Las ecuaciones rectoras de un modelo matemático describen cómo cambian los valores de las variables desconocidas (es decir, las variables dependientes ) cuando cambian una o más de las variables conocidas (es decir, independientes ).
Los sistemas físicos se pueden modelar fenomenológicamente en varios niveles de sofisticación, y cada nivel captura un grado diferente de detalle sobre el sistema. Una ecuación gobernante representa el modelo fenomenológico más detallado y fundamental actualmente disponible para un sistema determinado.
Por ejemplo, en el nivel más aproximado, una viga es simplemente una curva 1D cuyo par es función de la curvatura local. En un nivel más refinado , la viga es un cuerpo 2D cuyo tensor de tensión es función del tensor de deformación local, y el tensor de deformación es función de su deformación. Las ecuaciones son entonces un sistema PDE. Nótese que ambos niveles de sofisticación son fenomenológicos, pero uno es más profundo que el otro. Como otro ejemplo, en dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son más refinadas que las ecuaciones de Euler .
A medida que el campo avanza y nuestra comprensión de los mecanismos subyacentes se profundiza, las ecuaciones gobernantes pueden ser reemplazadas o refinadas por modelos nuevos y más precisos que representen mejor el comportamiento del sistema. Estas nuevas ecuaciones rectoras pueden entonces considerarse el nivel más profundo de modelo fenomenológico en ese momento.
Un balance de masa , también llamado balance de materia , es una aplicación de la conservación de la masa al análisis de sistemas físicos. Es la ecuación rectora más simple y es simplemente un presupuesto (cálculo del saldo) sobre la cantidad en cuestión:
Las ecuaciones rectoras [1] [2] en física clásica que se imparten [3] [4] [5] [6] en las universidades se enumeran a continuación.
Las ecuaciones básicas de la mecánica continua clásica son todas ecuaciones de equilibrio y, como tales, cada una de ellas contiene un término derivado del tiempo que calcula cuánto cambia la variable dependiente con el tiempo. Para un sistema aislado, sin fricción/no viscoso, las primeras cuatro ecuaciones son las conocidas ecuaciones de conservación en la mecánica clásica.
La ley de Darcy sobre el flujo de aguas subterráneas tiene la forma de un flujo volumétrico causado por un gradiente de presión. Un flujo en la mecánica clásica normalmente no es una ecuación rectora, pero suele ser una ecuación que define las propiedades de transporte . La ley de Darcy se estableció originalmente como una ecuación empírica, pero luego se demostró que se puede derivar como una aproximación de la ecuación de Navier-Stokes combinada con un término empírico compuesto de fuerza de fricción. Esto explica la dualidad en la ley de Darcy como ecuación rectora y ecuación definitoria de la permeabilidad absoluta.
La no linealidad de la derivada material en las ecuaciones de equilibrio en general, y las complejidades de la ecuación de momento de Cauchy y la ecuación de Navier-Stokes hacen que las ecuaciones básicas de la mecánica clásica estén expuestas al establecimiento de aproximaciones más simples.
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales rectoras en la mecánica continua clásica son
Un ejemplo famoso de gobierno de ecuaciones diferenciales dentro de la biología es
Una ecuación gobernante también puede ser una ecuación de estado , una ecuación que describe el estado del sistema, y por lo tanto ser en realidad una ecuación constitutiva que ha "subido de rango" porque el modelo en cuestión no estaba destinado a incluir un término dependiente del tiempo en la ecuacion. Este es el caso de un modelo de planta de producción de petróleo que, en promedio, opera en modo de estado estacionario . Los resultados de un cálculo de equilibrio termodinámico son datos de entrada para el siguiente cálculo de equilibrio junto con algunos parámetros de estado nuevos, y así sucesivamente. En este caso, el algoritmo y la secuencia de datos de entrada forman una cadena de acciones o cálculos que describen el cambio de estados desde el primer estado (basado únicamente en los datos de entrada) hasta el último estado que finalmente sale de la secuencia de cálculo.
