Grupo de cocientes

Grupo obtenido mediante la agregación de elementos similares de un grupo más grande

Un grupo cociente o grupo factorial es un grupo matemático que se obtiene agregando elementos similares de un grupo mayor utilizando una relación de equivalencia que preserva parte de la estructura del grupo (el resto de la estructura se "factoriza"). Por ejemplo, el grupo cíclico de la adición módulo n se puede obtener a partir del grupo de números enteros bajo adición identificando elementos que difieren en un múltiplo de y definiendo una estructura de grupo que opera sobre cada una de esas clases (conocida como clase de congruencia ) como una entidad única. Es parte del campo matemático conocido como teoría de grupos . ${\displaystyle n}$

Para una relación de congruencia en un grupo, la clase de equivalencia del elemento identidad es siempre un subgrupo normal del grupo original, y las otras clases de equivalencia son precisamente las clases laterales de ese subgrupo normal. El cociente resultante se escribe ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ , donde es el grupo original y es el subgrupo normal. Esto se lee como ' ⁠ ⁠ ', donde es la abreviatura de módulo . (La notación ⁠ ⁠ debe interpretarse con cautela, ya que algunos autores (por ejemplo, Vinberg ^[1] ) la utilizan para representar las clases laterales izquierdas de en para cualquier subgrupo , aunque estas clases laterales no formen un grupo si no es normal en . Otros (por ejemplo, Dummit y Foote ^[2] ) solo utilizan esta notación para referirse al grupo cociente, y la aparición de esta notación implica la normalidad de en ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G{\bmod {N}}}$ ${\displaystyle {\mbox{mod}}}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Gran parte de la importancia de los grupos cocientes se deriva de su relación con los homomorfismos . El primer teorema de isomorfismo establece que la imagen de cualquier grupo G bajo un homomorfismo es siempre isomorfa a un cociente de . Específicamente, la imagen de bajo un homomorfismo es isomorfa a donde denota el núcleo de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

La noción dual de un grupo cociente es un subgrupo , siendo estas las dos formas principales de formar un grupo más pequeño a partir de uno más grande. Cualquier subgrupo normal tiene un grupo cociente correspondiente, formado a partir del grupo más grande eliminando la distinción entre elementos del subgrupo. En la teoría de categorías , los grupos cocientes son ejemplos de objetos cocientes , que son duales a subobjetos .

Definición e ilustración

Dado un grupo y un subgrupo , y un elemento fijo , se puede considerar la clase lateral izquierda correspondiente : ⁠ ⁠ . Las clases laterales son una clase natural de subconjuntos de un grupo; por ejemplo, considere el grupo abeliano G de números enteros , con operación definida por la adición habitual, y el subgrupo de números enteros pares. Entonces hay exactamente dos clases laterales: ⁠ ⁠ , que son los números enteros pares, y ⁠ ⁠ , que son los números enteros impares (aquí estamos usando notación aditiva para la operación binaria en lugar de notación multiplicativa). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0+H}$ ${\displaystyle 1+H}$

Para un subgrupo general ⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$ , es deseable definir una operación de grupo compatible en el conjunto de todas las clases laterales posibles, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$ . Esto es posible exactamente cuando es un subgrupo normal, véase más abajo. Un subgrupo de un grupo es normal si y solo si la igualdad de clases laterales se cumple para todos los ⁠ ⁠ . Un subgrupo normal de se denota ⁠ ⁠ . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aN=Na}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Definición

Sea un subgrupo normal de un grupo ⁠ ⁠ . Defina el conjunto como el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de en ⁠ ⁠ . Es decir, ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$

Dado que el elemento identidad ⁠ ⁠ ${\displaystyle e\in N}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in aN}$ . Defina una operación binaria en el conjunto de clases laterales, ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ , como sigue. Para cada y en ⁠ ⁠ , el producto de y ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , es ⁠ ⁠ . Esto funciona solo porque no depende de la elección de los representantes, y ⁠ ⁠ , de cada clase lateral izquierda, y ⁠ ⁠ . Para probar esto, supongamos y para alguna ⁠ ⁠ . Entonces ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle (aN)(bN)}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G}$

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Esto depende del hecho de que ⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$ es un subgrupo normal. Aún queda por demostrar que esta condición no sólo es suficiente sino necesaria para definir la operación sobre ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ .

Para demostrar que es necesario, consideremos que para un subgrupo de ⁠ ⁠ , se nos ha dado que la operación está bien definida. Es decir, para todos y ⁠ ⁠ para ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N}$

Sea y ⁠ ⁠ . Como ⁠ ⁠ , tenemos ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle eN=nN}$ ${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

Ahora, y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

Por lo tanto es un subgrupo normal de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

También se puede comprobar que esta operación sobre es siempre asociativa, tiene elemento identidad ⁠ ⁠ , y el inverso de elemento siempre se puede representar por ⁠ ⁠ . Por tanto, el conjunto junto con la operación definida por forma un grupo, el grupo cociente de por ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a^{-1}N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Debido a la normalidad de ⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$ , las clases laterales izquierdas y derechas de in son las mismas y, por lo tanto, podrían haberse definido como el conjunto de clases laterales derechas de in ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplo: Suma módulo 6

Por ejemplo, considere el grupo con adición módulo 6: ⁠ ⁠ ${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$ . Considere el subgrupo ⁠ ⁠ ${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$ , que es normal porque es abeliano . Entonces, el conjunto de clases laterales (izquierda) es de tamaño tres: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}}$.

La operación binaria definida anteriormente convierte este conjunto en un grupo, conocido como grupo cociente, que en este caso es isomorfo al grupo cíclico de orden 3.

Motivación del nombre “cociente”

El grupo cociente se puede comparar con la división de números enteros . Al dividir 12 por 3 se obtiene el resultado 4 porque se pueden reagrupar 12 objetos en 4 subconjuntos de 3 objetos. El grupo cociente es la misma idea, aunque se termina con un grupo como respuesta final en lugar de un número porque los grupos tienen más estructura que un conjunto arbitrario de objetos: en el cociente , la estructura del grupo se utiliza para formar una "reagrupación" natural. Estas son las clases laterales de en . Debido a que comenzamos con un grupo y un subgrupo normal, el cociente final contiene más información que solo el número de clases laterales (que es lo que produce la división regular), pero en cambio tiene una estructura de grupo en sí mismo. ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

Números enteros pares e impares

Consideremos el grupo de los números enteros (bajo la adición) y el subgrupo que consiste en todos los números enteros pares. Este es un subgrupo normal, porque es abeliano . Solo hay dos clases laterales: el conjunto de los números enteros pares y el conjunto de los números enteros impares, y por lo tanto el grupo cociente es el grupo cíclico con dos elementos. Este grupo cociente es isomorfo con el conjunto con adición módulo 2; informalmente, a veces se dice que es igual al conjunto con adición módulo 2. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

Ejemplo explicado con más detalle...

Sean los restos de al dividir por ⁠ ⁠ . Entonces, cuando es par y cuando es impar. ${\displaystyle \gamma (m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \gamma (m)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma (m)=1}$ ${\displaystyle m}$

Por definición de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ , el núcleo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$ , es el conjunto de todos los números enteros pares.

Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$ . Entonces, es un subgrupo, porque la identidad en ⁠ ⁠ , que es ⁠ ⁠ , está en ⁠ ⁠ , la suma de dos enteros pares es par y, por lo tanto, si y están en ⁠ ⁠ , está en (clausura) y si es par, también es par y, por lo tanto, contiene a sus inversos. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -m}$ ${\displaystyle H}$

Definir como para y es el grupo cociente de clases laterales izquierdas; ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

Tenga en cuenta que hemos definido ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu }$ , es si es impar y si es par. ${\displaystyle \mu (aH)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$

Por lo tanto, es un isomorfismo de a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Restos de división de números enteros

Una ligera generalización del último ejemplo. Una vez más, considere el grupo de números enteros bajo la adición. Sea ⁠ ⁠ cualquier número entero positivo. Consideraremos el subgrupo de que consiste en todos los múltiplos de ⁠ ⁠ . Una vez más, es normal en porque es abeliano. Las clases laterales son la colección ⁠ ⁠ . Un número entero pertenece a la clase lateral ⁠ ⁠ , donde es el resto al dividir por ⁠ ⁠ . El cociente puede considerarse como el grupo de "restos" módulo ⁠ ⁠ . Este es un grupo cíclico de orden ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Raíces enteras complejas de 1

Las clases laterales de las raíces cuartas de la unidad N en las raíces duodécimas de la unidad G.

Las raíces duodécimas de la unidad , que son puntos en el círculo unitario complejo , forman un grupo abeliano multiplicativo , que se muestra en la imagen de la derecha como bolas de colores con el número en cada punto que da su argumento complejo. Considere su subgrupo formado por las raíces cuartas de la unidad, que se muestran como bolas rojas. Este subgrupo normal divide el grupo en tres clases laterales, que se muestran en rojo, verde y azul. Se puede comprobar que las clases laterales forman un grupo de tres elementos (el producto de un elemento rojo con un elemento azul es azul, el inverso de un elemento azul es verde, etc.). Por tanto, el grupo cociente es el grupo de tres colores, que resulta ser el grupo cíclico con tres elementos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Números reales módulo los enteros

Considérese el grupo de números reales bajo la adición, y el subgrupo de números enteros. Cada clase lateral de en es un conjunto de la forma ⁠ ⁠ , donde es un número real. Dado que y son conjuntos idénticos cuando las partes no enteras de y son iguales, se puede imponer la restricción sin cambiar el significado. La adición de dichas clases laterales se realiza sumando los números reales correspondientes y restando 1 si el resultado es mayor o igual a 1. El grupo del cociente es isomorfo al grupo del círculo , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 bajo la multiplicación, o correspondientemente, el grupo de rotaciones en 2D sobre el origen, es decir, el grupo ortogonal especial ⁠ ⁠ . Un isomorfismo está dado por (ver la identidad de Euler ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle 0\leq a<1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

Matrices de números reales

Si es el grupo de matrices reales invertibles , y es el subgrupo de matrices reales con determinante 1, entonces es normal en (ya que es el núcleo del homomorfismo de determinante ). Las clases laterales de son los conjuntos de matrices con un determinante dado y, por lo tanto, es isomorfo al grupo multiplicativo de números reales distintos de cero. El grupo se conoce como el grupo lineal especial ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

Aritmética modular de enteros

Considérese el grupo abeliano (es decir, el conjunto con adición módulo 4), y su subgrupo ⁠ ⁠ . El grupo cociente es ⁠ ⁠ . Este es un grupo con elemento identidad ⁠ ⁠ , y operaciones de grupo como ⁠ ⁠ . Tanto el subgrupo como el grupo cociente son isomorfos con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Multiplicación de enteros

Considérese el grupo multiplicativo ⁠ ⁠ ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$ . El conjunto de ⁠ ⁠ residuos es un subgrupo multiplicativo isomorfo a ⁠ ⁠ . Entonces es normal en y el grupo factorial tiene las clases laterales ⁠ ⁠ . El criptosistema de Paillier se basa en la conjetura de que es difícil determinar la clase lateral de un elemento aleatorio de sin conocer la factorización de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$

Propiedades

El grupo cociente es isomorfo al grupo trivial (el grupo con un elemento), y es isomorfo a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G\,/\,G}$ ${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$ ${\displaystyle G}$

El orden de ⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ , por definición el número de elementos, es igual a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vert G:N\vert }$ , el índice de en ⁠ ⁠ . Si es finito, el índice también es igual al orden de dividido por el orden de ⁠ ⁠ . El conjunto puede ser finito, aunque tanto como sean infinitos (por ejemplo, ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" ⁠ ⁠ , que envía cada elemento de a la clase lateral de a la que pertenece, es decir: ⁠ ⁠ . La aplicación a veces se denomina proyección canónica de sobre ⁠ ⁠ . Su núcleo es ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi (g)=gN}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$

Existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de que contienen y los subgrupos de ⁠ ⁠ ; si es un subgrupo de que contiene a ⁠ ⁠ , entonces el subgrupo correspondiente de es ⁠ ⁠ . Esta correspondencia se cumple también para los subgrupos normales de y , y se formaliza en el teorema reticular . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Varias propiedades importantes de los grupos cocientes se registran en el teorema fundamental sobre homomorfismos y en los teoremas de isomorfismo .

Si es abeliano , nilpotente , resoluble , cíclico o finitamente generado , entonces también lo es . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Si es un subgrupo en un grupo finito ⁠ ⁠ , y el orden de es la mitad del orden de ⁠ ⁠ , entonces se garantiza que es un subgrupo normal, por lo que existe y es isomorfo a ⁠ ⁠ . Este resultado también puede expresarse como "cualquier subgrupo de índice 2 es normal", y en esta forma se aplica también a grupos infinitos. Además, si es el número primo más pequeño que divide el orden de un grupo finito, ⁠ ⁠ , entonces si tiene orden ⁠ ⁠ , debe ser un subgrupo normal de ⁠ ⁠ . ^[3] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Dado y un subgrupo normal ⁠ ⁠ , entonces es una extensión de grupo de por ⁠ ⁠ . Uno podría preguntarse si esta extensión es trivial o dividida; en otras palabras, uno podría preguntar si es un producto directo o un producto semidirecto de y ⁠ ⁠ . Este es un caso especial del problema de extensión . Un ejemplo donde la extensión no está dividida es el siguiente: Sea ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ , que es isomorfo a ⁠ ⁠ . Entonces también es isomorfo a ⁠ ⁠ . Pero solo tiene el automorfismo trivial , por lo que el único producto semidirecto de y es el producto directo. Como es diferente de ⁠ ⁠ , concluimos que no es un producto semidirecto de y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Cocientes de grupos de Lie

Si es un grupo de Lie y es un subgrupo de Lie normal y cerrado (en el sentido topológico más que en el algebraico de la palabra) de ⁠ ⁠ , el cociente también es un grupo de Lie. En este caso, el grupo original tiene la estructura de un fibrado (específicamente, un fibrado principal ) , con espacio base y fibra ⁠ ⁠ . La dimensión de es igual a ⁠ ⁠ . ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \dim G-\dim N}$

Nótese que la condición de que sea cerrado es necesaria. De hecho, si no es cerrado entonces el espacio cociente no es un espacio T1 (ya que hay una clase lateral en el cociente que no puede separarse de la identidad por un conjunto abierto) y, por lo tanto, no es un espacio de Hausdorff . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Para un subgrupo de Lie no normal , ${\displaystyle N}$ el espacio de clases laterales izquierdas no es un grupo, sino simplemente una variedad diferenciable sobre la que actúa. El resultado se conoce como espacio homogéneo . ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Ampliación de grupo
• Categoría de cociente
• Secuencia corta y exacta

Notas

1. Vinberg, Ė B. (2003). Un curso de álgebra . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 157. ISBN 978-0-8218-3318-6.
2. Dummit y Foote (2003, pág. 95)
3. Dummit y Foote (2003, pág. 120)
4. John M. Lee, Introducción a las variedades suaves, segunda edición, teorema 21.17

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-02371-X