Para dos matrices adecuadas, A y B, I+AB e I+BA tienen el mismo valor determinado
En matemáticas , la identidad de Weinstein-Aronszajn establece que si y son matrices de tamaño m × n y n × m respectivamente (cualquiera o ambas pueden ser infinitas), entonces, siempre que (y por tanto, también ) sea de clase traza ,
donde está la matriz identidad k × k .
Está estrechamente relacionado con el lema del determinante matricial y su generalización. Es el análogo determinante de la identidad de la matriz de Woodbury para matrices inversas.
Prueba
La identidad puede probarse de la siguiente manera. [1]
Sea una matriz que consta de los cuatro bloques , y :
Como Im es invertible , la fórmula para el determinante de una matriz de bloques da
Como In es invertible, la fórmula para el determinante de una matriz de bloques da
De este modo
Sustituir entonces da la identidad Weinstein-Aronszajn.
Aplicaciones
Dejar . La identidad se puede utilizar para mostrar la afirmación algo más general de que
De ello se deduce que los valores propios distintos de cero de y son los mismos.
Esta identidad es útil para desarrollar un estimador de Bayes para distribuciones gaussianas multivariadas .
La identidad también encuentra aplicaciones en la teoría de matrices aleatorias al relacionar determinantes de matrices grandes con determinantes de matrices más pequeñas. [2]
Referencias
- ^ Pozrikidis, C. (2014), Introducción a las cuadrículas, gráficos y redes, Oxford University Press, p. 271, ISBN 9780199996735
- ^ "La estructura mesoscópica de los valores propios de GUE | Novedades". Terrytao.wordpress.com . Consultado el 16 de enero de 2016 .