Forma logarítmica

En geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas , una forma diferencial logarítmica es una forma diferencial con polos de un tipo determinado. El concepto fue introducido por Pierre Deligne . ^[1] En resumen, las diferenciales logarítmicas tienen las singularidades más suaves posibles necesarias para dar información sobre una subvariedad abierta (el complemento del divisor de polos). (Esta idea se hace precisa mediante varias versiones del teorema de De Rham que se analizan a continuación).

Sea X una variedad compleja, D ⊂ X un divisor reducido (una suma de subespacios complejos distintos de codimensión 1) y ω una p -forma holomorfa en X − D . Si tanto ω como d ω tienen un polo de orden como máximo 1 a lo largo de D , entonces se dice que ω tiene un polo logarítmico a lo largo de D . ω también se conoce como una p -forma logarítmica. Las p -formas con polos logarítmicos a lo largo de D forman un subhaz de las p -formas meromórficas en X , denotado

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D).}$

El nombre proviene del hecho de que en el análisis complejo , ; aquí hay un ejemplo típico de una forma 1 en los números complejos C con un polo logarítmico en el origen. Las formas diferenciales como tienen sentido en un contexto puramente algebraico, donde no hay análogo de la función logarítmica . ${\displaystyle d(\log z)=dz/z}$ ${\displaystyle dz/z}$ ${\displaystyle dz/z}$

Complejo logarítmico de Rham

Sea X una variedad compleja y D un divisor reducido en X . Por definición de y el hecho de que la derivada exterior d satisface d ² = 0, se tiene ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)}$

para cada subconjunto abierto U de X . Por lo tanto, las diferenciales logarítmicas forman un complejo de haces , conocido como complejo logarítmico de Rham asociado al divisor D . Este es un subcomplejo de la imagen directa , donde es la inclusión y es el complejo de haces de formas holomorfas en X − D . ${\displaystyle (\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)}$ ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })}$ ${\displaystyle j:X-D\rightarrow X}$ ${\displaystyle \Omega _{X-D}^{\bullet }}$

De especial interés es el caso en el que D tiene cruces normales : es decir, D es localmente una suma de subvariedades complejas de codimensión-1 que se intersecan transversalmente. En este caso, el haz de formas diferenciales logarítmicas es la subálgebra de generada por las formas diferenciales holomorfas junto con las 1-formas para funciones holomorfas que no son cero fuera de D. [ ^2] Nótese que ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle df/f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{fg}}={\frac {df}{f}}+{\frac {dg}{g}}.}$

Concretamente, si D es un divisor con cruces normales en una variedad compleja X , entonces cada punto x tiene un entorno abierto U en el que hay funciones coordenadas holomorfas tales que x es el origen y D está definido por la ecuación para algún . En el conjunto abierto U , las secciones de están dadas por ^[3] ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle z_{1}\cdots z_{k}=0}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)={\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{n}.}$

Esto describe el fibrado vectorial holomorfo en . Entonces, para cualquier , el fibrado vectorial es la k -ésima potencia exterior , ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)=\bigwedge ^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D).}$

El fibrado tangente logarítmico significa el fibrado vectorial dual a . Explícitamente, una sección de es un campo vectorial holomorfo en X que es tangente a D en todos los puntos suaves de D . ^[4] ${\displaystyle TX(-\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle TX(-\log D)}$

Diferenciales logarítmicos y cohomología singular

Sea X una variedad compleja y D un divisor con cruces normales en X. Deligne demostró un análogo holomorfo del teorema de De Rham en términos de diferenciales logarítmicas. Es decir,

${\displaystyle H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} ),}$

donde el lado izquierdo denota la cohomología de X con coeficientes en un complejo de haces, a veces llamada hipercohomología . Esto se desprende de la inclusión natural de complejos de haces.

${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X-D}^{\bullet }}$

siendo un cuasi-isomorfismo . ^[5]

Diferenciales logarítmicas en geometría algebraica

En geometría algebraica, el fibrado vectorial de p -formas diferenciales logarítmicas sobre un esquema suave X sobre un cuerpo, con respecto a un divisor con cruces normales simples, se define como arriba: las secciones de son formas diferenciales (algebraicas) ω sobre tales que tanto ω como d ω tienen un polo de orden como máximo uno a lo largo de D . ^[6] Explícitamente, para un punto cerrado x que se encuentra en para y no en para , sean funciones regulares sobre algún entorno abierto U de x tal que es el subesquema cerrado definido por dentro de U para , y x es el subesquema cerrado de U definido por . Entonces una base de secciones de sobre U está dada por: ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle D=\sum D_{j}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle j>k}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle u_{j}=0}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle u_{1}=\cdots =u_{n}=0}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle {du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}.}$

Esto describe el fibrado vectorial en X , y luego es la p -ésima potencia exterior de . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

Hay una secuencia exacta de haces coherentes en X :

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{1}\to \Omega _{X}^{1}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}{\mathcal {O}}_{D_{j}}\to 0,}$

donde es la inclusión de un componente irreducible de D . Aquí β se llama mapa de residuos ; por lo tanto, esta secuencia dice que una 1-forma con polos logarítmicos a lo largo de D es regular (es decir, no tiene polos) si y solo si sus residuos son cero. De manera más general, para cualquier p ≥ 0, existe una secuencia exacta de haces coherentes en X : ${\displaystyle i_{j}:D_{j}\to X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}(\log(D-D_{j}))\to \cdots \to 0,}$

donde las sumas se realizan sobre todos los componentes irreducibles de dimensión dada de las intersecciones de los divisores D _j . Aquí nuevamente, β se denomina mapa de residuos.

Explícitamente, en un subconjunto abierto de que solo cumple un componente de , con definido localmente por , el residuo de una forma logarítmica a lo largo de está determinado por: el residuo de una forma p regular es cero, mientras que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D_{j}}$

${\displaystyle {\text{Res}}_{D_{j}}{\bigg (}{\frac {df}{f}}\wedge \alpha {\bigg )}=\alpha |_{D_{j}}}$

para cualquier forma regular . ^[7] Algunos autores definen el residuo diciendo que tiene residuo , lo cual difiere de la definición aquí por el signo . ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \wedge (df/f)}$ ${\displaystyle \alpha |_{D_{j}}}$ ${\displaystyle (-1)^{p-1}}$

Ejemplo del residuo

En el caso de los números complejos, el residuo de una forma diferencial con polos logarítmicos a lo largo de un divisor puede considerarse como el resultado de la integración sobre bucles en torno a . En este contexto, el residuo puede denominarse residuo de Poincaré . ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{j}}$

Para un ejemplo explícito, ^[8] considere una curva elíptica D en el plano proyectivo complejo , definida en coordenadas afines por la ecuación donde y es un número complejo. Entonces D es una hipersuperficie suave de grado 3 en y, en particular, un divisor con cruces normales simples. Existe una 2-forma meromórfica en dada en coordenadas afines por ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\{[x,y,z]\}}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle g(x,y)=y^{2}-f(x)=0,}$ ${\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {dx\wedge dy}{g(x,y)}},}$

que tiene polos logarítmicos a lo largo de D. Como el fibrado canónico es isomorfo al fibrado lineal , el divisor de polos de debe tener grado 3. Por lo tanto, el divisor de polos de consiste únicamente en D (en particular, no tiene un polo a lo largo de la línea en el infinito). El residuo de ω a lo largo de D está dado por la 1-forma holomorfa ${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{2}}=\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-3)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\text{Res}}_{D}(\omega )=\left.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\right|_{D}=\left.-{\frac {dx}{\partial g/\partial y}}\right|_{D}=\left.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\right|_{D}.}$

De ello se deduce que se extiende a una forma única holomórfica en la curva proyectiva D en , una curva elíptica. ${\displaystyle dx/y|_{D}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

El mapa de residuos considerado aquí es parte de un mapa lineal , que puede llamarse "mapa de Gysin". Es parte de la secuencia de Gysin asociada a cualquier divisor suave D en una variedad compleja X : ${\displaystyle H^{0}(\mathbf {P} ^{2},\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}(\log D))\to H^{0}(D,\Omega _{D}^{1})}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {P} ^{2}-D,\mathbf {C} )\to H^{1}(D,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \cdots \to H^{j-2}(D)\to H^{j}(X)\to H^{j}(X-D)\to H^{j-1}(D)\to \cdots .}$

Terminología histórica

En la teoría de funciones elípticas del siglo XIX , las 1-formas con polos logarítmicos a veces se denominaban integrales de segundo tipo (y, con una desafortunada inconsistencia, a veces diferenciales de tercer tipo ). Por ejemplo, la función zeta de Weierstrass asociada a una red en C se denominaba "integral de segundo tipo" para significar que podía escribirse ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \zeta (z)={\frac {\sigma '(z)}{\sigma (z)}}.}$

En términos modernos, se deduce que es una 1-forma en C con polos logarítmicos en , ya que es el conjunto cero de la función sigma de Weierstrass ${\displaystyle \zeta (z)dz=d\sigma /\sigma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \sigma (z).}$

Teoría de Hodge mixta para variedades suaves

Sobre los números complejos, Deligne demostró un fortalecimiento del teorema algebraico de Rham de Alexander Grothendieck , relacionando la cohomología de haces coherentes con la cohomología singular . Es decir, para cualquier esquema suave X sobre C con un divisor con cruces normales simples D , existe un isomorfismo natural.

${\displaystyle H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} )}$

para cada entero k , donde los grupos de la izquierda se definen utilizando la topología de Zariski y los grupos de la derecha utilizan la topología clásica (euclidiana). ^[9]

Además, cuando X es suave y propia sobre C , la secuencia espectral resultante

${\displaystyle E_{1}^{pq}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))\Rightarrow H^{p+q}(X-D,\mathbf {C} )}$

degenera en . ^[10] Por lo tanto, la cohomología de con coeficientes complejos tiene una filtración decreciente, la filtración de Hodge , cuyos espacios vectoriales graduados asociados son los grupos definidos algebraicamente . ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))}$

Esta es parte de la estructura mixta de Hodge que Deligne definió sobre la cohomología de cualquier variedad algebraica compleja. En particular, también hay una filtración de peso sobre la cohomología racional de . La filtración resultante sobre se puede construir utilizando el complejo logarítmico de De Rham. Es decir, defina una filtración creciente mediante ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle H^{*}(X-D,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle W_{m}\Omega _{X}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{X}^{p-m}\cdot \Omega _{X}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\\\Omega _{X}^{p}(\log D)&m\geq p.\end{cases}}}$

La filtración resultante sobre cohomología es la filtración de peso: ^[11]

${\displaystyle W_{m}H^{k}(X-D,\mathbf {C} )={\text{Im}}(H^{k}(X,W_{m-k}\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X-D,\mathbf {C} )).}$

Basándose en estos resultados, Hélène Esnault y Eckart Viehweg generalizaron el teorema de desaparición de Kodaira-Akizuki-Nakano en términos de diferenciales logarítmicas. Es decir, sea X una variedad proyectiva compleja suave de dimensión n , D un divisor con cruces normales simples en X , y L un fibrado lineal amplio en X . Entonces

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes L)=0}$

y

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes O_{X}(-D)\otimes L)=0}$

para todos . ^[12] ${\displaystyle p+q>n}$

Véase también

• Fórmula de adjunción
• Homología de Borel-Moore
• Diferencial de primer tipo
• Estructura del registro
• Estructura mixta de Hodge
• Teorema del residuo
• Residuo de Poincaré

Notas

1. Deligne (1970), sección II.3.
2. Deligne (1970), Definición II.3.1.
3. Peters y Steenbrink (2008), sección 4.1.
4. Deligne (1970), sección II.3.9.
5. Deligne (1970), Proposición II.3.13.
6. Deligne (1970), Lema II.3.2.1.
7. Deligne (1970), secciones II.3.5 a II.3.7; Griffiths y Harris (1994), sección 1.1.
8. Griffiths y Harris (1994), sección 2.1.
9. Deligne (1970), Corolario II.6.10.
10. Deligne (1971), Corolaire 3.2.13.
11. Peters y Steenbrink (2008), Teorema 4.2.
12. Esnault y Viehweg (1992), Corolario 6.4.

Referencias

• Deligne, Pierre (1970), Equations Différentielles à Points Singuliers Réguliers, Lecture Notes in Mathematics, vol. 163, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0061194, ISBN 3540051902, MR  0417174, OCLC  169357
• Deligne, Pierre (1971), "Théorie de Hodge II", Publ. Matemáticas. IHÉS , 40 : 5–57, doi : 10.1007/BF02684692, SEÑOR  0498551, S2CID  118967613
• Esnault, Hélène ; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas de desaparición , Birkhäuser, doi :10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, Sr.  1193913
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978], Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, doi :10.1002/9781118032527, ISBN 0-471-05059-8, Sr.  0507725
• Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008), Estructuras mixtas de Hodge , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 52, Springer, doi :10.1007/978-3-540-77017-6, ISBN 978-3-540-77017-6, Sr.  2393625

Enlaces externos

• Aise Johan de Jong , Cohomología algebraica de Rham.