En topología general , el orden lexicográfico en el cuadrado unitario (a veces el orden del diccionario en el cuadrado unitario [1] ) es una topología en el cuadrado unitario S , es decir, en el conjunto de puntos ( x , y ) en el plano tal que 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1. [2]
El orden lexicográfico da un orden total de los puntos en el cuadrado unitario: si ( x , y ) y ( u , v ) son dos puntos en el cuadrado, ( x , y ) ( u , v ) si y solo si cualquiera de los dos x < u o ambos x = u y y < v . Dicho simbólicamente,
La topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario es la topología del orden inducida por este ordenamiento.
La topología de orden convierte a S en un espacio de Hausdorff completamente normal . [3] Dado que se puede demostrar que el orden lexicográfico en S es completo , esta topología convierte a S en un espacio compacto . Al mismo tiempo, S contiene un número incontable de intervalos abiertos disjuntos por pares , cada uno de ellos homeomorfo a la recta real , por ejemplo los intervalos para . Entonces S no es separable , ya que cualquier subconjunto denso tiene que contener al menos un punto en cada uno . Por tanto, S no es metrizable (ya que cualquier espacio métrico compacto es separable); sin embargo, es primero contable . Además, S está conectado y conectado localmente, pero no conectado por ruta ni conectado por ruta local. [1] Su grupo fundamental es trivial. [2]
