La identidad determinante de Sylvester

Identidad en álgebra útil para evaluar ciertos tipos de determinantes

En la teoría de matrices , la identidad determinante de Sylvester es una identidad útil para evaluar ciertos tipos de determinantes . Lleva el nombre de James Joseph Sylvester , quien declaró esta identidad sin pruebas en 1851. ^[1]

Dada una matriz de n por n , denotemos su determinante. Elige un par ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det(A)}$

${\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{m}),v=(v_{1},\dots ,v_{m})\subset (1,\dots ,n)}$

de subconjuntos ordenados de m elementos de , donde m ≤ n . Denotemos la submatriz ( n − m ) -por- ( n − m ) de obtenida eliminando las filas y las columnas en . Definir la matriz auxiliar m -por- m cuyos elementos son iguales a los siguientes determinantes ${\displaystyle (1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle A_{v}^{u}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{v}^{u}}$

${\displaystyle ({\tilde {A}}_{v}^{u})_{ij}:=\det(A_{v[{\hat {v}}_{j}]}^{u[{\hat {u}}_{i}]}),}$

donde , denota los m −1 subconjuntos de elementos de y obtenidos eliminando los elementos y , respectivamente. Entonces la siguiente es la identidad determinante de Sylvester (Sylvester, 1851): ${\displaystyle u[{\hat {u_{i}}}]}$ ${\displaystyle v[{\hat {v_{j}}}]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$

${\displaystyle \det(A)(\det(A_{v}^{u}))^{m-1}=\det({\tilde {A}}_{v}^{u}).}$

Cuando m  = 2, ésta es la identidad Desnanot-Jacobi (Jacobi, 1851).

Ver también

• Identidad Weinstein-Aronszajn , que a veces se atribuye a Sylvester

Referencias

1. Sylvester, James Joseph (1851). "Sobre la relación entre los determinantes menores de funciones cuadráticas linealmente equivalentes". Revista Filosófica . 1 : 295–305.
   Citado en Akritas, AG; Akritas, EK; Malaschonok, GI (1996). "Varias pruebas de la identidad (determinante) de Sylvester". Matemáticas y Computación en Simulación . 42 (4–6): 585. doi :10.1016/S0378-4754(96)00035-3.