Lema fundamental del cálculo de variaciones

Resultado inicial al usar funciones de prueba para encontrar el extremo

En matemáticas , concretamente en el cálculo de variaciones , una variación δf de una función f puede concentrarse en un intervalo arbitrariamente pequeño, pero no en un solo punto. En consecuencia, la condición necesaria del extremo ( derivada funcional igual a cero) aparece en una formulación débil (forma variacional) integrada con una función arbitraria δf . El lema fundamental del cálculo de variaciones se utiliza típicamente para transformar esta formulación débil en la formulación fuerte ( ecuación diferencial ), libre de la integración con función arbitraria. La prueba suele aprovechar la posibilidad de elegir δf concentrado en un intervalo en el que f mantiene el signo (positivo o negativo). Se utilizan varias versiones del lema. Las versiones básicas son fáciles de formular y probar. Se utilizan versiones más potentes cuando es necesario.

Versión básica

Si una función continua en un intervalo abierto satisface la igualdad ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

para todas las funciones suaves soportadas de forma compacta en , entonces es idénticamente cero. ^{[1] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f}$

Aquí "suave" puede interpretarse como "infinitamente diferenciable", ^[1] pero a menudo se interpreta como "dos veces continuamente diferenciable" o "continuamente diferenciable" o incluso simplemente "continuo", ^[2] ya que estas declaraciones más débiles pueden ser lo suficientemente fuertes para una tarea determinada. "Soportado de forma compacta" significa "desaparece afuera para algunos , de modo que "; ^[1] pero a menudo basta con una declaración más débil, asumiendo solo que (o y varios de sus derivados) desaparece en los puntos finales ,; ^[2] en este caso se utiliza el intervalo cerrado. ${\displaystyle [c,d]}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a<c<d<b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Prueba

Supongamos que para algunos . Como es continuo, es distinto de cero y tiene el mismo signo para algunos tales que . Sin pérdida de generalidad, supongamos . Luego tome un que sea positivo en y cero en otros lugares, por ejemplo ${\displaystyle f({\bar {x}})\neq 0}$ ${\displaystyle {\bar {x}}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle a<c<{\bar {x}}<d<b}$ ${\displaystyle f({\bar {x}})>0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c,d}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$.

Tenga en cuenta que esta función de aumento satisface las propiedades de la declaración, incluidas . Desde ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)dx>0,}$

llegamos a una contradicción. ^[3]

Versión para dos funciones dadas.

Si un par de funciones continuas f , g en un intervalo ( a , b ) satisface la igualdad

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}$

para todas las funciones suaves soportadas de forma compacta h en ( a , b ), entonces g es diferenciable y g' = f  en todas partes. ^{[4] [5]}

El caso especial para g = 0 es sólo la versión básica.

Este es el caso especial para f = 0 (a menudo suficiente).

Si una función continua g en un intervalo ( a , b ) satisface la igualdad

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0}$

para todas las funciones suaves h en ( a , b ) tales que , entonces g es constante . ^[6] ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$

Si, además, se supone una diferenciabilidad continua de g , entonces la integración por partes reduce ambos enunciados a la versión básica; este caso se atribuye a Joseph-Louis Lagrange , mientras que la prueba de la diferenciabilidad de g se debe a Paul du Bois-Reymond .

Versiones para funciones discontinuas

Las funciones dadas ( f , g ) pueden ser discontinuas, siempre que sean localmente integrables (en el intervalo dado). En este caso, se entiende integración de Lebesgue , las conclusiones son válidas en casi todas partes (por lo tanto, en todos los puntos de continuidad) y la diferenciabilidad de g se interpreta como continuidad absoluta local (en lugar de diferenciabilidad continua). ^{[7] [8]} A veces se supone que las funciones dadas son continuas por partes , en cuyo caso la integración de Riemann es suficiente y las conclusiones se expresan en todas partes excepto en el conjunto finito de puntos de discontinuidad. ^[5]

Derivados superiores

Si una tupla de funciones continuas en un intervalo ( a , b ) satisface la igualdad ${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}$

para todas las funciones suaves h soportadas de forma compacta en ( a , b ), entonces existen funciones continuamente diferenciables en ( a , b ) tales que ${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}$

en todos lados. ^[9]

Esta condición necesaria también es suficiente, ya que el integrando se convierte en ${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}$

El caso n = 1 es solo la versión para dos funciones dadas, ya que y por lo tanto, ${\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}=u_{0},}$ ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}$

Por el contrario, el caso n = 2 no conduce a la relación ya que no es necesario que la función sea derivable dos veces. La condición suficiente no es necesaria. Más bien, la condición necesaria y suficiente puede escribirse como para n =2, para n =3, etc.; en general, los corchetes no se pueden abrir debido a la no diferenciabilidad. ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}$ ${\displaystyle f_{2}=u_{1}}$ ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}$ ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$ ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$

Funciones con valores vectoriales

La generalización a funciones con valores vectoriales es sencilla; se aplican los resultados de las funciones escalares a cada coordenada por separado, ^[10] o se trata el caso con valores vectoriales desde el principio. ^[11] ${\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}$

Funciones multivariables

Si una función multivariable continua f en un conjunto abierto satisface la igualdad ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

para todas las funciones suaves h en Ω soportadas de forma compacta, entonces f es idénticamente cero.

De manera similar a la versión básica, se puede considerar una función continua f en el cierre de Ω, asumiendo que h desaparece en el límite de Ω (en lugar de estar soportado de manera compacta). ^[12]

Aquí hay una versión para funciones multivariables discontinuas.

Sea un conjunto abierto y satisfaga la igualdad. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

para todas las funciones suaves soportadas de forma compacta h en Ω. Entonces f =0 (en L ² , es decir, en casi todas partes). ^[13]

Aplicaciones

Este lema se utiliza para demostrar que los extremos del funcional

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}$

son soluciones débiles (para un espacio vectorial apropiado ) de la ecuación de Euler-Lagrange ${\displaystyle y:[x_{0},x_{1}]\to V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}$

La ecuación de Euler-Lagrange juega un papel destacado en la mecánica clásica y la geometría diferencial .

Notas

1. Jost y Li-Jost 1998, Lema 1.1.1 en la p.6
2. Gelfand & Fomin 1963, Lema 1 en la p.9 (y comentario)
3. Liberzon 2012, Lema 2.1 en la página 37
4. Gelfand y Fomin 1963, Lema 4 en la página 11
5. Hestenes 1966, Lema 15.1 en la página 50
6. Gelfand y Fomin 1963, Lema 2 en la página 10
7. Jost y Li-Jost 1998, Lema 1.2.1 en la página 13
8. Giaquinta & Hildebrandt 1996, sección 2.3: Apaciguadores
9. Hestenes 1966, Lema 13.1 en la página 105
10. Gelfand y Fomin 1963, p.35
11. Jost y Li-Jost 1998
12. Gelfand y Fomin 1963, Lema en la página 22; la prueba se aplica en ambas situaciones.
13. Jost y Li-Jost 1998, Lema 3.2.3 en la página 170

Referencias

• Jost, Jürgen; Li-Jost, Xianqing (1998), Cálculo de variaciones , Universidad de Cambridge
• Gelfand, IM; Fomin, SV (1963), Cálculo de variaciones , Prentice-Hall(traducido del ruso).
• Hestenes, Magnus R. (1966), Cálculo de variaciones y teoría del control óptimo , John Wiley
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Cálculo de variaciones I , Springer
• Liberzon, Daniel (2012), Cálculo de variaciones y teoría del control óptimo , Princeton University Press