Hay varias parametrizaciones diferentes de la distribución en uso. El que se muestra aquí proporciona parámetros razonablemente interpretables y una forma simple para la función de distribución acumulativa . [4] [5]
El parámetro es un parámetro de escala y también es la mediana de la distribución. El parámetro es un parámetro de forma . La distribución es unimodal cuando y su dispersión disminuye a medida que aumenta.
Las expresiones explícitas de asimetría y curtosis son largas. [8]
Cuando tiende al infinito, la media tiende a , la varianza y la asimetría tienden a cero y el exceso de curtosis tiende a 6/5 (ver también las distribuciones relacionadas a continuación).
Cuantiles
La función cuantil (función de distribución acumulativa inversa) es:
De ello se deduce que la mediana es , el cuartil inferior es
y el cuartil superior es .
Aplicaciones
Análisis de supervivencia
La distribución log-logística proporciona un modelo paramétrico para el análisis de supervivencia . A diferencia de la distribución de Weibull más comúnmente utilizada , puede tener una función de riesgo no monótona : cuando la función de riesgo es unimodal (cuando ≤ 1, el riesgo disminuye monótonamente). El hecho de que la función de distribución acumulativa pueda escribirse en forma cerrada es particularmente útil para el análisis de datos de supervivencia con censura . [9]
La distribución log-logística se puede utilizar como base de un modelo de tiempo de falla acelerado al permitir diferir entre grupos, o más generalmente al introducir covariables que afectan pero no al modelar como una función lineal de las covariables. [10]
La distribución log-logística con parámetro de forma es la distribución marginal de los tiempos intermedios en un proceso de conteo distribuido geométricamente . [11]
Hidrología
La distribución log-logística se ha utilizado en hidrología para modelar caudales y precipitaciones. [4] [5]
Los valores extremos, como la precipitación máxima diaria y la descarga de ríos por mes o por año, a menudo siguen una distribución logarítmica normal . [12] Sin embargo, la distribución log-normal necesita una aproximación numérica. Como la distribución log-logística, que puede resolverse analíticamente, es similar a la distribución log-normal, se puede utilizar en su lugar.
La logística logística se ha utilizado como modelo para el período de tiempo que comienza cuando algunos datos salen de una aplicación de software de usuario en una computadora y la respuesta es recibida por la misma aplicación después de viajar y ser procesada por otras computadoras, aplicaciones y redes. segmentos, la mayoría o todos ellos sin garantías estrictas de tiempo real (por ejemplo, cuando una aplicación muestra datos provenientes de un sensor remoto conectado a Internet). Se ha demostrado que es un modelo probabilístico más preciso que la distribución log-normal u otras, siempre que se detecten adecuadamente cambios abruptos de régimen en las secuencias de esos tiempos. [15]
Si X tiene una distribución log-logística con parámetro de escala y parámetro de forma, entonces Y = log( X ) tiene una distribución logística con parámetro de ubicación y parámetro de escala
A medida que aumenta el parámetro de forma de la distribución log-logística, su forma se parece cada vez más a la de una distribución logística (muy estrecha) . Informalmente:
La distribución log-logística con parámetro de forma y parámetro de escala es la misma que la distribución de Pareto generalizada con parámetro de ubicación , parámetro de forma y parámetro de escala.
La adición de otro parámetro (un parámetro de desplazamiento) da como resultado formalmente una distribución log-logística desplazada , pero esto generalmente se considera en una parametrización diferente para que la distribución pueda estar acotada por arriba o por debajo.
Generalizaciones
A veces se hace referencia a varias distribuciones diferentes como distribución log-logística generalizada , ya que contienen la log-logística como un caso especial. [14] Estos incluyen la distribución Burr Tipo XII (también conocida como distribución Singh-Maddala ) y la distribución Dagum , las cuales incluyen un segundo parámetro de forma. Ambos son a su vez casos especiales de la aún más generalizada distribución beta del segundo tipo . Otra generalización más sencilla de la logística logarítmica es la distribución logística logarítmica desplazada .
Otra distribución log-logística generalizada es la transformada logarítmica de la distribución metalog , en la que las expansiones de series de potencias en términos de se sustituyen por parámetros de distribución logística y . La distribución log-metálogo resultante tiene una forma muy flexible, tiene un PDF de forma cerrada simple y una función cuantil , se puede ajustar a datos con mínimos cuadrados lineales y subsume la distribución log-logística como un caso especial.
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