Lema determinante de matriz

En álgebra lineal

En matemáticas , en particular álgebra lineal , el lema del determinante matricial calcula el determinante de la suma de una matriz invertible A y el producto diádico , u v ^{T , de un} vector columna u y un vector fila v ^{T. [1] [2]}  

Declaración

Supongamos que A es una matriz cuadrada invertible y u , v son vectores columna . Entonces el lema del determinante matricial establece que

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.}$

Aquí, uv ^T es el producto exterior de dos vectores u y v .

El teorema también se puede expresar en términos de la matriz conjugada de A :

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,}$

en cuyo caso se aplica independientemente de que la matriz cuadrada A sea invertible o no.

Prueba

Primero, la prueba del caso especial A = I se sigue de la igualdad: ^[3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

El determinante del lado izquierdo es el producto de los determinantes de las tres matrices. Dado que la primera y la tercera matriz son matrices triangulares con diagonal unitaria, sus determinantes son solo 1. El determinante de la matriz del medio es nuestro valor deseado. El determinante del lado derecho es simplemente (1 + v Tu ⁾ . Entonces tenemos el resultado:

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).}$

Entonces el caso general se puede encontrar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}}$

Solicitud

Si ya se conocen el determinante y la inversa de A , la fórmula proporciona una forma numéricamente económica de calcular el determinante de A corregido por la matriz uv ^T. El cálculo es relativamente barato porque el determinante de A + uv ^T no tiene que calcularse desde cero (lo que en general es caro). Utilizando vectores unitarios para u y/o v , se pueden manipular columnas, filas o elementos individuales ^[4] de A y calcular de esta manera un determinante actualizado correspondientemente de forma relativamente económica.

Cuando el lema del determinante matricial se utiliza junto con la fórmula de Sherman-Morrison , tanto el inverso como el determinante pueden actualizarse convenientemente juntos.

Generalización

Supongamos que A es una matriz invertible de n por n y U , V son matrices de n por m . Entonces

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).}$

En el caso especial se trata de la identidad Weinstein-Aronszajn . ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I_{n}} }$

Dada además una matriz W invertible de m por m , la relación también se puede expresar como

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).}$

Ver también

• La fórmula de Sherman-Morrison , que muestra cómo actualizar la inversa, A ⁻¹ , para obtener ( A + uv ^T ) ⁻¹ .
• La fórmula de Woodbury , que muestra cómo actualizar la inversa, A ⁻¹ , para obtener ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .
• El teorema inverso del binomio para ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .

Referencias

1. Harville, DA (1997). Álgebra matricial desde la perspectiva de un estadístico . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94978-X.
2. Brookes, M. (2005). "El manual de referencia de Matrix (en línea)".
3. Ding, J.; Zhou, A. (2007). "Valores propios de matrices actualizadas de rango uno con algunas aplicaciones". Letras de Matemática Aplicada . 20 (12): 1223–1226. doi : 10.1016/j.aml.2006.11.016 . ISSN  0893-9659.
4. William H. Prensa; Brian P. Flannery; Saúl A. Teukolsky; William T. Vetterling (1992). Recetas numéricas en C: el arte de la informática científica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.73. ISBN 0-521-43108-5.