número de Stirling

Secuencias importantes en combinatoria.

En matemáticas , los números de Stirling surgen en una variedad de problemas analíticos y combinatorios . Llevan el nombre de James Stirling , quien los introdujo en un entorno puramente algebraico en su libro Methodus diferencialis (1730). ^[1] Fueron redescubiertos y les dio un significado combinatorio por Masanobu Saka en 1782. ^[2]

Dos conjuntos diferentes de números llevan este nombre: los números de Stirling de primera clase y los números de Stirling de segunda clase . Además, los números de Lah a veces se denominan números de Stirling de tercer tipo. Cada tipo se detalla en su respectivo artículo, sirviendo éste como descripción de las relaciones entre ellos.

Una propiedad común de los tres tipos es que describen coeficientes que relacionan tres secuencias diferentes de polinomios que surgen con frecuencia en combinatoria. Además, los tres se pueden definir como el número de particiones de n elementos en k subconjuntos no vacíos, donde cada subconjunto está dotado de un cierto tipo de orden (sin orden, cíclico o lineal).

Notación

Se utilizan varias notaciones diferentes para los números de Stirling. Los números de Stirling ordinarios (con signo) del primer tipo se denotan habitualmente:

${\displaystyle s(n,k)\,.}$

Los números de Stirling sin signo del primer tipo , que cuentan el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos , se denotan:

${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}=c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)\,}$

Números de Stirling del segundo tipo , que cuentan el número de formas de dividir un conjunto de n elementos en k subconjuntos no vacíos: ^[3]

${\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}\,}$

Abramowitz y Stegun utilizan letras mayúsculas y negras , respectivamente, para el primer y segundo tipo de número de Stirling. La notación de corchetes y llaves, en analogía con los coeficientes binomiales , fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promovida posteriormente por Donald Knuth . (La notación entre corchetes entra en conflicto con una notación común para los coeficientes gaussianos . ^[4] ) La motivación matemática para este tipo de notación, así como fórmulas adicionales de números de Stirling, se pueden encontrar en la página sobre números de Stirling y funciones generadoras exponenciales . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

Otra notación poco frecuente es y . ${\displaystyle s_{1}(n,k)}$ ${\displaystyle s_{2}(n,k)}$

Expansiones de factoriales crecientes y decrecientes

Los números de Stirling expresan coeficientes en expansiones de factoriales ascendentes y descendentes (también conocidos como símbolo de Pochhammer) como polinomios.

Es decir, el factorial decreciente , definido como es un polinomio en x de grado n cuya expansión es ${\displaystyle \ (x)_{n}=x(x-1)\ \cdots (x-n+1)\ ,}$

${\displaystyle (x)_{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ s(n,k)\ x^{k}\ }$

con números de Stirling (firmados) del primer tipo como coeficientes.

Tenga en cuenta que por convención, porque es un producto vacío . También se utilizan a menudo las notaciones para el factorial descendente y para el factorial ascendente. ^[5] (De manera confusa, el símbolo de Pochhammer que muchos usan para factoriales descendentes se usa en funciones especiales para factoriales ascendentes ). ${\displaystyle \ (x)_{0}\equiv 1\ ,}$ ${\displaystyle \ x^{\underline {n}}\ }$ ${\displaystyle \ x^{\overline {n}}\ }$

De manera similar, el factorial ascendente , definido como es un polinomio en x de grado n cuya expansión es ${\displaystyle \ x^{(n)}\ =\ x(x+1)\ \cdots (x+n-1)\ ,}$

${\displaystyle x^{(n)}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}\ x^{k}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{n-k}\ s(n,k)\ x^{k}\ ,}$

con números de Stirling sin signo del primer tipo como coeficientes. Una de estas expansiones se puede derivar de la otra observando que ${\displaystyle \ x^{(n)}=(-1)^{n}(-x)_{n}~.}$

Los números de Stirling del segundo tipo expresan las relaciones inversas:

${\displaystyle \ x^{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ S(n,k)\ (x)_{k}\ }$

y

${\displaystyle \ x^{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{n-k}\ S(n,k)\ x^{(k)}~.}$

Como coeficientes de cambio de base.

Considerando el conjunto de polinomios en la variable (indeterminada) x como un espacio vectorial, cada una de las tres secuencias

${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},\dots \quad (x)_{0},(x)_{1},(x)_{2},\dots \quad x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\dots }$

es una base . Es decir, cada polinomio en x se puede escribir como una suma de algunos coeficientes únicos (de manera similar para las otras dos bases). Las relaciones anteriores expresan entonces el cambio de base entre ellas, como se resume en el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle a_{0}x^{(0)}+a_{1}x^{(1)}+\dots +a_{n}x^{(n)}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Los coeficientes para los dos cambios inferiores se describen mediante los números Lah a continuación. Dado que los coeficientes de cualquier base son únicos, se pueden definir los números de Stirling de esta manera, como los coeficientes que expresan polinomios de una base en términos de otra, es decir, los números únicos relacionados con factoriales ascendentes y descendentes como se indicó anteriormente. ${\displaystyle x^{n}}$

Los factoriales descendentes definen, hasta el escalamiento, los mismos polinomios que los coeficientes binomiales : . Los cambios entre la base estándar y la base se describen mediante fórmulas similares: ${\textstyle {\binom {x}{k}}=(x)_{k}/k!}$ ${\displaystyle \textstyle x^{0},x^{1},x^{2},\dots }$ ${\textstyle {\binom {x}{0}},{\binom {x}{1}},{\binom {x}{2}},\dots }$

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}k!{\binom {x}{k}}\quad {\text{and}}\quad {\binom {x}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {s(n,k)}{n!}}x^{k}}$.

Ejemplo

Expresar un polinomio en base a factoriales descendentes es útil para calcular sumas del polinomio evaluado en números enteros consecutivos. De hecho, la suma de factoriales decrecientes con k fijo se puede expresar como otro factorial decreciente (para ) ${\displaystyle k\neq -1}$

${\displaystyle \sum _{0\leq i<n}(i)_{k}={\frac {(n)_{k+1}}{k+1}}}$

Esto se puede demostrar por inducción .

Por ejemplo, la suma de cuartas potencias de números enteros hasta n (esta vez con n incluido) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}i^{4}&=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}(i)_{k}=\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}\sum _{i=0}^{n}(i)_{k}=\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{k+1}}{k{+}1}}\\[10mu]&={\biggl \{}{\!4\! \atop \!1\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{2}}{2}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!2\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{3}}{3}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!3\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{4}}{4}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!4\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{5}}{5}}\\[8mu]&={\frac {1}{2}}(n{+}1)_{2}+{\frac {7}{3}}(n{+}1)_{3}+{\frac {6}{4}}(n{+}1)_{4}+{\frac {1}{5}}(n{+}1)_{5}\,.\end{aligned}}}$

Aquí los números de Stirling se pueden calcular a partir de su definición como el número de particiones de 4 elementos en k subconjuntos no vacíos y sin etiquetar.

Por el contrario, la suma en la base estándar viene dada por la fórmula de Faulhaber , que en general es más complicada. ${\textstyle \sum _{i=0}^{n}i^{k}}$

Como matrices inversas

Los números de Stirling de primera y segunda especie pueden considerarse inversos entre sí:

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j=k}^{n}(-1)^{n-j}{\biggl [}{n \atop j}{\biggr ]}{\biggl \{}{\!j\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=\delta _{n,k}}$

y

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j=k}^{n}(-1)^{j-k}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!j\!}{\biggr \}}{\biggl [}{j \atop k}{\biggr ]}=\delta _{n,k},}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? Estas dos relaciones pueden entenderse como relaciones matriciales inversas. Es decir, sea s la matriz triangular inferior de los números de Stirling de primera especie, cuyos elementos de la matriz La inversa de esta matriz es S , la matriz triangular inferior de los números de Stirling de segunda especie, cuyas entradas son Simbólicamente, esto se escribe ${\displaystyle \delta _{nk}}$ ${\displaystyle s_{nk}=s(n,k).\,}$ ${\displaystyle S_{nk}=S(n,k).}$

${\displaystyle s^{-1}=S\,}$

Aunque s y S son infinitos, por lo que calcular una entrada de producto implica una suma infinita, las multiplicaciones de matrices funcionan porque estas matrices son triangulares inferiores, por lo que solo un número finito de términos en la suma son distintos de cero.

números

Los números de Lah a veces se denominan números de Stirling de tercera especie. ^[6] Por convención, y si o . ${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$ ${\displaystyle L(0,0)=1}$ ${\displaystyle L(n,k)=0}$ ${\displaystyle n>k}$ ${\displaystyle k=0<n}$

Estos números son coeficientes que expresan factoriales decrecientes en términos de factoriales ascendentes y viceversa:

${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\quad }$y ${\displaystyle \quad (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}$

Como arriba, esto significa que expresan el cambio de base entre las bases y , completando el diagrama. En particular, una fórmula es la inversa de la otra, así: ${\displaystyle (x)_{0},(x)_{1},(x)_{2},\cdots }$ ${\displaystyle x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\cdots }$

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}(-1)^{j-k}L(n,j)L(j,k)=\delta _{n,k}.}$

De manera similar, al componer el cambio de base de a con el cambio de base de a se obtiene el cambio de base directamente de a : ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}{\biggl [}{n \atop j}{\biggr ]}{\biggl \{}{\!j\! \atop \!k\!}{\biggr \}},}$

y lo mismo para otras composiciones. En términos de matrices, si denota la matriz con entradas y denota la matriz con entradas , entonces una es la inversa de la otra: . Al componer la matriz de números de Stirling sin signo del primer tipo con la matriz de números de Stirling del segundo tipo se obtienen los números de Lah: . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{nk}=L(n,k)}$ ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L_{nk}^{-}=(-1)^{n-k}L(n,k)}$ ${\displaystyle L^{-}=L^{-1}}$ ${\displaystyle L=|s|\cdot S}$

Enumerativamente , se puede definir como el número de particiones de n elementos en k subconjuntos no vacíos y sin etiquetar, donde cada subconjunto no está dotado de ningún orden, un orden cíclico o un orden lineal, respectivamente. En particular, esto implica las desigualdades: ${\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\},\left[{n \atop k}\right],L(n,k)}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}\leq {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}\leq L(n,k).}$

Relaciones de inversión y transformada de Stirling

Para cualquier par de secuencias, y , relacionadas mediante una fórmula del número de Stirling de suma finita dada por ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k},}$

para todos los números enteros , tenemos una fórmula de inversión correspondiente dada por ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k}.}$

Los índices inferiores podrían ser cualquier número entero entre y . ${\textstyle 0}$ ${\textstyle n}$

Estas relaciones de inversión entre las dos secuencias se traducen en ecuaciones funcionales entre las funciones generadoras exponenciales de secuencia dadas por la transformada de Stirling (función generadora) como

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

y

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Para , los operadores diferenciales y están relacionados mediante las siguientes fórmulas para todos los números enteros : ^[7] ${\displaystyle D=d/dx}$ ${\displaystyle x^{n}D^{n}}$ ${\displaystyle (xD)^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(xD)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}D^{k}\\x^{n}D^{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)(xD)^{k}=(xD)_{n}=xD(xD-1)\ldots (xD-n+1)\end{aligned}}}$

Otro par de relaciones de " inversión " que involucran los números de Stirling relacionan las diferencias directas y las derivadas ordinarias de una función, que es analítica para todos mediante las fórmulas ^[8] ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {s(n,k)}{n!}}\Delta ^{n}f(x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\Delta ^{k}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {S(n,k)}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).}$

Propiedades similares

Consulte los artículos específicos para obtener más detalles.

Fórmulas simétricas

Abramowitz y Stegun dan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los números de Stirling de primera y segunda especie. ^[9]

${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=\sum _{j=n}^{2n-k}(-1)^{j-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\left\{{j-k \atop j-n}\right\}}$

y

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{j=n}^{2n-k}(-1)^{j-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\left[{j-k \atop j-n}\right]}$

Números de Stirling con valores integrales negativos

Los números de Stirling pueden extenderse a valores integrales negativos, pero no todos los autores lo hacen de la misma manera. ^{[10] [11] [12]} Independientemente del enfoque adoptado, vale la pena señalar que los números de Stirling de primera y segunda especie están conectados por las relaciones:

${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}={\biggl \{}{\!-k\! \atop \!-n\!}{\biggr \}}\quad {\text{and}}\quad {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}={\biggl [}{-k \atop -n}{\biggr ]}}$

cuando n y k son números enteros no negativos. Entonces tenemos la siguiente tabla para : ${\displaystyle \left[{-n \atop -k}\right]}$

Donald Knuth ^[12] definió los números de Stirling más generales extendiendo una relación de recurrencia a todos los números enteros. En este enfoque, y son cero si n es negativo y k no es negativo, o si n es no negativo y k es negativo, por lo que tenemos, para cualesquiera números enteros n y k , ${\textstyle \left[{n \atop k}\right]}$ ${\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\}}$

${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}={\biggl \{}{\!-k\! \atop \!-n\!}{\biggr \}}\quad {\text{and}}\quad {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}={\biggl [}{-k \atop -n}{\biggr ]}.}$

Por otro lado, para enteros positivos n y k , David Branson ^[11] definió y (pero no o ). En este enfoque, se tiene la siguiente extensión de la relación de recurrencia de los números de Stirling del primer tipo: ${\textstyle \left[{-n \atop -k}\right]\!,}$ ${\textstyle \left\{{\!-n\! \atop \!-k\!}\right\}\!,}$ ${\textstyle \left[{-n \atop k}\right]\!,}$ ${\textstyle \left\{{\!-n\! \atop \!k\!}\right\}}$ ${\textstyle \left[{n \atop -k}\right]}$ ${\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!-k\!}\right\}}$

${\displaystyle {\biggl [}{-n \atop k}{\biggr ]}={\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(-1)^{i+1}}{i^{k}}}{\binom {n}{i}}}$,

Por ejemplo, esto conduce a la siguiente tabla de valores de para n integral negativa . ${\textstyle \left[{-5 \atop k}\right]={\frac {1}{120}}{\Bigl (}5-{\frac {10}{2^{k}}}+{\frac {10}{3^{k}}}-{\frac {5}{4^{k}}}+{\frac {1}{5^{k}}}{\Bigr )}.}$ ${\textstyle \left[{n \atop k}\right]}$

En este caso, donde es un número de Bell , por lo que se pueden definir los números de Bell negativos por . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[{-n \atop -k}\right]=B_{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[{-n \atop k}\right]=:B_{-k}}$

Por ejemplo, esto produce , generalmente . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[{-n \atop 1}\right]=B_{-1}={\frac {1}{e}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j\cdot j!}}={\frac {1}{e}}\int _{0}^{1}{\frac {e^{t}-1}{t}}dt=0.4848291\dots }$ ${\textstyle B_{-k}={\frac {1}{e}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{k}j!}}}$

Ver también

• Polinomios de campana
• número catalán
• Ciclos y puntos fijos
• Símbolo del martillo poch
• Secuencia polinomial
• Polinomios de Touchard
• permutación de Stirling

Citas

1. Mansour y Schork 2015, pág. 5.
2. Mansour y Schork 2015, pág. 4.
3. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Matemáticas concretas , Addison-Wesley, Reading MA. ISBN  0-201-14236-8 , pág. 244.
4. Donald Knuth
5. Aigner, Martín (2007). "Sección 1.2 - Subconjuntos y coeficientes binomiales". Un curso de enumeración . Saltador. págs.561. ISBN 978-3-540-39032-9.
6. Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II. Editores académicos de Kluwer . pag. 464.ISBN _ 9781402025464.
7. Matemáticas Concretas de la sección 6. Tenga en cuenta que esta fórmula implica inmediatamente la primera transformación de números de Stirling de orden positivo que se proporciona en el artículo principal sobre la generación de transformaciones de funciones .
8. Olver, Frank; Lozier, Daniel; Boisvert, Ronald; Clark, Charles (2010). "Manual de funciones matemáticas del NIST". Manual de funciones matemáticas del NIST .(Sección 26.8)
9. Goldberg, K.; Newman, M; Haynsworth, E. (1972), "Números de Stirling del primer tipo, Números de Stirling del segundo tipo", en Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas, décima edición , Nueva York: Dover, págs.
10. Loeb, Daniel E. (1992) [recibido el 3 de noviembre de 1989]. "Una generalización de los números de Stirling". Matemáticas discretas . 103 (3): 259–269. doi : 10.1016/0012-365X(92)90318-A .
11. Branson, David (agosto de 1994). "Una extensión de los números de Stirling" (PDF) . El Fibonacci trimestral . Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2011 . Consultado el 6 de diciembre de 2017 .
12. DE Knuth, 1992.

Referencias

• Rosen, Kenneth H., ed. (2018), Manual de matemáticas discretas y combinatorias , CRC Press, ISBN 978-1-5848-8780-5
• Mansur, Toufik; Schork, Mathias (2015), Relaciones de conmutación, ordenamiento normal y números de Stirling , CRC Press, ISBN 978-1-4665-7989-7

Otras lecturas

• Adamchik, Víctor (1997). "Sobre los números de Stirling y las sumas de Euler" (PDF) . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 79 : 119-130. doi : 10.1016/s0377-0427(96)00167-7 . Archivado (PDF) desde el original el 14 de diciembre de 2004.
• Benjamín, Arthur T.; Preston, Gregorio O.; Quinn, Jennifer J. (2002). "Un encuentro de Stirling con números armónicos" (PDF) . Revista Matemáticas . 75 (2): 95-103. CiteSeerX  10.1.1.383.722 . doi :10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Archivado (PDF) desde el original el 10 de septiembre de 2020.
• Boyadzhiev, Khristo N. (2012). "Encuentros cercanos con los números de Stirling del segundo tipo" (PDF) . Revista Matemáticas . 85 (4): 252–266. arXiv : 1806.09468 . doi : 10.4169/math.mag.85.4.252. S2CID  115176876. Archivado (PDF) desde el original el 5 de septiembre de 2015.
• Comtet, Luis (1970). "Valeur de s(n, k)" . Analizar Combinatoire, Tomo Segundo (en francés): 51.
• Comtet, Luis (1974). Combinatoria avanzada: el arte de las expansiones finitas e infinitas. Dordrecht-Holanda/Boston-EE.UU.: Reidel Publishing Company. ISBN 9789027703804.
• Hsien-Kuei Hwang (1995). "Expansiones asintóticas para los números de Stirling del primer tipo". Revista de teoría combinatoria, serie A. 71 (2): 343–351. doi : 10.1016/0097-3165(95)90010-1 .
• Knuth, DE (1992), "Dos notas sobre notación", Amer. Matemáticas. Mensual , 99 (5): 403–422, arXiv : math/9205211 , doi : 10.2307/2325085, JSTOR  2325085, S2CID  119584305
• Miksa, Francis L. (enero de 1956). "Números de Stirling del primer tipo: 27 hojas reproducidas a partir de un manuscrito mecanografiado depositado en el archivo UMT". Tablas matemáticas y otras ayudas a la computación: reseñas y descripciones de tablas y libros . 10 (53): 37–38. JSTOR  2002617.
• Miksa, Francis L. (1972) [1964]. "Análisis combinatorio, tabla 24.4, números de Stirling del segundo tipo". En Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (eds.). Manual de Funciones Matemáticas (con Fórmulas, Gráficas y Tablas Matemáticas) . 55. Departamento de Comercio de EE. UU., Oficina Nacional de Estándares, Matemáticas Aplicadas. pag. 835.
• Mitrinović, Dragoslav S. (1959). "Sur les nombres de Stirling de première espèce et les polynômes de Stirling" (PDF) . Publicaciones de la Faculté d'Electrotechnique de l'Université de Belgrade, Série Mathématiques et Physique (en francés) (23): 1–20. ISSN  0522-8441. Archivado (PDF) desde el original el 17 de junio de 2009.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (septiembre de 1998). "James Stirling (1692-1770)".
• Sixdeniers, JM; Penson, KA; Salomón, AI (2001). "Números extendidos de Bell y Stirling a partir de exponenciación hipergeométrica" ​​(PDF) . Diario de secuencias enteras . 4 : 01.1.4. arXiv : matemáticas/0106123 . Código Bib : 2001JIntS...4...14S.
• Spivey, Michael Z. (2007). "Sumas combinatorias y diferencias finitas". Matemáticas discretas . 307 (24): 3130–3146. CiteSeerX  10.1.1.134.8665 . doi : 10.1016/j.disc.2007.03.052 .
• Sloane, NJA (ed.). "Secuencia A008275 (números de Stirling de primer tipo)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
• Sloane, NJA (ed.). "Secuencia A008277 (números de Stirling de segundo tipo)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.