { l , m } implica la figura del vértice , m l -gonos alrededor de un vértice y n -agujeros gonales. Sus figuras de vértice son polígonos oblicuos , que zigzaguean entre dos planos.
Los poliedros oblicuos regulares, representados por { l , m | n } , siguen esta ecuación:
Un primer conjunto { l , m | n } , repite los cinco sólidos platónicos convexos y un sólido de Kepler-Poinsot no convexo :
Coxeter también enumeró un conjunto más grande de poliedros regulares finitos en su artículo "Poliedros regulares oblicuos en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos".
Al igual que los poliedros oblicuos infinitos representan superficies múltiples entre las celdas de los panales uniformes convexos , todas las formas finitas representan superficies múltiples dentro de las celdas de los 4-politopos uniformes .
Los poliedros de la forma {2p, 2q | r} están relacionados con la simetría del grupo de Coxeter de [(p,r,q,r)], que se reduce a la simetría lineal [r,p,r] cuando q es 2. Coxeter da estas simetrías como [[( p , r , q , r )] + ] que dice es isomorfa a su grupo abstracto (2p , 2q | 2, r ). El panal relacionado tiene la simetría extendida [[( p , r , q , r )]]. [2]
{2p,4|r} está representado por las caras {2p} del 4-politopo uniforme bitruncado {r,p,r} , y {4,2p|r} está representado por las caras cuadradas del runcinado {r,p,r}.
{4,4|n} produce un duoprisma n - n , y específicamente {4,4|4} encaja dentro de un teseracto {4}x{4} .
Un conjunto final se basa en la forma extendida de Coxeter {q1,m|q2,q3...} o con q2 sin especificar: {l, m |, q}. Estos también se pueden representar como una función finita regular o { l , m } 2 q , y un grupo G l , m , q . [3]
Los poliedros oblicuos regulares también pueden construirse en dimensiones superiores a 4 como incrustaciones en politopos regulares o panales. Por ejemplo, el icosaedro regular puede incrustarse en los vértices del 6-demicubo ; HSM Coxeter lo denominó icosaedro oblicuo regular . El dodecaedro puede incrustarse de manera similar en el 10-demicubo . [4]
