La simetría rotacional , también conocida como simetría radial en geometría , es la propiedad que tiene una forma cuando se ve igual después de alguna rotación de un giro parcial. El grado de simetría rotacional de un objeto es el número de orientaciones distintas en las que se ve exactamente igual en cada rotación.
Ciertos objetos geométricos son parcialmente simétricos cuando se giran en ciertos ángulos, como cuadrados girados 90°; sin embargo, los únicos objetos geométricos que son completamente simétricos rotacionalmente en cualquier ángulo son las esferas, los círculos y otros esferoides . [1] [2]
Formalmente, la simetría rotacional es simetría con respecto a algunas o todas las rotaciones en el espacio euclidiano de m dimensiones . Las rotaciones son isometrías directas , es decir, isometrías que conservan la orientación . Por tanto, un grupo de simetría de simetría rotacional es un subgrupo de E + ( m ) (ver grupo euclidiano ).
La simetría con respecto a todas las rotaciones sobre todos los puntos implica simetría traslacional con respecto a todas las traslaciones, por lo que el espacio es homogéneo y el grupo de simetría es el conjunto E ( m ) . Con la noción modificada de simetría para campos vectoriales, el grupo de simetría también puede ser E + ( m ) .
Para simetría con respecto a rotaciones alrededor de un punto, podemos tomar ese punto como origen. Estas rotaciones forman el grupo ortogonal especial SO( m ) , el grupo de matrices ortogonales m × m con determinante 1. Para m = 3 este es el grupo de rotación SO(3) .
En otra definición de la palabra, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro de E + ( n ) , el grupo de isometrías directas ; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría total y el grupo de isometrías directas. Para objetos quirales es lo mismo que el grupo de simetría completo.
Las leyes de la física son invariantes SO(3) si no distinguen diferentes direcciones en el espacio. Debido al teorema de Noether , la simetría rotacional de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento angular .
Simetría rotacional de orden n , también llamada simetría rotacional de n veces , o simetría rotacional discreta de enésimo orden , con respecto a un punto particular (en 2D) o eje (en 3D) significa que la rotación en un ángulo de (180° , 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 ⁄ 7 °, etc.) no cambia el objeto. Una simetría de "1 pliegue" no es simetría (todos los objetos se ven iguales después de una rotación de 360°).
La notación para la simetría de n veces es C n o simplemente n . El grupo de simetría real está especificado por el punto o eje de simetría, junto con el n . Para cada punto o eje de simetría, el tipo de grupo abstracto es un grupo cíclico de orden n , Z n . Aunque para este último también se utiliza la notación C n , conviene distinguir la C n geométrica y la abstracta : existen otros grupos de simetría del mismo tipo de grupo abstracto que son geométricamente diferentes, ver grupos de simetría cíclicos en 3D .
El dominio fundamental es un sector de
Ejemplos sin simetría de reflexión adicional :
C n es el grupo de rotación de un polígono regular de n lados en 2D y de una pirámide regular de n lados en 3D.
Si, por ejemplo, existe simetría de rotación respecto a un ángulo de 100°, también respecto a uno de 20°, el máximo común divisor de 100° y 360°.
Un objeto 3D típico con simetría rotacional (posiblemente también con ejes perpendiculares) pero sin simetría especular es una hélice .
Para simetría discreta con múltiples ejes de simetría que pasan por el mismo punto, existen las siguientes posibilidades:
En el caso de los sólidos platónicos , los ejes dobles pasan por los puntos medios de aristas opuestas, y el número de ellos es la mitad del número de aristas. Los otros ejes pasan por vértices opuestos y por centros de caras opuestas, excepto en el caso del tetraedro, donde los tres ejes pasan cada uno por un vértice y el centro de una cara.
La simetría rotacional respecto de cualquier ángulo es, en dos dimensiones, simetría circular . El dominio fundamental es una media línea .
En tres dimensiones podemos distinguir simetría cilíndrica y simetría esférica (sin cambios al girar sobre un eje, o para cualquier rotación). Es decir, no hay dependencia del ángulo usando coordenadas cilíndricas y no hay dependencia de ningún ángulo usando coordenadas esféricas . El dominio fundamental es un semiplano que pasa por el eje y una semilínea radial, respectivamente. Axisimétrico y axisimétrico son adjetivos que se refieren a un objeto que tiene simetría cilíndrica o ejesimetría (es decir, simetría rotacional con respecto a un eje central) como una rosquilla ( toro ). Un ejemplo de simetría esférica aproximada es la Tierra (con respecto a la densidad y otras propiedades físicas y químicas).
En 4D, la simetría rotacional continua o discreta alrededor de un plano corresponde a la simetría rotacional 2D correspondiente en cada plano perpendicular, alrededor del punto de intersección. Un objeto también puede tener simetría rotacional respecto de dos planos perpendiculares, por ejemplo, si es el producto cartesiano de dos figuras 2D con simetría rotacional, como en el caso, por ejemplo, del duocilindro y varios duoprismas regulares .
La simetría rotacional doble junto con la simetría traslacional simple es uno de los grupos Frieze . Un rotocentro es el punto fijo o invariante de una rotación. [3] Hay dos rotocentros por celda primitiva .
Junto con la doble simetría traslacional, los grupos de rotación son los siguientes grupos de papel tapiz , con ejes por celda primitiva:
El escalado de una red divide el número de puntos por unidad de área por el cuadrado del factor de escala. Por lo tanto, el número de rotocentros de 2, 3, 4 y 6 veces por celda primitiva es 4, 3, 2 y 1, respectivamente, incluyendo nuevamente 4 veces como un caso especial de 2 veces, etc.
Una simetría rotacional triple en un punto y una simetría rotacional doble en otro (o lo mismo en 3D con respecto a ejes paralelos) implica el grupo de rotación p6, es decir, simetría traslacional doble y simetría rotacional séxtuple en algún punto (o, en 3D, eje paralelo). La distancia de traslación de la simetría generada por uno de esos pares de rotocentros es multiplicada por su distancia.
Medios relacionados con la simetría rotacional en Wikimedia Commons
