Ecuación de Raychaudhuri

Resultado en relatividad general

En relatividad general , la ecuación de Raychaudhuri , o ecuación de Landau-Raychaudhuri , ^[1] es un resultado fundamental que describe el movimiento de partículas cercanas de materia.

La ecuación es importante como lema fundamental para los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking y para el estudio de soluciones exactas en relatividad general , pero tiene interés independiente, ya que ofrece una validación simple y general de nuestra expectativa intuitiva de que la gravitación debería ser una fuerza atractiva universal entre dos bits de masa-energía en la relatividad general, como lo es en la teoría de la gravitación de Newton .

La ecuación fue descubierta independientemente por el físico indio Amal Kumar Raychaudhuri ^[2] y el físico soviético Lev Landau ^[3] .

Enunciado matemático

Dado un campo vectorial unitario temporal (que puede interpretarse como una familia o congruencia de líneas del mundo que no se intersecan a través de la curva integral , no necesariamente geodésicas ), la ecuación de Raychaudhuri puede escribirse ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

dónde

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

son invariantes cuadráticos (no negativos) del tensor de corte

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

y el tensor de vorticidad

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

respectivamente. Aquí,

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

es el tensor de expansión , es su traza , llamada escalar de expansión , y ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

es el tensor de proyección sobre los hiperplanos ortogonales a . Además, el punto denota diferenciación con respecto al tiempo propio contado a lo largo de las líneas del universo en la congruencia. Finalmente, la traza del tensor de marea también se puede escribir como ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Esta cantidad a veces se denomina escalar de Raychaudhuri .

Significado intuitivo

La expansión escalar mide la tasa fraccionaria a la que el volumen de una pequeña bola de materia cambia con respecto al tiempo medido por un observador central comóvil (y por lo tanto puede tomar valores negativos). En otras palabras, la ecuación anterior nos da la ecuación de evolución para la expansión de la congruencia temporal. Si la derivada (con respecto al tiempo propio) de esta cantidad resulta ser negativa a lo largo de alguna línea del universo (después de un cierto evento), entonces cualquier expansión de una pequeña bola de materia (cuyo centro de masa sigue la línea del universo en cuestión) debe ser seguida por un nuevo colapso. Si no, es posible que continúe la expansión.

El tensor de cizallamiento mide cualquier tendencia de una bola de materia inicialmente esférica a distorsionarse hasta adoptar una forma elipsoidal. El tensor de vorticidad mide cualquier tendencia de las líneas del universo cercanas a retorcerse unas sobre otras (si esto sucede, nuestra pequeña masa de materia está rotando, como les sucede a los elementos de un fluido en un flujo de fluido ordinario que exhibe una vorticidad distinta de cero).

El lado derecho de la ecuación de Raychaudhuri consta de dos tipos de términos:

1. Términos que promueven el (re)colapso
   • escalar de expansión inicialmente distinto de cero,
   • cizallamiento distinto de cero,
   • traza positiva del tensor de marea; esta es precisamente la condición garantizada al asumir la condición de energía fuerte , que se cumple para los tipos de soluciones más importantes, como las soluciones de fluidos físicamente razonables ,
2. Términos que se oponen al (re)colapso
   • vorticidad distinta de cero, correspondiente a las fuerzas centrífugas newtonianas ,
   • divergencia positiva del vector de aceleración (por ejemplo, aceleración que apunta hacia afuera debido a una explosión esféricamente simétrica, o más prosaicamente, debido a las fuerzas corporales sobre los elementos del fluido en una bola de fluido que se mantiene unida por su propia autogravitación).

Generalmente, un término prevalece. Sin embargo, hay situaciones en las que se puede lograr un equilibrio. Este equilibrio puede ser:

• estable : en el caso del equilibrio hidrostático de una bola de fluido perfecto (por ejemplo, en un modelo del interior de una estrella), la expansión, el esfuerzo cortante y la vorticidad desaparecen, y una divergencia radial en el vector de aceleración (la fuerza corporal necesaria sobre cada gota de fluido es proporcionada por la presión del fluido circundante) contrarresta el escalar de Raychaudhuri, que para un fluido perfecto está en unidades geometrizadas . En la gravitación newtoniana, la traza del tensor de marea es ; en la relatividad general, la tendencia de la presión a oponerse a la gravedad se compensa parcialmente con este término, que en determinadas circunstancias puede llegar a ser importante. ${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$ ${\displaystyle 4\pi \mu }$
• inestable : por ejemplo, las líneas del mundo de las partículas de polvo en la solución de Gödel tienen cizallamiento, expansión y aceleración que se desvanecen, pero una vorticidad constante que simplemente equilibra un escalar Raychuadhuri constante debido a una energía de vacío distinta de cero ("constante cosmológica").

Teorema de enfoque

Supongamos que la condición de energía fuerte se cumple en alguna región de nuestro espacio-tiempo, y sea un campo vectorial unitario geodésico temporal con vorticidad que se desvanece , o equivalentemente, que es ortogonal a la hipersuperficie. Por ejemplo, esta situación puede surgir al estudiar las líneas de universo de las partículas de polvo en modelos cosmológicos que son soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein (siempre que estas líneas de universo no se enrosquen unas sobre otras, en cuyo caso la congruencia tendría vorticidad distinta de cero). ${\displaystyle {\vec {X}}}$

Entonces la ecuación de Raychaudhuri se convierte en

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Ahora, el lado derecho siempre es negativo o cero, por lo que el escalar de expansión nunca aumenta en el tiempo.

Como los dos últimos términos no son negativos, tenemos

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}}$

Integrando esta desigualdad con respecto al tiempo propio obtenemos ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}}$

Si el valor inicial del escalar de expansión es negativo, esto significa que nuestras geodésicas deben converger en una cáustica ( tiende a menos infinito) dentro de un tiempo adecuado de, como máximo, después de la medición del valor inicial del escalar de expansión. Esto no necesariamente indica un encuentro con una singularidad de curvatura, pero sí indica un fallo en nuestra descripción matemática del movimiento del polvo. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 3/|\theta _{0}|}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Ecuaciones ópticas

También existe una versión óptica (o nula) de la ecuación de Raychaudhuri para congruencias geodésicas nulas.

${\displaystyle {\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$.

Aquí, los sombreros indican que la expansión, el esfuerzo cortante y la vorticidad solo se dan con respecto a las direcciones transversales. Cuando la vorticidad es cero, suponiendo que la condición de energía es nula , se formarán cáusticos antes de que el parámetro afín alcance . ${\displaystyle 2/{\widehat {\theta }}_{0}}$

Aplicaciones

El horizonte de sucesos se define como el límite del pasado causal del infinito nulo. Dichos límites se generan mediante geodésicas nulas. El parámetro afín tiende al infinito a medida que nos acercamos al infinito nulo, y hasta entonces no se forman cáusticas. Por lo tanto, la expansión del horizonte de sucesos tiene que ser no negativa. Como la expansión da la tasa de cambio del logaritmo de la densidad del área, esto significa que el área del horizonte de sucesos nunca puede disminuir, al menos clásicamente, suponiendo la condición de energía nula.

Véase también

• Congruencia (relatividad general) , para una derivación de la descomposición cinemática y de la ecuación de Raychaudhuri
• Singularidad gravitacional
• Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking para una aplicación del teorema de enfoque

Notas

1. El espacio-tiempo como sólido deformable, MO Tahim, RR Landim y CAS Almeida, arXiv :0705.4120v1.
2. Dadhich, Naresh (agosto de 2005). "Amal Kumar Raychaudhuri (1923-2005)" (PDF) . Ciencia actual . 89 : 569–570.
3. La estructura a gran escala del espacio-tiempo de Stephen W. Hawking y GFR Ellis , Cambridge University Press, 1973, pág. 84, ISBN 0-521-09906-4 . 

Referencias

• Poisson, Eric (2004). Un conjunto de herramientas relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83091-5.Consulte el capítulo 2 para obtener una excelente discusión de la ecuación de Raychaudhuri tanto para geodésicas temporales como nulas , así como del teorema de enfoque.
• Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.Véase el apéndice F.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard (2003). Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein (2.ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.Consulte el capítulo 6 para obtener una introducción muy detallada a las congruencias geodésicas, incluida la forma general de la ecuación de Raychaudhuri.
• Hawking, Stephen y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. Consulte la sección 4.1 para una discusión de la forma general de la ecuación de Raychaudhuri.
• Raychaudhuri, AK (1955). "Cosmología relativista I". Phys. Rev . 98 (4): 1123–1126. Bibcode :1955PhRv...98.1123R. doi :10.1103/PhysRev.98.1123. hdl : 10821/7599 . Artículo de Raychaudhuri presentando su ecuación.
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati y Kar, Sayan (2009). "Cinética de flujos geodésicos en fondos de agujeros negros fibrosos". Phys. Rev. D . 79 (12): 124004. arXiv : 0809.3074 . Código Bibliográfico :2009PhRvD..79l4004D. doi :10.1103/PhysRevD.79.124004. S2CID  118628925.Consulte la sección IV para obtener la forma general de las ecuaciones de Raychaudhuri para tres cantidades cinemáticas (a saber, expansión escalar, cizallamiento y rotación).
• Kar, Sayan y SenGupta, Soumitra (2007). "Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve reseña". Pramana . 69 (1): 49–76. arXiv : gr-qc/0611123 . Código Bib : 2007Prama..69...49K. doi :10.1007/s12043-007-0110-9. S2CID  119438891.Consulte para obtener una revisión de las ecuaciones de Raychaudhuri.

Enlaces externos

• El significado de la ecuación de campo de Einstein, por John C. Baez y Emory F. Bunn. La ecuación de Raychaudhuri ocupa un lugar central en esta conocida (y muy recomendada) exposición semitécnica de lo que dice la ecuación de Einstein.
• Cosmología teórica de Raychaudhuri, AK Clarendon Press, 1979 https://books.google.co.in/books/about/Theoretical_Cosmology.html?id=p1DApKmlaFoC&redir_esc=y