Línea larga (topología)

Espacio topológico en matemáticas.

En topología , la línea larga (o línea de Alexandroff ) es un espacio topológico algo similar a la línea real , pero en cierto modo "más largo". Se comporta localmente igual que la línea real, pero tiene diferentes propiedades a gran escala (por ejemplo, no es Lindelöf ni separable ). Por tanto, sirve como un contraejemplo importante en topología. ^[1] Intuitivamente, la recta de números reales habitual consta de un número contable de segmentos de recta dispuestos de extremo a extremo, mientras que la recta larga se construye a partir de un número incontable de dichos segmentos. ${\displaystyle [0,1)}$

Definición

El rayo largo cerrado se define como el producto cartesiano del primer ordinal incontable con el intervalo medio abierto equipado con la topología de orden que surge del orden lexicográfico en . El rayo largo abierto se obtiene del rayo largo cerrado eliminando el elemento más pequeño. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

La línea larga se obtiene "pegando" dos rayos largos, uno en dirección positiva y otro en dirección negativa. Más rigurosamente, se puede definir como la topología de orden en la unión disjunta del rayo largo abierto invertido (“invertido” significa que el orden está invertido) (esta es la mitad negativa) y el rayo largo cerrado (no invertido) (el lado positivo). mitad), totalmente ordenado dejando que los puntos de este último sean mayores que los puntos del primero. Alternativamente, tome dos copias del rayo largo abierto e identifique el intervalo abierto de uno con el mismo intervalo del otro pero invirtiendo el intervalo, es decir, identifique el punto (donde hay un número real tal que ) del que tiene el punto del otro, y define la línea larga como el espacio topológico obtenido pegando los dos rayos largos abiertos a lo largo del intervalo abierto identificado entre los dos. (La primera construcción es mejor en el sentido de que define el orden en la línea larga y muestra que la topología es la topología del orden; la última es mejor en el sentido de que utiliza el pegado a lo largo de un conjunto abierto, lo cual es más claro desde el punto de vista topológico Punto de vista.) ${\displaystyle \{0\}\times (0,1)}$ ${\displaystyle (0,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle (0,1-t)}$

Intuitivamente, el rayo largo cerrado es como una media línea real (cerrada), excepto que es mucho más largo en una dirección: decimos que es largo en un extremo y cerrado en el otro. El rayo largo abierto es como la línea real (o equivalentemente una media línea abierta) excepto que es mucho más largo en una dirección: decimos que es largo en un extremo y corto (abierto) en el otro. La línea larga es más larga que las líneas reales en ambas direcciones: decimos que es larga en ambas direcciones.

Sin embargo, muchos autores hablan de “línea larga” donde hemos hablado del rayo largo (cerrado o abierto), y hay mucha confusión entre los distintos espacios largos. Sin embargo, en muchos usos o contraejemplos la distinción no es esencial, porque la parte importante es el extremo “largo” de la línea y no importa lo que suceda en el otro extremo (ya sea largo, corto o cerrado).

Un espacio relacionado, el rayo largo extendido (cerrado) , se obtiene como la compactación de un punto de al unir un elemento adicional al extremo derecho de . Se puede definir de manera similar la línea larga extendida agregando dos elementos a la línea larga, uno en cada final. ${\displaystyle L^{*},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L.}$

Propiedades

El rayo largo cerrado consta de un número incontable de copias 'pegados' de un extremo a otro. Compare esto con el hecho de que para cualquier ordinal contable , pegar copias de da un espacio que todavía es homeomórfico (e isomorfo de orden) to (Y si intentáramos pegar más de copias del espacio resultante ya no sería localmente homeomórfico a ) ${\displaystyle L=\omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Cada secuencia creciente en converge a un límite en ; esto es una consecuencia del hecho de que (1) los elementos de son los ordinales contables , (2) el supremo de cada familia contable de ordinales contables es un ordinal contable y (3) toda secuencia creciente y acotada de números reales converge. En consecuencia, no puede haber una función estrictamente creciente. De hecho, toda función continua es eventualmente constante. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} }$

Como topologías de orden, los rayos y líneas largos (posiblemente extendidos) son espacios normales de Hausdorff . Todas ellas tienen la misma cardinalidad que la línea real, pero son "mucho más largas". Todos ellos son localmente compactos . Ninguno de ellos es metrizable ; esto se puede ver como el rayo largo es secuencialmente compacto pero no compacto , o incluso Lindelöf .

La línea larga (no extendida) o raya no es paracompacta . Está conectado a un camino , conectado a un camino local y simplemente conectado pero no es contraíble . Es una variedad topológica unidimensional , con límite en el caso del rayo cerrado. Es primero contable pero no segundo contable y no separable , por lo que los autores que requieren estas últimas propiedades en sus variedades no llaman variedad a la línea larga. ^[2]

Tiene sentido considerar todos los espacios largos a la vez porque cada variedad topológica unidimensional (no necesariamente separable) conectada (no vacía) posiblemente con límite, es homeomórfica ya sea para el círculo, el intervalo cerrado o el intervalo abierto (línea real). ), el intervalo semiabierto, el rayo largo cerrado, el rayo largo abierto o la línea larga. ^[3]

La línea larga o rayo puede equiparse con la estructura de una variedad diferenciable (no separable) (con límite en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, contrariamente a la estructura topológica que es única (topológicamente, sólo hay una manera de hacer la línea real "más larga" en cada extremo), la estructura diferenciable no es única: de hecho, hay incontables muchas ( para ser precisos) estructuras lisas no difeomorfas por pares sobre él. ^[4] Esto contrasta marcadamente con la línea real, donde también hay diferentes estructuras suaves, pero todas ellas son difeomorfas con respecto a la estándar. ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

La línea o rayo largo puede incluso equiparse con la estructura de una variedad analítica (real) (con límite en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, esto es mucho más difícil que para el caso diferenciable (depende de la clasificación de variedades analíticas unidimensionales (separables), que es más difícil que para las variedades diferenciables). Nuevamente, cualquier estructura dada se puede extender de infinitas maneras a estructuras diferentes (= analíticas) (que son no difeomorfas por pares como variedades analíticas). ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$

La línea larga o rayo no puede equiparse con una métrica riemanniana que induzca su topología. La razón es que se puede demostrar que las variedades de Riemann , incluso sin el supuesto de paracompacidad, son metrizables. ^[6]

El rayo largo extendido es compacto . Es la compactación de un punto del rayo largo cerrado pero también es su compactación de Stone-Čech , porque cualquier función continua desde el rayo largo (cerrado o abierto) hasta la línea real es eventualmente constante. ^[7] también está conectado , pero no conectado por una ruta porque la línea larga es "demasiado larga" para ser cubierta por una ruta, que es una imagen continua de un intervalo. no es una variedad y no es primero contable. ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L^{*}}$

análogo p -ádico

Existe un análogo p -ádico de la línea larga, que se debe a George Bergman . ^[8]

Este espacio se construye como la unión creciente de un conjunto dirigido incontable de copias del anillo de enteros p -ádicos, indexados por un ordinal contable. Defina un mapa desde hasta siempre de la siguiente manera: ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$

• Si es un sucesor , entonces el mapa desde hasta es solo una multiplicación por. Para otros, el mapa desde hasta es la composición del mapa desde hasta y el mapa desde hasta ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon +1}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }.}$
• Si es un ordinal límite, entonces el límite directo de los conjuntos para es una unión contable de p -bolas ádicas, por lo que se puede incrustar como si con un punto eliminado también fuera una unión contable de p -bolas ádicas. Esto define incrustaciones compatibles de en para todos ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$ ${\displaystyle X_{\gamma },}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma .}$

Este espacio no es compacto, pero la unión de cualquier conjunto contable de subespacios compactos tiene cierre compacto.

Dimensiones superiores

Algunos ejemplos de variedades no paracompactas en dimensiones superiores incluyen la variedad Prüfer , productos de cualquier variedad no paracompacta con cualquier variedad no vacía, la bola de radio largo, etc. El teorema de la gaita muestra que existen clases de isomorfismo de superficies no paracompactas. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

No existen análogos complejos de la línea larga ya que cada superficie de Riemann es paracompacta, pero Calabi y Rosenlicht dieron un ejemplo de una variedad compleja no paracompacta de dimensión compleja 2. ^[9]

Ver también

• Topología de orden lexicográfico en el cuadrado unitario.
• Lista de topologías

Referencias

1. Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 71–72. ISBN 978-0-486-68735-3. SEÑOR  0507446. Zbl  1245.54001.
2. Shastri, Anant R. (2011), Elementos de topología diferencial, CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632.
3. Kunen, K.; Vaughan, J. (2014), Manual de topología teórica de conjuntos, Elsevier, pág. 643, ISBN 9781483295152.
4. Nyikos, Peter J. (1992). "Diversos suavizados de la línea larga y sus haces tangentes". Avances en Matemáticas . 93 (2): 129–213. doi : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . SEÑOR  1164707.
5. Kneser, Hellmuth; Kneser, Martín (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archiv der Mathematik . 11 : 104-106. doi :10.1007/BF01236917.
6. S. Kobayashi y K. Nomizu (1963). Fundamentos de la geometría diferencial . vol. I. Interciencia. pag. 166.
7. Joshi, KD (1983). "Capítulo 15 Sección 3". Introducción a la topología general . Jon Wiley e hijos. ISBN 0-470-27556-1. SEÑOR  0709260.
8. Serre, Jean-Pierre (1992). "IV ("Múltiples analíticas"), apéndice 3 ("La línea p -ádica transfinita")". Lie Algebras and Lie Groups (1964 Conferencias impartidas en la Universidad de Harvard) . Apuntes de conferencias sobre matemáticas, parte II ("Grupos de mentiras"). Springer-Verlag . ISBN 3-540-55008-9.
9. Calabí, Eugenio; Rosenlicht, Maxwell (1953). "Múltiples analíticas complejas sin base contable". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (3): 335–340. doi : 10.1090/s0002-9939-1953-0058293-x . SEÑOR  0058293.