Función kernel para resolver la ecuación integral de los intercambios de radiación superficial.

En física e ingeniería , la transferencia de calor radiativo de una superficie a otra es igual a la diferencia de radiación entrante y saliente de la primera superficie. En general, la transferencia de calor entre superficies se rige por la temperatura, las propiedades de emisividad de la superficie y la geometría de las superficies. La relación para la transferencia de calor se puede escribir como una ecuación integral con condiciones de contorno basadas en las condiciones de la superficie. Las funciones kernel pueden resultar útiles para aproximar y resolver esta ecuación integral.

Equación gobernante

El intercambio de calor por radiación depende de la temperatura superficial local del recinto y de las propiedades de las superficies, pero no depende del medio. Porque los medios no absorben, emiten ni dispersan radiación.

Ecuación rectora de la transferencia de calor entre dos superficies A _i y A _j donde ${\begin{aligned}q(r_{i})={}&\int _{\lambda =0}^{\infty }\int _{\psi _{i}=0}^{2 \pi }\int _{\theta _{i}=0}^{\frac {\pi }{2}}\varepsilon _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{i},\theta _{i},r_{i})I_{b\lambda ,i}(\cos \theta _{i}\sin \theta _{i})\,d\theta _{i}\,d\psi _{i}\,d\lambda \\&-\sum _{j=1}^{N}\int _{\lambda =0}^{\infty }\rho _{\lambda ,i}(\ lambda ,\psi _{r,j},\theta _{r,j},\psi _{j},\theta _{j},r_{i})I_{\lambda ,k}(\lambda , \psi _{k},\theta _{k},r_{i}){\frac {\cos \theta _{j}\cos \theta _{k}}{|r_{k}-r_{j }|^{2}}}\,dA_{k}\end{aligned}}$

${\displaystyle\lambda}$ es la longitud de onda de los rayos de radiación,
$I$ es la intensidad de la radiación,
$\varepsilon$ es la emisividad,
$r$ es la reflectividad,
$\theta$ es el ángulo entre la normal de la superficie y la dirección de intercambio de radiación, y
$\psi$ es el ángulo azimutal

Si la superficie del recinto se aproxima como una superficie gris y difusa, la ecuación anterior se puede escribir como después del procedimiento analítico, ¿ dónde está el poder emisivo del cuerpo negro que se da en función de la temperatura del cuerpo negro ? –Constante de Boltzmann . $q(r)+\varepsilon (r)E_{b}=\varepsilon (r)\oint K(r,r')\left[E_{b}(r')+1-{\frac {\varepsilon (r')}{\varepsilon (r)}}d\Gamma (r')\right]$ $E_{b}$ $E_{b}(r)=\sigma T^{4}(r)$ $\sigma$

función del núcleo

Las funciones del kernel proporcionan una manera de manipular datos como si estuvieran proyectados en un espacio dimensional superior, operando sobre ellos en su espacio original. De modo que los datos en el espacio de dimensiones superiores se vuelven más fácilmente separables. La función Kernel también se utiliza en ecuaciones integrales para intercambios de radiación superficial. La función del núcleo se relaciona tanto con la geometría del recinto como con sus propiedades superficiales. La función del kernel depende de la geometría del cuerpo.

En la ecuación anterior, K ( r , r′ ) es la función central para la integral, que para problemas tridimensionales toma la siguiente forma donde F asume un valor de uno cuando el elemento de superficie I ve el elemento de superficie J ; de lo contrario, es cero si el rayo está bloqueado y θr es el ángulo en el punto r , y θr ′ en el punto r ′. El parámetro F depende de la configuración geométrica del cuerpo, por lo que la función del núcleo es muy irregular para un recinto geométricamente complejo. $K(r,r')=-{\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}F={\frac {\cos \theta _{r}\cos \theta _{r}'}{\pi |r-r'|^{4}}}F$

Ecuación de kernel para geometría 2-D y simétrica de eje

Para configuraciones 2-D y simétricas de eje, la función kernel se puede integrar analíticamente a lo largo de la dirección z o θ . La integración de la función del núcleo es $K(r,r')=-\iint F{\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}\,dz'\,dz={\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}F$

Aquí n denota la unidad normal del elemento I en el ángulo de azimut ϕ ′ siendo cero, y n ′ se refiere a la unidad normal del elemento J con cualquier ángulo de azimut ϕ ′. Las expresiones matemáticas para n y n ′ son las siguientes: ${\begin{aligned}n&=(\cos \theta ,0,\sin \theta )\\n'&=(\cos \theta '\sin \phi ',\cos \theta '\sin \phi ',\sin \theta ')\end{aligned}}$

Sustituyendo estos términos en la ecuación, la función kernel se reordena en términos del ángulo de acimut ϕ'- donde $K(\phi ')={\frac {(c'+d\cos \phi ')(c''+d\cos \phi ')}{\pi (c+d\cos \phi ')^{2}}}F$ ${\begin{aligned}c&=r_{i}^{2}+r_{j}^{2}+Z_{j}^{2}\\d&=-2r_{i}r_{j}\\c'&=Z_{j}\sin \theta -r_{i}\cos \theta \\d'&=r_{j}\cos \theta \\c''&=Z_{j}\sin \theta '+r_{j}\cos \theta '\\d''&=-r_{i}\cos \theta '\end{aligned}}$

La relación es válida para este caso particular. ${\frac {d\left\{\arctan \left({\sqrt {\frac {c-d}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)\right\}}{dx}}={\frac {\sqrt {c^{2}-d^{2}}}{2(c+d\cos \phi )}}$

La expresión final de la función del núcleo es donde ${\bar {k}}(\phi )=2\int _{0}^{\phi }k(\phi ')\,d\phi '=-{\frac {2}{\pi }}\left[A\phi +b\arctan \left({\sqrt {\frac {c-d}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)+C{\frac {\sin \phi }{c+d\cos \phi }}\right]$

${\begin{aligned}A&={\frac {d'd''}{d^{2}}}\\B&=2{\frac {(c^{2}-d^{2})(d'f+ed'')+cdef}{d(c^{2}-d^{2}){\sqrt {c^{2}-d^{2}}}}}\\C&={\frac {def}{d^{2}-c^{2}}}\\e&={\frac {dc'-cd'}{d}}\\f&={\frac {dc''-cd''}{d}}\end{aligned}}$

Referencias

Robert Siegel, Transferencia de calor por radiación térmica, cuarta edición
Ben Q. Li, "Elementos finitos discontinuos en dinámica de fluidos y transferencia de calor"
Transferencia de calor por radiación de JR Mahan : un enfoque estadístico, volumen 1
Richard M. Goody Yuk Ling Yung Radiación atmosférica
KG Terry Hollands "El solucionador de ecuaciones integrales de Fredholm simplificado y su uso en radiación térmica"
Michael F. Modesta transferencia de calor radiativo

enlaces externos

http://crsouza.blogspot.in/2010/03/kernel-functions-for-machine-learning.html
http://mathworld.wolfram.com/IntegralKernel.html
http://www.thermalfluidscentral.org/e-books/book-viewer.php?b=37&s=11